Шпаргалка по "Математике"

1.Матрицы. Определители, свойства определителей.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.

aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

Квадратная матрица - это матрица с равным числом столбцов и строк.

Определителем(детерминантом) n-го порядка наз число равное алгебраической сумме п! членов составленных определенным образом из элементов а итого житого. i-изменяется от 1 до n.j-измен от 1 до n

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при  транспонировании.

2. Если одна из строк определителя  состоит из нулей, то определитель  равен нулю.

3. Если в определителе переставить  две строки, определитель поменяет  знак.

4. Определитель, содержащий две  одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой  строки определителя умножить  на некоторое число k, то сам  определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две  пропорциональные строки, равен  нулю.

7. Если все элементы i-й строки  определителя представлены в  виде суммы двух слагаемых  ai j = bj + cj (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если  к элементам одной из его  строк прибавляются соответствующие  элементы другой строки, умноженные  на одно и то же число.

2.Понятие системы линейных  уравнений, матрица системы. Действия  над матрицами.

Системой линейных уравнений называется матрица в которой m-линейных уравнений и n-неизвестных.

Действия над матрицами:

Сложение (вычитание) матриц. Результатом сложения(вычитания) матриц А и В является матрица С  элементы которой равны попарной сумме(разности) соответствующих элементов матриц А и В. Аij+Bij = Cij

Умножение матриц. Результатом умножения матриц А и В является матрица С элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Транспонирование  матриц. Результатом транспонирования матрицы А является матрица С, каждый n-ый столбец которой идентичен n-ой строке матрицы А.

Обращение матриц. Обратная матрица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E.

3.Действия над матрицами.  Обратная матрица (2 способа вычисления).

Обратная матрица-такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: АА^-1=А^-1А=Е

алгоритм нахождения обратной матрицы 

1.Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).

2.Строим  матрицу из алгебраических  дополнений элементов .

3.Транспонируем матрицу 

4.Умножаем каждый элемент транспонированной  матрицы на число 1/опред

5.Проводим проверку результата, вычисляя произведения  АА^-1 и А^-1А . Если АА^-1=А^-1А=Е, то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

4. Матричный метод решения  систем линейных уравнений.

Матричная запись системы: АХ=В

Для решения системы выразим Х. Для этого домножим обе части на  А^-1  слева. Получим А^-1А Х= А^-1В,т.к. А^-1А=Е, то  Х= А^-1В. Находим обратную матрицу затем перемножаем.

5. Решение систем линейных  уравнений по формулам Крамера.

алгоритм решения  систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

1.Вычисляем определитель основной  матрицы системы и убеждаемся, что он отличен от 0

2.Находим определители х1, х2, и тд. которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой каждого столбца на столбец свободных членов.   

3. Вычисляем искомые неизвестные  переменные x1, x2, …, xn по формулам .      

4.Выполняем проверку результатов,  подставляя x1, x2, …, xn в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

6.Решение систем линейных  уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса- метод последовательного исключения неизвестных.

С помощью элементарных преобразований нужно привести систему в ступенчатому виду.

Зануляем все элементы под главной диагональю. Затем начинаем обратный ход. Из последнего выражаем неизвестную находим ей и подставляем в предыдущее ур-ие и так находим все неизвестные. Затем проверка.

8. Понятие вектора. Действия над векторами (проекция вектора на ось, на вектор, линейные операции, векторное произведение.

Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию

1) , где  -- угол между a и b и, если , то еще двум условиям:

2) вектор c ортогонален векторам a и b;

3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).         

17. Линии на плоскости  (прямая на плоскости). Расстояние от точки до прямой.

Расстояние d от данной точки до прямой l (под этим расстоянием понимается длина  перпендикуляра, опущенного из точки на  прямую l ), заданной уравнением А х + B y + С = 0, определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

7. Понятие вектора. Действия  над векторами (проекция вектора  на ось, на вектор, линейные  операции, скалярное произведение).

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец.

Проекцией вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А^/В^/ оси u, где А^/ и В^/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.

Обозначение:   пр_uа. 

Свойства проекции:

1.        Пр_ua = |a| cosφ, где φ – угол между а и осью u.

2.        При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.

3.        При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.

Линейные операции.

1.Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.    

Свойства сложения:

1. a + b = b + a.

2. (a+b)+c=a+(b+c).

3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.

4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/ такой, что а+а^/=О.

2.Разностью а – b  векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

3. Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора  на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:       ab = |a||b| cosφ

Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b . 

 Свойства скалярного  произведения: 

1. ab = |a| пр_аb.  2. ab = 0 a b  3. ab = ba .

4. (ka)b = k(ab).    5. (a + b)c = ac + bc .

6. a² = aa = |a|² , где а² называется скалярным квадратом вектора а.

7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

 a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂},  то   ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ . 

8. cosφ = .      

9.Понятие вектора. Действия над векторами (проекция вектора на ось, на вектор, линейные операции, смешанное произведение

Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов  называется число, определяемое по формуле: .

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не  меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. .

2.При перестановке двух соседних  сомножителей смешанное произведение  меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное  условие компланарности трех векторов :  =0.

4.Смешанное произведение трех  векторов равно объему параллелепипеда,  построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если  эти векторы образуют правую  тройку, и со знаком минус, если  они образуют левую тройку, т.е.  .

10.N-мерные векторы. Разложение вектора по системе векторов (линейная зависимость, линейная независимость).

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором. 
Числа называются координатами вектора.

Заданные векторы наз линейно зависимыми  если  какой-нибудь из векторов является линейной комбинацией остальных, в противном случае векторы яв линейно независимыми.

11. Базисы системы векторов. Переход одного базиса к другому.

Базисом системы векторов A₁ , A₂ ,..., A_n называется такая подсистема B₁, B₂ ,...,B_r (каждый из векторов B₁,B₂,...,B_r является одним из векторов A₁ , A₂ ,..., A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям: 
1. B₁,B₂,...,B_r линейно независимая система векторов; 
2. любой вектор A_j системы A₁ , A₂ ,..., A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂,...,B_r

r — число векторов входящих в базис.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A₁ ,A₂ ,...,A_n необходимо:

-Составить соответствующую системе  векторов однородную систему  уравнений A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ

-Привести эту систему

12. Основные задачи аналитической  геометрии: расстояние между двумя  точками, деление отрезка в  заданном отношении.

Расстояние d между двумя точками

  ( , , ) и ( , , ) в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z точки М, которая  делит отрезок  , ограниченный точками ( , , ) и ( , , ), в отношении , определяется по формулам

, , .

 

 

 

 

13. Линии на плоскости  (прямая на плоскости). Уравнение с угловым коэффициентом. Вывод уравнения.

Угловым коэффициентом  прямой называется тангенс угла наклона этой прямой.

 y=kx+b –ур-ие прямой с угл коэфф.

14. Линии на плоскости  (прямая на плоскости). Общее уравнение прямой. Вывод уравнения.

Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным.

15. Линии на плоскости  (прямая на плоскости). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вывод уравнения.

Выведем уравнение прямой линии, проходящей через две заданные точки M(x₀, y₀), M₁(x₁, y₁). Для этого выберем на прямой произвольную точку М(x, y). Векторы и будут коллинеарными. Признаком коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат

.

Это и есть искомое уравнение  прямой, проходящей через две заданные точки.

16. Линии на плоскости  (прямая на плоскости). Угол между двумя прямыми.

Угол между двумя прямыми  равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

18. Линии на плоскости  (прямая на плоскости). Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в заданном направлении. Вывод уравнения.

Пусть дана точка М₀(х₀, у₀). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀ в заданном направлении. 
     Задачу будем решать в зависимости от того, как определено направление прямой. Если направление задается вектором , то такая прямая описывается канонич уравнением. Если задан угловой коэффициент k= k₁, то уравнение прямой будет находить в форме: y =k₁ x+ b. Неизвестный коэффициент b найдем из условия y₀ = k ₁ x₀ + b (точка М₀ принадлежит прямой). Найденное b= y₀ – k ₁ x₀ подставим в уравнение y =k₁ x+ b. Искомое уравнение прямой запишем в виде:  
     y– y ₀= k₁ ( x– x ₀). 

19. Кривые второго порядка  (окружность, эллипс). Вывод уравнения.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r²,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r².

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).