Решение систем дифференциальных уравнений при помощи формулы Адамса

НА ТЕМУ: «Решение систем дифференциальных уравнений при помощи формулы Адамса»

Постановка задачи и цели

Необходимо решить с заданной степенью точности задачу Коши для системы дифференциальных уравнений на заданном интервале [a,b]. Добиться погрешности на втором конце не более 0,0001. Результат получить в виде таблицы значений приближенного и точного решений в точках заданного интервала. Построить графики полученных решений и сравнить их с точным решением.

Исходные данные:

– система дифференциальных уравнений вида:

                                                             (1.1)
 

– интервал, на котором ищется решение: [a,b]

– погрешность, с которой ищется решение: е

– формулировка задачи Коши в начальной точке заданного интервала: u(a)=u, v(a)=v

– количество узлов сетки, для которой формируется таблица значений приближенного и точного решений системы: nx

– шаг вывода на экран значений искомых функций в узлах заданной сетки: np

Выходные данные:

– таблица значений приближенного и точного решений в узлах заданной сетки;

– графики полученных и точных решений.

Дифференциальные уравнения и методы их решения

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.

Методы их решения подразделяются на два класса:

1)     аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;

2)     численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

Общая постановка задачи решения  обыкновенных дифференциальных уравнений

Конкретная прикладная задача может привести к дифференциальному уравнению любого порядка или к системе уравнений  такого порядка. Произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно привести к некоторой эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка и с помощью замены свести к эквивалентной системе n уравнений первого порядка. Среди таких систем выделяют класс систем, разрешённых относительно производной неизвестных функций:

                                                         (2.1)

Дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения в некоторой точке a должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции

=,…, =                                                            (2.2)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x[a,b], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Третий тип задач для систем дифференциальных уравнений – это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций в уравнения входят дополнительно n неизвестных параметров 1, 2, ..., n, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [a,b] необходимо задать n + m граничных условий.

Рассмотрим подробнее задачу Коши. Воспользуемся компактной записью задачи (2.1), (2.2) в векторной форме:

                                                                                (2.3)

Требуется найти на интервале [a,b].

Задачу Коши удобнее всего решать методом сеток. Метод сеток состоит в следующем :

1) Выбираем в области интегрирования упорядоченную систему точек , называемую сеткой. Точки называют узлами разностной сетки, разность между соседними узлами – шаг сетки. Формула для вычисления шага равномерной сетки, заданной на интервале [a,b]:

,                                                                             (2.4)

где – количество узлов заданной сетки.

2) Решение ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки, для чего дифференцирование заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах. Такую систему уравнений принято называть конечно-разностной схемой.

Для получения конечно-разностной схемы удобно использовать интегроинтерполяционный метод, согласно которому необходимо проинтегрировать уравнение (2.3) на каждом интервале [,] и разделить полученное выражение на длину этого интервала:

               (2.5)

Далее аппроксимируем интеграл в правой части одной из квадратурных формул и получаем систему уравнений относительно приближенных неизвестных значений искомых функций, которые в отличие от точных обозначим . При этом возникает погрешность ε, обусловленная неточностью аппроксимации:

ε(h)=|| ||                                                                               (2.6)

Согласно основной теореме теории метода сеток (теорема Лакса), для устойчивой конечно-разностной схемы при стремлении шага h к нулю погрешность решения стремится к нулю с тем же порядком, что и погрешность аппроксимации:

,                                                                             (2.7)

где – константа устойчивости, p – порядок аппроксимации.[4]

Поэтому для увеличения точности решения необходимо уменьшить шаг сетки h.

На практике применяется множество видов конечно-разностных схем, которые подразделяются на одношаговые, многошаговые схемы и схемы с дробным шагом. [6]

Многошаговый метод Адамса

Многошаговые методы решения задачи Коши характеризуются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не в одном предыдущем или последующем узле сетки, как это имеет место в одношаговых методах, а зависит от данных в нескольких соседних узлах.

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать вычисленные уже на предыдущих шагах значения

Если заменим в (2.5) подынтегральное выражение интерполяционным многочленом Ньютона, построенного по узлам , то после интегрирования на интервале получим явную экстраполяционную схему Адамса. Если заменим в (2.5) подынтегральное выражение на многочлен Ньютона, построенного по узлам , то получим неявную интерполяционную схему Адамса. [5]

– Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка

                                 (2.8)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо для расчётов найти по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка , после чего , , … вычисляют по формуле (2.8)

– Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка

         (2.9)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо сперва найти и по схеме предиктор-корректор 4-го порядка, после чего , , … вычисляют по формуле (2.9).

-Неявная интерполяционная схема Адамса 3-го порядка

Неявные  методы Адамса, как правило, позволяют производить  вычисления с большим шагом, чем явные методы того же порядка.

                                          (2.10)

Данная схема не разрешена явно относительно , поэтому сначала необходимо вычислить любым подходящим методом, например, методом Рунге-Кутта.

Схема устойчива, сходится быстро. Чаще всего достаточно одной итерации. Порядок погрешности ε(h) неявной схемы Адамса третьего порядка равен четырём.

Известно, что для методов Адамса  наивысший порядок аппроксимации k-шагового неявного метода  Адамса равен k+1, а наивысший порядок аппроксимации k-шагового явного  метода  Адамса равен k.

Явная и неявная схема Адамса 4-го порядка

Экстраполяционная формула Адамса

        (2.11)

необходимо найти каким-либо одношаговым методом.

Интерполяционная формула Адамса

              (2.12)

На рис. Показаны узлы для полинома Лагранжа, которые используются при выведении формул (2.11) и (2.12) соответственно.[2]

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений, а так же на дифференциальные уравнения n-го порядка.

Пусть имеем систему двух уравнений

                                                                                    (2.13)

Для решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений можно использовать те же методы, что и для одного уравнения, но все этапы решения необходимо выполнять по всем переменным одновременно. Проще всего представить формулы реализующие соответствующие метод для одного уравнения в векторной форме, а затем заменить ее алгебраической.[1]

Анализ погрешности метода Адамса

Из теории приближенных методов известно, что при шаге интегрирования h имеет место оценка:

,

так что погрешность одного шага вычислений имеет порядок .

Приведенная оценка является оценкой метода и не учитывает погрешность при округлении.

Достоинства и недостатки метода Адамса

Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать . Для начала расчета по формуле (2.8) надо знать величину решения в двух точках . Поэтому надо вычислить недостающие значения каким-либо другим методом, например методом Рунге – Кутта, или разложением по формуле Тейлора с достаточно большим числом членов. При работе на ЭВМ это вдвое увеличивает объем программы. Формулы Адамса рассчитаны на постоянный шаг. При смене шага нужны нестандартные действия, т.е. усложнение формул. Кроме того, формулы громоздки, а несложные формулы рассчитаны только на постоянный шаг и требуют нестандартных действий при смене шага: надо перейти к формулам (2.8), сделать по ним четыре шага и снова вернуться к формулам (2.9). Все это делает метод Адамса неудобным для расчетов на ЭВМ.

Неявные схемы с заданным числом итераций удобны лишь для некоторых нестандартных задач. Причем для схем р-го порядка максимальное число итераций = р. Дальнейшее  увеличение числа итераций не увеличивает порядок точности.

Внешне этот метод привлекателен тем, что за один шаг приходится только один раз вычислять , которая может быть очень сложной. А в четырехчленной схеме Рунге – Кутта того же порядка точности вычисляется за шаг четыре раза, но шаг можно брать в несколько раз больше, т.е. вычислять за меньшее количество раз, чем в методе Адамса.[5]

Поэтому сейчас метод Адамса и аналогичные методы (например, Милна) употребляются реже метода Рунге – Кутта.

Хорошим свойством многошагового метода является то, что можно определить ошибку и включить корректирующий член, который повышает точность ответа на каждом шаге. Также можно определить, будет ли длина шага достаточно мала, чтобы получить точное значение , и найти больший шаг, который исключит ненужные вычисления. Использование комбинации прогноза и коррекции требует только два раза вычислить функцию за шаг, следовательно этот метод оказывается наиболее эффективным (требует вдвое меньше времени в отличии от Рунге-Кутта). Методы Адамса обладают лучшей по сравнению с методами Рунге — Кутта устойчивостью. [4]

Другие известные методы не выдерживают испытания на практике по следующим причинам:

1. Отсутствует сходимость при уменьшении шага (в предположении отсутствия вычислительной погрешности) даже для бесконечно дифференцируемых правых частей.
2. При наличии сходимости происходит экспоненциальный рост погрешности.
3. Для некоторых схем возникают дополнительные неудобства при изменении шага интегрирования.[1]