Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений

методом простых итераций»

Выполнил:. Бубеев Б.М.

Проверил: Ширапов Д.Ш. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Улан-Удэ

2011 г. 
Введение

       Нелинейные  уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

       Методы  решения нелинейных уравнений делятся  на две группы:

1. точные методы;
2. итерационные методы.

       Точные  методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

       Как известно, многие уравнения и системы  уравнений не имеют аналитических  решений. В первую очередь это  относится к большинству трансцендентных  уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно  было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

       Пусть дано уравнение

       где:

1. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.
2. Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) *  f(b) < 0).
3. Первая и вторая производные f' (x) и f'' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

       Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

       Решить  уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

       Всякое  значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:

       называется  корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).

       Задача  нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

       Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

       Пример  1. Отделить корни уравнения:

       Составим  приблизительную схему:

       Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

       Приближенные  значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

       В инженерной практике распространен  графический способ определения приближенных корней.

       Принимая  во внимание, что действительные корни  уравнения (1) - это точки пересечения  графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:

       где функции f₁(x) и f₂(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f₁(x) и у = f₂(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

       

       Рисунок 2.  

       Пример  2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):

       Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:

       lg x=

.

       Отсюда  ясно, что корни уравнения (4) могут  быть найдены как абсциссы точек  пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

       Итерационный  процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения  х₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х₁, х₂, ..., х_n. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

 

       

Метод простой итерации 

       Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением

       Пусть известно начальное приближение  корня х = х₀. Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:

       Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:

       Геометрически метод итерации может быть пояснен  следующим образом. Построим на плоскости  хОу графики функций у = х и у = j (х). Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х) с прямой у = х (Рисунок 6, а).

       

       Рисунок 6.

       Отправляясь от некоторой точки А₀ [x₀, j (x₀)], строим ломаную А₀В₁А₁В₂А₂... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А₀, А₁, А₂, ...лежат на кривой у=j (х), а вершины В₁, В₂, В₃, …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А₁ и В₁, А₂ и В₂, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х₁, х₂, ... корня .

       Возможен  также другой вид ломаной А₀В₁А₁В₂А₂ ... - “спираль” (Рисунок 6, б). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х) отрицательна.

       На  Рисунке 6, а, б кривая у = j (х) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

         

       Рисунок 7. 

       Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные  условия сходимости итерационного  процесса.

       Теорема: Пусть функция j (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения j (х) [a, b].

       Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

       

q < 1

       при a < x < b, то: 1) процесс итерации

       

       сходится  независимо от начального значения х_{0 I} [a, b];

       2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = j (х) на отрезке [a, b].

       Пример  5. Уравнение

       имеет корень x [1, 2], так как f(1) = - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0.

       Уравнение (10) можно записать в виде

       Здесь

       j (х) = х³ - 1 и j' (х) = 3х²;

       поэтому

       j' (х)

3 при 1 х 2

       и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

       Если  записать уравнение (10) в виде

       то  будем иметь:

       

.

       Отсюда  при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

       Найдем  корень x уравнения (10) с точностью до 10^-2. Вычисляем последовательные приближения х_n с одним запасным знаком по формуле