Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Разложение в  ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид

где коэффициенты Фурье определяются выражениями

Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только       синусы и имеет вид

где ы b_n равны

Ниже мы рассмотрим некоторые типичные примеры разложения функций с периодом 2π в ряд Фурье, предполагая, что такие разложения существуют и сходятся к заданной функции. 

Вычислить коэффициенты a₀, a_n и b_n.

 
Решение.

Чтобы найти a_n, проинтегрируем ряд Фурье в интервале [−π, π]:      

Для всех n > 0 справедливо       

Поэтому, все  члены в разложении Фурье справа от знака суммы равны нулю, что  приводит к       соотношению       

Чтобы определить коэффициенты a_n при m > 0, умножим обе части разложения в ряд Фурье на cos mx и проинтегрируем почленно:      

Первое слагаемое  в правой части равно нулю. Тогда, используя тригонометрические тождества, можно записать      

если m ≠ n.  
 
В случае, если m = n, получаем      

Таким образом,      

Аналогично, умножая  ряд Фурье на sin mx и интегрируя почленно, получим выражение для b_m:       

Переписывая формулы  для a_n, b_n, запишем окончательные выражения для коэффициентов Фурье:      

 
Решение.

Вычислим сначала a₀:       

Определим теперь коэффициенты Фурье при n ≠ 0:      

Поскольку  , то можно записать      

Таким образом, разложение в ряд Фурье для  прямоугольной функции имеет  вид      

Можно легко  вычислить несколько первых членов разложения. Полагая, например, n = 5, получаем      

На рисунке 1 представлены график данной функции и ее аппроксимация рядом Фурье при n = 10.

Рис.1, n = 10		Рис.2, n = 5, n = 10

 
Решение.

Определим коэффициенты Фурье для пилообразной волны.  
Поскольку функция нечетная (рисунок 2), то a₀ = a_n = 0.      

Для вычисления последнего интеграла используем формулу  интегрирования по частям:      

Пусть  . Тогда  , и интеграл будет равен      

Подставляя   и   для всех натуральных значений n, получаем       

Следовательно, разложение в ряд Фурье прилообразной волны имеет вид (рисунок 2 выше)      

. Найти разложение Фурье для  заданной параболической функции.

 
Решение.

Так как функция  четная, то коэффициенты b_n = 0. Тогда      

Применим дважды интегрирование по частям.      

Поскольку   и   для натуральных n, то получаем      

Тогда разложение параболической функции в ряд  Фурье имеет вид (рисунок 3)      

определенной в интервале [−π, π].

 
Решение.

Постоянная a₀ равна       

Вычислим коэффициенты a_n:       

Интегрируя по частям, можно записать      

Тогда      

Значения sin nx при x = 0 или x = ± π равны нулю. Поэтому      

Если n = 2k, то  . Если n = 2k + 1, то    
Так как функция f (x) четная, то коэффициенты Фурье b_n равны нулю. Таким образом, окончательное разложение треугольной волны в ряд Фурье выглядит следующим образом (см. рис.4 выше):      

заданной в  интервале [−π, π].

 
Решение.

Найдем сначала a₀:       

Далее вычислим коэффициенты a_n:      

Заметим, что      

Поскольку cos (n − 1)π = (−1)^{n −1}, то для коэффициентов a_n получаем выражение      

Видно, что a_n = 0 для нечетных n. Для четных n, когда n = 2k (k = 1,2,3,...), мы имеем      

Вычислим теперь коэффициенты b_n. Начнем с b₁:       

Остальные коэффициенты b_n при n > 1 равны нулю. Действительно,      

Таким образом, формула разложения заданной функции  в ряд Фурье имеет вид      

График функции  и варианты разложения для n = 2 и n = 8 показаны на рисунке 5.

Рис.5, n = 2, n = 8		Рис.6, n = 10

определенной в интервале [−π, π].

 
Решение.      

Вычислим коэффициенты a_n:       

(Этот результат  очевиден, поскольку заданная функция  − нечетная.)  
 
Определим коэффициенты разложения b_n:       

Таким образом, разложение в ряд Фурье определяется формулой      

На рисунке 6 (выше) представлен график исходной прямоугольной функции и ее Фурье  аппроксимации   приn = 10.