Производные и дифференциалы высших порядков

Производные и дифференциалы  высших порядков

   Пусть производная некоторой функции  f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

   Если  дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))', n ϵ N, f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

   Дифференциалом  n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)), d⁰f(x) = f(x), n ϵ N.

   Если  x - независимая переменная, то

dx = const и d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

   В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

   Справедливы формулы

   Формула Лейбница

   Если  u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то

   Производные n-го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной функций

   Если  компоненты n-кратно дифференцируемы, то .

   Аналогично  для комплекснозначной функции f и матричной функции A имеем формулы:

f⁽ⁿ⁾(x) = u⁽ⁿ⁾(x) + iv⁽ⁿ⁾(x); dⁿf(x) = dⁿu(x) + idⁿv(x);

Например:

1) Найти f"(x), если f(x) = sin(x²)

Решение: f'(x) = (sin(x²))' = 2x cos(x²);

f"(x) = (f'(x))' = (2x cos(x²))' = 2 cos(x²) - 4x² sin(x²).

2) Найти d¹⁰y, если y = u²

Решение: Применяя формулу Лейбница к произведению y = uu, получаем

3) Найти y⁽¹⁰⁰⁾, если .

Решение: Преобразуем данную функцию к виду, удобному для дифференцирования, и применим одну из формул пункта Производные n-го порядка от основных элементарных функций:

y = 2(1 - x) ^-1/2 - (1 - x) ^1/2,