Применение рядов к приближённым вычислениям

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный  социально-педагогический университет»

(ФГБОУ  ВПО «ВГСПУ»)

Факультет «Математики, информатики и физики»

Кафедра машиноведения,  безопасность жизнедеятельности

и методики преподавания безопасности жизнедеятельности

 

 

 

 

Реферат

по  дисциплине  «Математический анализ»

Тема : «Применение рядов».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:  
студентка 2 курса МИФ

Гр. ИНБ-21

Быкова Юлия

 

Волгоград 2012

Оглавление

Введение 3

Применение рядов к приближённым вычислениям 3

Приближенное вычисление определенных интегралов 4

Табулирование функции. 6

Решение дифференциальных уравнений. 7

Заключение. 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Применение рядов не ограничивается только математикой. Они востребованы практически во всех естественных науках, имеют широкое применение в технике  и других отраслях знаний.

 

Применение рядов  к приближённым вычислениям

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах.    Пример 1: Вычислить   с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением   Тогда =   0,0238+0,0046–  –0,0008≈0,7475≈0,748. Так как ряд знакочередующийся  и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная  с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.    Пример 2: Вычислить   с точностью до 0,001. =  Используем биномиальный ряд при x=0.25; m= ≈2(1+ + 2.(1+0,0833--0,0069+0,00096) ≈   ≈2.(1+0,0833-0,0069) ≈2,1528≈2,153. Так как, начиная со второго  члена, ряд знакочередующийся и 0,00096<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,00096, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

 

Приближенное  вычисление определенных интегралов

 
 
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы  не могут быть вычислены с помощью  формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением  первообразной, часто не имеющей  выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной  возможно, но излишне трудоемко. Однако если подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.  
 
 
Пример 3:

 Вычислить интеграл   с точностью до 0,00001. 
 
Решение. Соответствующий неопределенный интеграл   не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно. 
 
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим: 
 
 
 
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем: 
 
 
 
 
 
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и   достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью. 
 
Таким образом, находим 
 
. 
 
Пример 4:

 Вычислить интеграл   с точностью до 0,001. 
 
Решение:  
 
 
 
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.  
 
. 
 
Следовательно,  .

 

Табулирование функции.

 

Табулирование функции — это  вычисление значений функции при  изменении аргумента от некоторого начального значения до некоторого конечного  значения с определённым шагом. Именно так составляются таблицы значений функций, отсюда и название — табулирование. Необходимость в табулировании  возникает при решении достаточно широкого круга задач. Например, при  численном решении нелинейных уравнений  f = 0, путём табулирования можно отделить корни уравнения, т.е. найти такие отрезки, на концах которых, функция имеет разные знаки. С помощью табулирования можно найти минимум или максимум функции. Иногда случается так, что функция не имеет аналитического представления, а её значения получаются в результате вычислений, что часто бывает при компьютерном моделировании различных процессов. Если такая функция будет использоваться в последующих расчётах, то часто поступают следующим образом: вычисляют значения функции в нужном интервале изменения аргумента, т.е. составляют таблицу, а затем по этой таблице строят каким-либо образом другую функцию, заданную аналитическим выражением. Необходимость в табулировании возникает также при построении графиков функции на экране компьютера.

Пример 6:  Таблица значений функции  f(x) для значений x, изменяющихся от x0 до xk c шагом h.

Аналогично заданию переменной-индекса  можно задать диапазон изменения  любой другой переменной и использовать ее при организации циклических  процессов.

Пример. Получить таблицу значений функции f(x) для значений x, изменяющихся от x0 до xk, с шагом h.  

 

Решение дифференциальных уравнений.

 

Теория рядов Фурье первоначально  была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что  ряды Фурье широко используются для  поиска решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных. 

Пример 7:

Найти решение в виде ряда Фурье  дифференциального уравнения   с граничными условиями  .   Решение.       Предположим, что решение  уравнения имеет вид       Подставляя это в само уравнение, получаем соотношение       Поскольку коэффициенты при  каждой гармонике в левой и  правой части должны  быть равны друг другу, получаем алгебраическое уравнение       Следовательно, решение исходного  дифференциального уравнения описывается  рядом

Пример 8:

Найти периодические решения дифференциального  уравнения  , где k − константа, а f (x) −периодическая функция.   Решение. Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье:       Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой       Предполагая, что решение  уравнения представляется рядом  Фурье       найдем выражение для  производной:       Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем        Поскольку данное равенство  справедливо при всех значениях n, то получаем следующее соотношение:       Здесь cn и k − известные числа. Следовательно, решение выражается формулой          Заключение.   Хотя в данном реферате рассмотрено применение рядов только в математике, мы убедились,  какую роль играю  ряды в нашей жизни.