Применение разностных и вейвлетных схем для решения уравнений в частных производных

Теория вейвлет-преобразования – одно из активно развивающихся направлений теоретической и прикладной математики. Термин “вейвлет” (дословный перевод – маленькая волна) появился сравнительно недавно, его ввели Гроссман (Grossmann) и Морле (Morlet) в середине 80-х годов в связи с анализом сейсмических и акустических сигналов.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ………………………………..4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕЙВЛЕТОВ…...6
1.1 Кратно-масштабный анализ…………………………………………….6
1.2 Вейвлеты Хаара и Добеши…………………………………………….10
1.3 Построение масштабирующей функции и вейвлета…………………14
1.4 Периодические вейвлеты……………………………………………….19
ГЛАВА 2. ВЕЙВЛЕТЫ И ОПЕРАТОРЫ………………………………..22
2.1 Представление операторов в вейвлетном базисе……………………22
2.2 Оператор в вейвлетном базисе…………………………………...24
2.3 Оператор в вейвлетном базисе…………………………………...26
2.4 Матрица дифференцирования в вейвлетном базисе…………………28
2.5 Аппроксимация производных периодических функций…………….31
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ КОШИ………………42
3.1 Разностная и вейвлетная схемы для уравнения переноса……………42
3.2 Задача Коши для уравнения переноса………………………………..46
3.3 Разностная и вейвлетная схемы для уравнения теплопроводности…50
3.4 Задача Коши для уравнения теплопроводности……………………..53
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….57
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………58
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ГРАФИКИ АБСОЛЮТНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЕЙВЛЕТНОЙ И РАЗНОСТНОЙ СХЕМ………………………………..60
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ВЕЙВЛЕТНОЙ И РАЗНОСТНОЙ СХЕМ……………………………………………………….62
Б.1 Уравнение переноса…………………………………………………….62
Б.2 Уравнение теплопроводности………………………………………….66