Преобразование Фурье и его применение в теории РТЦ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по математике.

ТЕМА: Преобразование Фурье и его

применение в теории РТЦ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Преобразование Фурье и его  применение в теории РТЦ.

 

                                      Введение.

Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженеров. В результате постановки и исследования ряда конкретных проблем механики и  физики возникла теория тригонометрических рядов. Важнейшую роль ряды Фурье играют во всех областях техники, опирающихся на теорию колебаний и теорию спектрального анализа.  Например в системах передачи данных для описания сигналов практическое применение спектральных представлений неизменно приводит к необходимости экспериментального осуществления разложения Фурье. Особенно велика роль тригонометрических рядов в электротехнике при изучении периодических несинусоидальных токов: амплитудный спектр функции находится с помощью ряда Фурье в комплексной форме. Для представления непериодических процессов применяется интеграл Фурье.

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции.

              Краткие теоретические сведения:

Ряд Фурье используется для представления периодической функции в виде суммы гармоник.

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида:

                   ,

где , , -числа, которые называются коэффициентами ряда Фурье.

В комплексной форме ряд Фурье выглядит:

                      

Для непериодических функций, заданных на всей числовой оси, используется интеграл Фурье, который является обобщением ряда Фурье при .

  интеграл Фурье в комплексной форме.

Если функция чётная (нечётная) или определена на полуоси и мы её дополнительно определяем чётным (нечётным) образом на всю числовую ось, то для функции применимо косинус (синус) преобразование Фурье.

                    Прямое преобразование Фурье:

                    

                Обратное преобразование Фурье:

                

Пусть функция - чётная, тогда:

-  прямое косинус-преобразование Фурье.

- обратное косинус-преобразование Фурье.

Пусть функция - нечётная, тогда:

-  прямое синус-преобразование  Фурье.

- обратное синус-преобразование Фурье.

 

Кроме применения этих преобразований в математических вопросах они используются в различных вопросах радиотехники.

                                   Пример:

На вход преобразователя поступает сигнал:

  

Преобразователь гасит все колебания с частотой, ,а в полосе частот ≤ ≤ амплитуда колебания умножается на  . Требуется найти сигнал на выходе и построить его график.

                                         Решение:

  Построим график функции - (рис.1)

 

 

 

 

 

 

 

                                         Рис.1 

Т.к. функция нечетная, то применим синус – преобразование Фурье:

     , при   

                  0                                                   ,при ω

    =    , при

     0                                         0                        ,при

 

        , при

                     0        , при 

= =                                                            =          =

=

 

            График этой функции представлен  на рис.2

                                                                     Рис.2

Вывод: Подав на вход преобразователя сигнал, который описывается функцией , можно наблюдать как воздействует спектральная характеристика преобразователя на амплитуду и спектральную функцию входного сигнала. Сравнив график входного и выходного сигнала видно воздействие преобразователя: амплитуда увеличивается в раз, колебания сигнала уменьшились под воздействием частоты преобразователя. Я закрепил теоретические знания об интеграле Фурье, изучил преобразование Фурье и его применение в решении радиотехнических задач и убедился, что идея преобразований Фурье применяется не только в математических вопросах непосредственно, но и в различных вопросах радиотехники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                              Литература:

 

Лейбсон К.Л. «Курс лекций по высшей математике»

Л.ВКАС им. С.М.Буденного 1978г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         Содержание:

 

 

Введение………………………………………………………….. 1

Краткие теоретические сведения……………………………….. 1

Решение задачи…………………………………………………....2

Вывод ……………………………………………………………...4

Литература…………………………………………………………5