Предел последовательности

 

 

 

 

 

Проект  по алгебре

На тему «Предел последовательности»

 

 

Выполнила ученица 10а класса

Морякова  Оксана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2012 год 

Предел  последовательности

Если каждому  натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число x_n  то говорят, что задана числовая последовательность x₁, x₂, … x_n, nÎZ. x_n называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей:

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например,   ).
2. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическая прогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой 

xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

и условиями x₁ = 1, x₂ = 1.

3. Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x_n равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 1, x₄ = 5, x₅ = 9, x₆ = 2, x₇ = 6, x₈ = 5, x₉ = 3, x₁₀ = 5 и т. д.

Число a называется пределом последовательности (x_n), если для каждого       ε > 0 существует такое действительное k, что для всех n > k выполняется неравенство |x_n – a| < ε, т. е.   При этом пишут, что   или при n → ∞.

 

 

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a. Это равносильно двойному неравенству a – ε< x_n < a + ε.

Неравенство показывает, что все члены последовательности

(x_n) с номерами n > k попадают в окрестность точки a. В

определении предела число ε может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки a содержит все члены  (x_n)

 за исключением, может быть, конечного

числа.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Последовательность  называется возрастающей, если для любого (x_n) выполняется неравенство

x_n + 1 > x_n.

Последовательность  называется убывающей, если для любого (x_n)   выполняется неравенство

x_n + 1 < x_n.

Последовательность (x_n) называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию x_n ≥ C (x_n ≤ C). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

Теорема (основная теорема теории пределов): если     то:

•  ;
•  ;
•  при условии, что b ≠ 0 и   для всех n.

Последовательность (α_n) называется бесконечно малой, если

Если число a – предел последовательности (x_n), то последовательность (α_n), где     α_n = x_n – a, бесконечно малая. Примером бесконечно малой последовательности является геометрическая прогрессия (qⁿ), где |q| < 1

Пример 1.

Пусть x_n=c - постоянная последовательность. Доказать, что _n=c

Решение. Пусть выбрано произвольное e>0. Нам нужно найти такое число k, что при всех n>k выполнялось бы неравенство |x_n-c|<e . Но это неравенство равносильно следующему: |c-c|< e  , или 0<   , что выполняется для всех номеров n. Это означает, что в качестве k можно выбрать любое число, например, k=0. Тогда для n>k имеет место неравенство |x_n-c|<e   .По определению _n=c.

Пример 2.

Доказать, что .

Решение. Пусть  e >0. Нам нужно найти такое число k, что при всех n>k выполнялось бы неравенство | – 0|<e, или n >e . Выберем k=1/e. Тогда при n>k имеем: = < =e.

По определению

Пример 3.

Найти .

Решение. Обозначим  дробь, стоящую под знаком предела, через f(x). В числителе и знаменателе дроби f(x), стоят функции, непрерывные в точке х=5. Предел этих функций при х®5 равен их значению в точке х=5, т.е. равен 0. В этом случае говорят, что имеет неопределенность (0/0). Для ее раскрытия придется прибегнуть к искусственному приему – умножению числителя и знаменателя дроби f(x) на :

= == = = .

Ответ: 1/4.

 

Пример 4.

Найти .

Решение. ;

, если x ≤ 3.

, при этом х ≤ 3

 непрерывен на всей  числовой прямой, и  в частности,  в точке х=2. Поэтому .

Ответ: 20.