Автор: Пользователь скрыл имя, 20 Ноября 2014 в 18:40, курсовая работа
Есть многочлен степени n. Этот многочлен называется стандартизированным многочленом Чебышева-Эрмита (квадратурная формула с весом Чебышева-Эрмита), а формула (1.3)-формулой Родрига.
Из формул (1.2) и (1.3) следует, что старший член многочлена образуется при дифференцировании множителя ехр(), и, следовательно, старший коэффициент этого многочлена равен =, т. е. имеем
Аналогично, если n-нечетное, т.е. n=2m+1, то для того чтобы решение (2.13) было многочленом, полагаем и выражаем все нечетные коэффициенты через , который останется произвольным.
Таким образом, если , то многочлен , коэффициент которого определяется через по рекуррентной формуле (2.14), является решением уравнения (2.12) при условии, что он содержит только четные степени t, а так произвольный множитель можно определить так, чтобы выполнялось условие (2.10). Аналогично при многочлен должен быть нечетным за счет выбора должен удовлетворять тому же условию (2.10).
Следовательно, в силу (2.11) последовательности собственных функций
(2.16)
Которые являются решениями уравнения (2.5) при условии (2.6), причем каждая функция (2.16) ограничена равномерно на всей оси.
А теперь отметим главное. Дифференциальное уравнение (2.12) при условии совпадает с уравнением y’’-2xy’+2ny=0, которому удовлетворяет многочлен Чебышева-Эрмита Поэтому возникает вопрос о связи многочленов и . Докажем, что эти многочлены могут отличаться только множителем.
В самом деле, два соседних коэффициента многочлена связаны равенством
из которого, полагая в нем , находим
Но такой же вид имеет рекуррентное соотношение (2.14), если в нем поставить . Следовательно, многочлены и могут отличаться только потому, что по-разному выбран первый коэффициент. А так как все коэффициенты у обоих многочленов выражаются линейно через первый, то, следовательно, многочлены и могут отличаться только постоянным множителем, который можно считать положительным.
Для определения постоянной в формуле воспользуемся двумя равенствами
и
Из этих равенств находим
Следовательно, имеем
Подставляем это равенство в (2.11):
Наконец, возвращаясь к переменному , в силу формулы (2.7) получаем собственные функции дифференциального уравнения (2.3)
(2.17)
В силу формул (2.8) и (2.15) функция (2.17) является решением дифференциального уравнения (2.3) в случае, если энергия Е удовлетворяет условию
из которого находится квантовый спектр энергии элементарной частицы
(2.18)
Именно при этих значениях энергии возможны стационарные состояния элементарной частицы в силовом поле.
Таким образом, решения уравнения (2.3) при условии (2.18) выражаются через многочлены Чебышева-Эрмита по формуле (2.17).
Информация о работе Практическое применение квадратурных формул с весом Чебышева-Эрмита