Полный факторный эксперимент типа 2n и построение регрессионной модели

Министерство образования  Республики Беларусь

Белорусский национальный технический  университет

Факультет информационных технологий и робототехники

Кафедра «Системы автоматизированного  проектирования»

 

 

 

 

 

Отчёт

 по лабораторным работам №3 и №4 на тему:

«Полный факторный эксперимент типа 2ⁿ и построение регрессионной модели»

 

 

 

 

 

                                                   Исполнители: Петровский А.В.

Минина Н.С.

                                                                     Группа 107529

                                                                                           Руководитель: Мархель Т.А.

 

 

 

 

 

 

Минск 2012

Цели и задачи:

1. изучение методов планирования экспериментов для получения линейной и неполной степенной математических моделей статистики сложных объектов.
2. освоение основных методов обработки и анализа эксперимента, включая построение математической модели и проверку ее адекватности.

Составление матрицы  плана полного факторного эксперимента:

Необходимо получить регрессионную  модель для некоторого объекта. Известно, что объект имеет 3 входных контролируемых управляемых параметра. Предполагаем, что могут иметься парные зависимости между входными параметрами. Таким образом, нам необходимо получить регрессионную модель вида:

 

Для получения коэффициентов регрессионной модели нам необходимо спланировать эксперимент. Воспользуемся планом 1-го порядка – полным факторным экспериментом 2ⁿ. В соответствии с постановкой имеется 3 фактора: x₁, x₂, x₃. Будем варьировать их на двух уровнях. Поскольку факторы, вообще, могут быть неоднородны и иметь различные единицы измерения, требуется привести их к единой системе счисления путём перехода от действительных значений факторов к кодированным. Введём условное обозначение верхнего, нижнего и основного уровня факторов соответственно +1, -1, 0. При построении плана матрицы планирования эксперимента будем опускать единицы и писать только их знаки «+» или «-». Для оценки свободного члена b₀ введём в таблицу фиктивную переменную x₀. Значение x₀ всегда одинаково во всех строках и равно +1. Таким образом, матрица планирования примет вид, представленный в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 – матрица планирования ПФЭ 2ⁿ

Номер эксперимента	Значения  факторов в кодовых обозначениях				Комбинации  произведений факторов в кодовых обозначениях				Значения экспериментов
	X0	X1	X2	X3	X1X2	X1X3	X2X3	X1X2X3	y
1	+	-	-	-	+	+	+	-	-1,777778
2	+	+	-	-	-	-	+	+	-2,444444
3	+	-	+	-	-	+	-	+	-2,666667
4	+	+	+	-	+	-	-	-	-3,333333
5	+	-	-	+	+	-	-	+	-0,888889
6	+	+	-	+	-	+	-	-	-1,222222
7	+	-	+	+	-	-	+	-	-1,333333
8	+	+	+	+	+	+	+	+	-1,666667

 

Построение регрессионной  модели

В данной лабораторной работе не проводилось повторных опытов по причине жёстко заданной математической модели исследуемого объекта (формула). Поэтому нет возможности вычислить значение дисперсии параметра оптимизации, т.к. повторные опыты дают абсолютно равные значения, т.е. дисперсия равна 0. Поэтому в интерфейсе предусмотрена возможность прямого ввода значения дисперсии показателя оптимизации (см. рисунок 1).

Значение дисперсии показателя оптимизации  задано равным 0.015. Были определены значения коэффициентов регрессии, также было определено значение дисперсии ошибки определения коэффициентов регрессии равное 0.001875 (одно для всех коэффициентов) и значения t-критерия для каждого коэффициента (по формуле ).

Значения для коэффициентов  представлены в таблице 2. Значимость коэффициентов регрессии определялась по t-критерию Стьюдента. Значение t-критерия Стьюдента задавалось в интерфейсе программы (задано равным 2.31). Коэффициент считался значимым, если рассчитанное для него значение t-критерия оказывалось большим, чем указанное значение t-критерия Стьюдента (незначимые коэффициенты обозначены в таблице 2 розовым).

Рис. 1 – Вид окна приложения

Таблица 2 – Коэффициенты регрессии.

	b0	b1	b2	b3	b12	b13	b23	b123
Значение	-1,9167	-0,2500	-0,3333	0,6389	0,0000	0,0833	0,1111	0,0000
Критерий	44,2635	5,7735	7,6980	14,7545	0,0000	1,9245	2,5660	0,0000

 

Для полученной математической модели (в модель включались только значимые коэффициенты, незначимые приравнивались к 0) были рассчитаны значения ȳ - оценка математического ожидания параметра оптимизации объекта (см. рисунок 1). По полученным значениям ȳ была вычислена оценка дисперсии адекватности модели .  Адекватность модели проверялась с помощью F-критерия Фишера. Рассчитанное значение F-критерия (для ):

 

Табличное значение F-критерия Фишера (для f₁ = 3, f₂ = 8 и уровня значимости 0,05) – F_кр = 4.07

Т.к. F < F_кр, гипотеза об адекватности модели принимается, полученная регрессионная модель адекватна.

 

Вывод

Были изучены методы планирования эксперимента и получения математической модели сложного объекта. В частности  был построен план полного факторного эксперимента 2ⁿ, рассчитаны коэффициенты регрессии и определена их значимость, а также проверена адекватность полученной модели.