Поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел

Справочный  материал

 

I. Алгебраическая форма записи комплексного числа

 

1.  - алгебраическая форма записи комплексного числа  где

а - действительная часть комплексного числа, a=Rez

b - мнимая часть комплексного числа, b=Imz

i - мнимая единица, i²=-1.

 

Пусть , , тогда

2.  и ,

 

3.  - сопряженное к комплексному числу

 

4. Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме

1)

2)

3) , где

5. Алгебра (С, +, ) – поле комплексных чисел, где

1) - нейтральный элемент относительно сложения,

2) - единица поля,

3) противоположный к ,

4) обратный к , где .

 

II. Геометрическое изображение комплексных чисел

 

 

 

         

 

III. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

 

1.  , где

 - модуль комплексного числа,

- аргумент комплексного числа ( ), где - главное значение аргумента,

          

Если комплексное число или , то находится непосредственно по чертежу.

 

2. Зависимость между алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа

( и )

 

3. Операции над комплексными числами , 

1)

2)

3) . При - формула Муавра

4)

4. Геометрический смысл операций над комплексными числами

 

Умножение комплексных  чисел

Деление комплексных  чисел

Извлечение корня из комплексного числа (на примере ) Корень n-ой степени из любого комплексного числа имеет ровно n значений (при ), которые являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром (0; 0) и радиусом

 

ЗАДАЧИ

1. Найти Rez, Imz, , argz, (-z), , . Изобразить числа на комплексной плоскости и записать в тригонометрической форме

1)    3)     5) 

2)   4)     6) 

2. Заданы ли комплексные числа в тригонометрической форме? Если да, то записать в алгебраической форме

1)   3)    5) 

2)   4)   6)   

3. Вычислить:

4. Выполнить действия:

1)  3)      5) 

2)   4)     6) 

5. Выполнить действия  

1)  3)

2)   4)

6. Используя тригонометрическую форму, найти . Представить результаты операций в алгебраической форме. Изобразить геометрически комплексные числа и результаты операций

1)   3)

2)  4)

7. Вычислить, используя тригонометрическую форму комплексного числа

1)  2)

8. Извлечь корни из комплексного числа

1)  3)    5)

2)  4)     6)

9. Решить уравнение:

1) , 2) ,   3) .

10. Изобразите на комплексной плоскости С множество точек, удовлетворяющих следующим условиям:

1)  2)  3)  4)  5)

11. Доказать, что алгебра является полем.

 

Д/з Сборник задач по высшей математике. Под ред. В.И. Ермакова   4.2   4.3   4.6^а,г,з,и     4.8^а,б,е    4.10   4.12   4.13^а,в,д