Основные методы построения графиков функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс

Пусть требуется построить  график функции  y=f(wx),  где w>0. Рассмотрим  функцию y=f(x), которая в произвольной точке x=x₁  принимает значение y₁=f(x₁).

Очевидно,  что функция   y=f(wx)   принимает такое же значение  в точке x=x₂, координата

которой определяется равенством  x₁=wx₂,  или x₂= , причём  это равенство справедливо для совокупности всех значений  x  из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(wx)  оказывается сжатым  (при w>1) или растянутым (при w<1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y=f(x). Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика  функции y=f(wx) следует построить график функции y=f(x) и уменьшить его абсциссы  в w  раз при w>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при w<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции    y=f(wx).

Пример 15. Построить график функции   px.

Р е ш е н и е: Строим график функции  x (рис.18 – пунктирная кривая), и проводя его сжатие в p раз вдоль оси абсцисс, получаем график функции px (сплошная кривая). Период этой функции уже равен не  2p, а =2.   График пересекает ось абсцисс в точках  x=0, … .

Пример 16. Построить график функции  .

Р е ш е н и  е: Строим график функции  и, растянув его вдоль оси абсцисс в 3 раза, получаем  график функции     .

4. Комбинация  переноса, отражения и деформации

 Очень часто  при построении графиков функций применяют композицию приёмов, изложенных в  пунктах 1-3. Последовательное  применение ряда таких приёмов позволяет  существенно упростить построение графика  исходной функции и нередко  свести его в конце концов к построению одной из простейших элементарных функций.

Рассмотрим, как с учётом изложенного следует, например, построить график функции вида  y=Af(wx+a)+b. Запишем исходную функцию в виде   y=Af [ w ( x+ ) ] +b  и схему поэтапного её  упрощения (последовательность преобразований):

1.  y=Af [ w ( x+ ) ] + b ; перенос оси абсцисс на b  единиц;

2.  y=Af [ w ( x+ ) ];   перенос  оси ординат  на   единиц; 

 

3.  y=Af [ w x ];   отражение графика относительно оси абсцисс

(этап выполняется только при  A<0);

 

4.  y=÷A÷· f (wx);  сжатие или растяжение графика

вдоль оси ординат;

 

5.  y=f (wx)   отражение графика относительно оси ординат  

(этап выполняется  только при w<0);

 

6.  y=f (÷w÷ x);   сжатие или растяжение вдоль оси абсцисс; 

 

7.  y=f ( x);

Проводя построение графика  шаг за шагом в порядке, обратном порядку упрощения вида функции  с учётом всех указанных правил, получим график исходной функции.

Пример 17. Построить график функции  y= .

Р е ш е н и е: Схема построения графика :

 

1. y=

x 0,  y= ;

y= ;

у= ;

y= ;

 

Итак, построение графика  исходной функции следует начинать с построения графика функции  y= .  График (рис.20) пересекает ось ординат в точке (из условия x=0), а ось абсцисс в точках x=±1 (из условия y=0, т.е. =0).

 В заключении отметим, что порядок  упрощения целесообразно  проводить  в следующей последовательности.

1. Использование чётности или  нечётности функции.
2. Перенос осей.
3. Отражение и деформация.

Построение же графика, как обычно, выполняется в обратной последовательности.

 

 

Задание для  самостоятельного выполнения

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного выполнения. Вам необходимо построить  графики функций, оформить работу отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

М.11.2.1 С помощью элементарных преобразований постройте графики следующих функций:

2. y=x²-2;
3. y=(x+1)²;
4. y=sin x;
5. y=- 3sin x;
6. y=tg ;

 

М.11.2.2. Написать последовательность преобразований и построить графики  следующих функций:

 

2. y= ;

3. y=(x-1)³+2;
4. y=ln (1-x);
5. y=tg(- );
6. y= cos(2x-1)-2.

Хабаровская краевая  заочная физико-математическая школа