Определённый интеграл

Определенный интеграл.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция илифункционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками  . Тогда говорят, что произведено разбиение  отрезка   Далее выберем произвольную точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

 

Формула Ньютона – Лейбница.  
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

 

Линейные свойства определенного  интеграла. 

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

 

2.  где k - константа;

 

 

 

5. Если   для всех  , то  .

 

 

 

8. Если   в интервале [a, b], то 

 

Геометрические приложения определенного интеграла.

если f(x) >0 на отрезке [a,b], то   равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Рис.1		Рис.2

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой