Оқиға жəне оларға амалдар қолдану. Ықтималдықтар классикалық анықтамасы.

Page 1

1 - МАШЫ ТАНУ САБАҒЫ
ОҚИҒА ЖƏНЕ ОЛАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ.
ЫҚТИМАЛДЫҚТАР КЛАССИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ.
Ы тималды тар теориясы - ол кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін математикалық
ғылым саласы. Оқиға жəне ықтималдық ұғымдары бұл теорияның негізі болып табылады. Бұл ұғымдарды
енгізу үшін, əдетте, 1929 жылы академик А.Н. Колмогоров ұсынған ықтималдықтар теориясының
теориялық-жиындық моделін, яғни ы тималды ке істігі деп аталатын
,
(Ω
F,
)P
үштігін негізге алады,
мұндағы:
{ }
ω
=
Ω
- қарастырылып отырған кездейсоқ құбылыстың барлық (өзара сыйспайтын) элементар
нəтижелерінің жиыны, Ω ≠ ∅ (∅ -бос жиын).
F -
Ω
-ның о иғалар (кездейсо о иғалар) деп аталатын барлық ішкі жиындарының жүйесі, басқаша
айтқанда F
σ
-алгебра (сигма-алгебра), яғни мына шарттарды қанағаттан-дыратын жиындар жүйесі:
А1.
∈
Ω
F,
А2. Егер
∈
A
F болса, онда
∈
A
F ,
А3. Егер
∈
,...
,...
,
2
1
n
A
A
A
F болса, онда
∈
∞
=
U
1
i
i
A
F.
Р - əрбір
∈
A
F оқиғасы үшін анықталған ы тималды (ы тималды ты функция) деп аталатын
сандық функция; Ықтималдық келесі шарттарды (аксиомаларды) қанағаттан-дырады:
Р1. Кез келген
∈
A
F оқиғасы үшін
( )
0
≥
A
P
(теріс емес аны талғанды асиеті),
Р2.
1
=
Ω )
(P
(нормаланғанды асиеті),
Р3. Кез келген
∈
,...
,...,
,
2
1
n
A
A
A
F ,
)
(
j
i
A
A
j
i
≠
∅
=
I
үшін
( )
∑
∞
=
∞
=
=






1
1
i
i
i
i
A
P
A
P
U
.
Бұл қасиет ықтималдықтың сигма-аддитивтілік (саналымдылы ) қасиеті деп аталады.
( )
P A
A - оқиғасының ы тималдығы деп аталады.
Егер Р3 қасиеті ақырлы санды оқиғалар үшін орындалса, онда ықтималдықтың бұл қасиеті а ырлы
аддитивтілік асиеті деп аталады.
Егер А3 шарты а ырлы санды оқиғалар үшін ғана орындалса, онда мұндай жиындар жүйесі F алгебра
деп, ал
)
(
P,
,F
Ω
үштігі ке ейтілген ы тималды ке істігі деп аталады.
Сонымен, алгебра — ақырлы санды толықтауыш жиын алу, қосу жəне қиылысу операцияларына
байланысты жабық жиындар жүйесі; ал
σ
-алгебра — жүйенің саналымды жиындарына жоғарыдағы
операцияларды қолдану осы жүйеде қалдыратын (жабық болатын) жиындар жүйесі.
Егер
{ }
ω
=
Ω
жиыны жəне оның қандай да бір ішкі жиындарының алгебрасы не
σ
-алгебрасы F
берілсе, онда
)
P
F
(
,
,
жұбы лшенетін ке істік деп аталады.
Кез келген санды
σ
-алгебралардың (алгебралардың) қиылысуы тағы да
σ
-алгебра (алгебра) болады.
Егер A Ω -ның қандай да бір ішкі жиындарының жүйесі болса, онда оны қамтитын е кіші алгебра
α
(A) жəне е кіші
σ
-алгебра
σ
(A) əрқашан бар болады жəне олар сəйкес A жүйесі арқылы пайда болған
ең кіші алгебра жəне ең кіші
σ
-алгебра деп аталады.
(
)
∞
+
−∞
=
,
R
сан түзуіндегі барлық мүмкін болатын интервалдарды қамтитын ең кіші
σ
-алгебра
борелдік
σ
-алгебра деп аталады жəне ол
)
(R
β
арқылы белгіленеді. Борелдік
σ
-алгебраның элементтері
борелдік жиындар деп аталады.
)
(
n
R
β
борелдік
σ
-алгебрасы
(
)
{
}
n
i
R
x
x
x
x
R
R
R
R
i
n
n
,...,
2,
1
,
:
,...,
,
2
1
=
∈
=
×
×
×
=
K
кеңістігіндегі барлық тікт ртб рыштарды (шарларды) қамтитын ең кіші
σ
-алгебра ретінде анықталады.
(
)
{
}
...
,2
,1
,
:
...
,
,
...
2
1
=
∈
=
×
×
=
∞
i
R
x
x
x
R
R
R
i
үшін борелдік
σ
-алгебра
)
(
∞
R
β
ұқсас анықталады.
Борелдік
σ
-алгебралар жеткілікті бай жиындар жүйелері болып табылады жəне олар біздің практикалық
мақсаттарымызды толық қанағаттан-дырады да.
Қандай да бір ықтималдықтық есепті формалдау үшін есепке қатысты тəжірибені сəйкес
(
)
F,
Ω
өлшенетін кеңістігімен сипаттау керек. Онда
{ }
ω
=
Ω
жиыны эксперименттің барлық мүмкін болатын
элементар нəтижелерінің жиыны, ал F -алгебрасы (
σ
-алгебрасы) барлық о иғалар ж йесін
райды (бөліп

---

Page 2

көрсетеді): егер
F
∈
A
болса, онда A - оқиға, басқа жағдайда
(
)
F
∉
A
- о иға бола алмайды. Көбіне (іс
жүзінде) оқиғалар класы болатын F
σ
-алгебрасын қандай да бір A -алгебрасы арқылы пайда болған
σ
-
алгебра ретінде қарастырған қолайлы ([1]-[3]).
Нендей де бір оқиғалардың алгебрасы не
σ
-алгебрасы болатын F жүйесін басқалардан бөле-жарып
қарау — ол, біріншіден қарастырып отырған есептің мəн-мазмұнына, екіншіден Ω жиынының құрылымына
(табиғатына) байланысты. Жалпы ықтималдық ұғымын Ω -ның кез келген ішкі жиыны үшін оның
(ықтималдықтың) мағынасы болатындай етіп анықтауға болмайды ([1]-[3]).
Əрбір
Ω
∈
ω
элементар о иға деп, ал Ω -ның өзі элементар о иғалар ке істігі (э.о.к.) деп аталады.
Оқиғалар Ω -ның ішкі жиындары болатындықтан, теориялық-жиындық терминологияны пайдаланып жаңа
оқиғаларды сəйкес жиындардың қосындысы, қиылысуы жəне толықтауыш жиындары ретінде анықтауға
болады. Оқиғаларға қол-данылатын амалдарды жиындарға қолданылатын амалдарға ұқсас түрде
ықтималдыққа тəн арнайы терминдерді пайдаланып анықтаймыз.
Егер кездейсоқ тəжірибе (сынақ, құбылыс) нəтижесінде элементар
Ω
∈
ω
оқиғасы пайда болатын болса
жəне
∈
∈
ω A F болса, онда тəжірибе нəтижесінде A оқиғасы пайда болды дейді.
∈
B,
A
F оқиғалары үшін
B
A U
арқылы осы оқиғалардың ең болмағанда біреуі пайда болған кезде ғана пайда болатын оқиғаны
белгілейді жəне оны A жəне B оқиғаларының осындысы (бірігуі) деп атайды.
B
AI
(немесе A
В
) арқылы
A жəне B оқиғаларының екеуі де пайда болған кезде ғана пайда болатын оқиғаны белгілейді, оны A , B
оқиғаларының к бейтіндісі ( иылысуы) деп атайды. A оқиғасы пайда болған, ал B оқиғасы пайда
болмаған кезде ғана пайда болатын оқиғаны A жəне B оқиғаларының айырымы деп атайды жəне оны
B
\A
арқылы белгілейді. A арқылы A оқиғасы пайда болмаған кезде ғана пайда болатын оқиғаны
белгілейді де, оны A
оқиғасына арама- арсы оқиға деп атайды ( A жиыны A -ға толықтауыш жиын).
Егер A оқиғасы пайда болғаннан əруақытта B оқиғасының пайда болатыны шықса, онда A оқиғасы B
оқиғасын ілестіреді дейді жəне оны
B
A ⊆
арқылы белгілейді. Егер A оқиғасы B оқиғасын, ал B оқиғасы
A оқиғасын ілестіретін болса, онда мұндай оқиғалар те о иғалар деп аталады да, A = B деп белгіленеді.
Ω -а и ат о иға, ал ∅ (бос жиын) м мкін емес оқиға деп аталады. A жəне B оқиғалары бірдей уақытта
пайда болмайтын болса ( AB =∅ ) онда олар йлеспейтін оқиғалар деп аталады. Үйлеспейтін оқиғалардың
қосындысы үшін əдетте U таңбасының орнына
+
таңбасын пайдаланады: A B =∅ болса
B
A
B
A
+
=
U
.
Егер
{ }
ω
=
Ω
=
{
}
,...
,
2
1
ω
ω
ақырлы не саналымды жиын болса, мұндай элементар оқиғалар кеңістігі
дискретті элементар о иғалар ке істігі деп аталады жəне де бұл жағдайда оның кез келген ішкі жиыны
о иға болады: F
{
}
Ω
⊆
=
A
A:
.
Жиындарға қолданылатын амалдардың қасиеттері оқиғаларға қатысты амалдарға да тəн. Мəселен,
U
U
I
U
i
i
i
i
i
i
i
i
A
A
A
A
=
=
,
( осарлылы принципі),
,
)
\
(\
,
\
\
,
,
,
,
\
AB
B
A
A
B
A
AB
A
B
A
A
A
A
A
=
=
=
=
∅
=
=
∅
=
Ω
Ω
Ω
B
A ⊆
болса, онда
A
B ⊆
т.с.с.
Айталық, Ω =
{
}
,...
,
2
1
ω
ω
дискретті элементар оқиғалар кеңістігінің əрбір элементар
ω
оқиғасына
сəйкес
)
(
ω
P
саны қойылатын жəне ол
)
(
ω
P
,0
≥
1
)
(
=
∑
Ω
∈
ω
ω
P
(1)
шартын қанағаттандыратын болсын. Онда
)
(Pω саны
ω
элементар оқиғасының ы тималдығы деп
аталады да,
Ω
⊆
A
оқиғасының ықтималдығы былай анықталады:
∑
∈
=
A
)
(P
)
A
(P
ω
ω
.
(2)
Егер Ω =
{
}
,...
,
2
1
ω
ω
дискретті элементар оқиғалар кеңістігі, F=
{
}
Ω
⊆
A
A:
, P (1.1) формуласымен
анықталған ық-тималдық болса, онда ( Ω ,F, P ) үштігі дискретті ы тималды ке істігі (егер
∞
<
Ω
(
А
А
−
жиынының қуаты (элементтер саны)) болса а ырлы ы тималды ке істігі) деп аталады.
Дискретті ықтималдық кеңістігіндегі оқиғалар жүйесі
σ
-алгебра (сигма-алгебра) болатынын, ал
ықтималдық
P
Р1-Р3 қасиеттерін қанағаттандыратынын байқау қиын емес.

---

Page 3

Сонымен, дискретті ықтималдық кеңістігін анықтау үшін Ω =
{
}
,...
,
2
1
ω
ω
дискретті элементар оқиғалар
кеңістігін жəне








=
∑
≥
=
→
1
,0
)
(
k
k
k
k
k
k
p
p
P
p
ω
ω
бейнелеулерін беру жеткілікті.
Р1-Р3 аксиомаларынан шығатын ықтималдықтың мынан-дай қасиеттеріне назар аудара кетейік:
.
0
1
( )
( )
( )
(
) ( ) ( )
AB
P
A
P
B
A
P
A
P
A
P
P
−
=
−
=
=
∅
\
,
1
,0
,
B
A ⊆
болғанынан
)
B
(P
)
A
(P
≤
болатыны шығады;
.
0
2
)
(
)
(
)
(
)
(
AB
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
U
,
(3)
жалпы түрде:
)
...
(
)1
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
1
n
k
j
i
n
k
j
i
j
i
j
i
n
i
i
n
i
i
A
A
A
P
A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
P
∑
∑
∑
<
<
−
<
=
=
−
+
−
+
−
=








U
(3′ )
Соңғы формулалар ы тималды тарды осу формулалары деп аталады.
.
0
3
≤








∞
=
U
1
i
i
A
P
∑
∞
=1
)
(
i
i
A
P
.
.
0
4
3′
P (ықтималдықтың жоғарыдан зіліссіздік қасиеті).
Егер
...
A
A
⊆
⊆
2
1
,
A
A
n
n
=
∞
=
U
1
(қысқаша
A
A
n
↑ ) болса, онда
)
(
lim
)
(
n
n
A
P
A
P
∞
→
=
.
.
0
5
3 ′
P
(ықтималдықтың т меннен зіліссіздік қасиеті).
Егер
...
A
A
⊇
⊇
2
1
,
A
A
n
n
=
∞
=
I
1
(қысқаша
A
A
n
↓ ) болса, онда
)
(
lim
)
(
n
n
A
P
A
P
∞
→
=
.
.
0
6
3
′′
P
(ықтималдықтың н лдегі зіліссіздік қасиеті).
Егер
...
A
A
⊇
⊇
2
1
жəне
∅
=
∞
=
I
1
n
n
A
(қысқаша
∅
↓
n
A
) болса, онда
0
1
=








∞
=
I
n
n
A
P
.
.
0
7
Егер
P
-ақырлы аддитивті болса жəне
'3
P
не
3′′
P
не
3 ′′
P
қасиеттерін қанағаттандырса, онда
P
саналымды аддитивті, яғни Р3 қасиетін қанағаттандырады.
.
0
8








−
=








=
=
I
U
n
i
i
n
i
i
A
P
A
P
1
1
1
,








−
=








=
=
U
I
n
i
i
n
i
i
A
P
A
P
1
1
1
.
Ықтималдықтың бұл қасиеттері турасында 1.28-1.37 есептерді жəне олардың шешулерін (нұсқауларын)
қараңыз.
u
Айталық, (
Ω
,F,
P
) а ырлы ы тималды ке істігі (яғни,
∞
<
=
Ω
n
) болсын жəне де бұл
кеңістіктегі
барлық
элементар
оқиғалар
өзара
тең
ықтималдықты
болсын.
Онда
n
)
n
(P
...
)
(P
)
(P
1
2
1
=
ω
=
=
ω
=
ω
болғандықтан (1.2)- формуладан кез келген
Ω
⊆
A
үшін
Ω
=
A
A
P )
(
(4)
болатыны шығады.
Мұндай ықтималдықтық схема тəжірибенің ерекшелігін анықтайтын шарттарға қарағанда барлық
элементар оқиғалар (қандай да бір мағынада) симметриялы, яғни те м мкіндікті болған жағдайларда
қолданылады. Ықтималдықты осылай (1.4)- формула арқылы анықтау ы тималды ты классикалы
аны тамасы деп аталады.
1-мысал. Ойын сүйегі екі рет лақтырылған.
1. Ықтималдық кеңістігін жəне мына оқиғаларды сипаттаңыз:
а)
−
A түскен ұпайлардың қосындысы 10-ға тең;

---

Page 4

ə)
−
B ең болмағанда бір рет “6” ұпай түседі;
б)
−
C түскен ұпайлардың қосындысы жұп сан;
в)
−
D түскен ұпайлардың қосындысы 10-нан кем емес;
2. Барлық элементар оқиғалар тең ықтималдықты деп есептеп,
D
C
AB
D
C
B
A
U
,
,
,
,
,
оқиғаларының
ықтималдық-тарын табыңыз.
Шешуі. 1. Элементар оқиғалар кеңістігі ретінде мына жиынды алуға болады:
{
}
6
,...,
2,
1
,
:)
,(
=
=
=
Ω
j
i
j
i
ω
,
мұндағы
−
)j
,i
(
элементар оқиға:
−
i бірінші,
−
j екінші рет ойын сүйегін лақтырғанда түскен ұпай саны.
Онда
36
6
2
=
=
Ω
жəне
F
{
}
Ω
⊆
=
A
A:
,
)
)
,
((
36
1
)
,(
Ω
∈
=
j
i
j
i
P
.
а)
( )
{
} ( ) ( ) ( )
{
}
;
,
,
,
,
,
j
i:
j,
i
A
4
6
5
5
6
4
10 =
=
+
Ω
∈
=
ə)
{
}
=
=
=
Ω
∈
=
6
6
:
)
,(
j
немесе
i
j
i
B
{
}
)6
,5(
),...,
6,
1(
),
6,
6(
...,
),1
,6
(
;
б)
{
} {
−
=
=
=
+
Ω
∈
=
i:
)j
,i
(
,,
,,
,
k
,k
j
i:
)j
,i
(
C
6
5
4
3
2
1
2
та ,
−
j та
немесе
−i
ж п,
−
j
ж п
)};
6,
6(
),...,
5,
1(
),...,
1,
1
{(
} =
в)
{
} {
}
)
,
(),
,
(),
,
(),
,
(),
,
(
j
i:
)j
,i
(
D
6
5
6
4
6
6
5
6
4
6
10 =
≥
+
Ω
∈
=
.
2. (1.3) - формула бойынша
;
12
1
36
3
)
(
=
=
Ω
=
A
A
P
;
36
11
)
(
=
Ω
=
B
B
P
;
2
1
36
18
)
(
=
=
Ω
=
C
C
P
;
36
5
)
(
=
Ω
=
D
D
P
;
18
1
36
2
)
(
=
=
Ω
=
AB
AB
P
.
9
5
36
20
)
(
=
=
Ω
=
D
C
D
C
P
U
U
2-мысал. Ойын сүйегі қашан "алтылық" түскенше лақтырыла береді. Элементар оқиғалар кеңістігі
−
Ω
ны жəне сəйкес ықтималдық кеңістігін сипаттаңыз. Бірдей санды лақтырымды қажет ететін барлық
элементар оқиғалар тең ықтималды деп есептеп, мына оқиғалардың ықтималдық-тарын табыңыз:
−
A
”алтылық” алғашқы екі лақтыру кезінде түсті;
−
B
лақтыру саны тақ сан.
Шешуі.
Элементар
оқиғалар
кеңістігі
ретінде
мына
{
:)
6,
,...,
,
(
1
2
1
−
=
Ω
n
ω
ω
ω
,5
,...,
2,
1
=
i
ω
}
2
,1
,...,
1
≥
−
=
n
n
i
жиынын алуға болады, мұндағы
)6
,
,...,
(
1
1
−
n
ω
ω
оқиғасы алғашқы
1
−
n
лақтыру кезінде 6-дан өзгеше (яғни 1,2,3,4,5) ұпайлар, ал ойын сүйегін
−
n
ші рет лақтырғанда 6 ұпай
түскенін білдіреді, ал бұл оқиғаның ықтималдығы
=
−
)6
,
,...,
,
(
1
2
1
n
P
ω
ω
ω
n
n
6/
5
1−
=
(
;1
,
,2
,1
,6
−
=
≠
n
i
i
K
ω
жəне де лақтырымның барлық
n
6 нəтижесі тең ықтималды).
{
}
;
5
,...,
2,
1
),
6,
(
);
6(
1
1
=
=
ω
ω
A
36
11
6
1
5
6
1
)
(
2
=
⋅
+
=
A
P
;
{
}
,...
2,
1
:)
6,
,...,
,
(
),...,
6(
2
2
1
=
=
n
B
n
ω
ω
ω
;
11
6
...
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
)
(
4
2
=
+
⋅






+
⋅






+
=
B
P
.
Ы тималды ке істігі
1. Спорт жарысының жеңімпаздары мынандай сыйлық-тармен марапатталған: жай сыйлықпен
(
A
оқиғасы), ақшалай сыйлықпен (
B
оқиғасы), медальмен (
C
оқиғасы). Келесі оқиғалар нені білдіреді:
а)
B
A U ; ə)
C
B
A ⋅
⋅
; б)
C
B
A \
?
2.
B
A,
- оқиғалар болсын.
B
A
X
A
=
шартын қанағаттан-дыратын барлық
X
оқиғаларын табыңыз.

---

Page 5

3. Ойын сүйегі бір рет лақтырылған.
A
={жұп ұпай түсті}; B={үштен кем емес ұпай түсті} дегенді
білдіретін оқиғалар болсын. Элементар оқиғалар кеңістігін жəне келесі оқиғаларды сипаттаңыз:
B
AU ,
B
A I ,
B
A\
, A .
5-сурет
4. Тіктөртбұрышқа кездейсоқ бір нүкте лақтырылған. (5-суретті қараңыз).
A
={бөлшек
A
дөңгелегіне
түс-ті}, B={бөлшек B үшбұрышына түс-ті} дегенді білдіретін оқиғалар болсын.
,
,
A B A B
U
I
\ ,
A B A
оқиғаларын сипаттаңыз.
5. Келесі теңдіктерді дəлелдеңіз:
а)
AB
)
B
\A
(\
A
=
;
г)
U
AB
B
A
=
∆
B
A ;
ə)
AB A B
=
I ;
д)
( ) ( )
B
A
B
A
B
A
∆
∆
=
;
б)
AB
B
A
=
U
;
е)
I
U
n
i
i
n
i
i
A
A
1
1
=
=
=
;
в)
)
B
A
(
AB
B
A
∆
=
U
U
;
ж)
U
I
n
i
i
n
i
i
A
A
1
_______
1
=
=
=
.
6.
A
B
A
U
жəне
A
\B
оқиғалары тең оқиғалар болатынын дəлелдеңіз.
7. Екі адам шахмат ойнайды.
A
оқиғасы- бірінші ойыншы, ал
B
оқиғасы- екінші ойыншы ұтты дегенді
білдіретін оқиғалар болсын. Келесі оқиғаларды сипаттаңыз:
а)
B
A∆ ; ə)
B
A∆ ; б)
B
A∆ ; в)
A
\
B
; г)
B
\A
.
8. ара, а шарлары бар жəшіктен
n
шар алынған.
i
A
оқиғасы
i
-ші шар
(
)
n
i ≤
≤
1
ақ түсті дегенді
білдіретін оқиға болсын.
(
)
n
i
A
i
,...,
2,
1
=
арқылы келесі оқиғаларды өрнектеңіз: а) барлық шар а түсті; ə) ең
болмағанда бір шар а түсті; б) дəл бір шар ақ түсті; в) а шарлар
k
-дан артық емес
(
)
n
k ≤
≤
1
; г) ең
болмағанда
k
шар а түсті; д) дəл
k
шар а түсті; е) барлық
n
шар бірдей түсті.
9. а) “Оқиға” сөзінен кездейсоқ бір əріп алынған. Осы оқиғаға сəйкес келетін элементар оқиғалар
кеңістігін сипаттаңыз.
ə) Тиын екі рет лақтырылған. Осы оқиғаға сəйкес келетін элементар оқиғалар кеңістігін сипаттаңыз.
10. Симметриялы айырым алу операциясы коммутативті (ассоциативті) бола ма?
11. Егер
A B C D
∆ = ∆
болса, онда
A C B D
∆ = ∆
болатынын дəлелдеңіз.
12. Нысана радиусы r
k
(k=1,2,…,10) болатын шеңберлермен шектелген 10 дөңгелектен тұрады жəне
10
2
1
...
r
r
r
<
<
<
.
k
A
оқиғасы кездейсоқ атылған оқтың радиусы
k
r
болатын дөңгелекке тигенін білдіреді.
Келесі оқиғалар нені білдіреді:
U
6
1
=
=
k
k
A
B
;
I
10
1
=
=
k
k
A
C
;
2
1
A
A
D =
;
6
5
A
A
E
∆
=
;
5
3
1
A
A
A
F
U
U
=
;
(
)
6
2
1
A
A
A
G
I
U
=
.
13. Ерлі-зайыптылардың тобынан бір жұп алынған.
A
- ерінің жасы 30-дан асқан,
B
-ері əйелінен
үлкен,
C
- əйелінің жасы 30-дан асқан дегенді білдіретін оқиғалар болсын. Онда
,
ABC
,
AB
\A
C
B
A
оқиғалары нені білдіреді?
14.
A
,
B
,
C
кездейсоқ оқиғалар болсын. Келесі қаты-настарды ықшамдаңыз: а)
(
) (
)
C
B
B
A
U
I
U
; ə)
(
)
(
)
B
A
B
A
U
I
U
; б)
(
)
(
)
(
)
B
A
B
A
B
A
U
I
U
I
U
;
15.
A
,
B
кездейсоқ оқиғалар болсын. Келесі қатынас-тарды дəлелдеңіз: а)
);
(
B
A
AB
B
A
∆
∆
=
U
ə)
);
(
\
AB
A
B
A
∆
=
б)
B
A
B
A
B
A
∆
=
∆
)
(
)
(
U
U
.
16. (
)(
)
A B A B
U
U
U (
)(
)
A B A B
U
U
жəне (
)(
)
A B A B
U
U
U U (
)(
)
A B A B
U
U
оқиғаларының а и ат
оқиға, ал (
)(
)
A B A B
U
U
I
)
B
A
)(
B
A
(
U
U
оқиғасының м мкін емес оқиға болатынын дəлелдеңіз.
17.
A
жəне
B
кездейсоқ оқиғалар болсын. Келесі теңдіктерді дəлелдеңіз:
);
AB
(P
)
B
(P
)A
(P
)
B
A
(P
+
−
−
=
⋅
1
).
A
B
(P
)
B
(P
)
B
A
(P
)
A
(P
+
=
⋅
+

---

Page 6

18. Мына шарттар орындалсын: а)
;A
B
A
=
U
ə)
A
AB =
. Онда
A
жəне
B
оқиғалары туралы не
айтуға болады?
19. Кез келген
A
жəне
B
оқиғалары үшін
,B
A ⊂
,B
A ⊃
,B
B
A
=
U
,A
AB =
∅
=
B
\A
қатынастары мəндес (эквивалентті) болатынын дəлелдеңіз.
20.
3
2
1
,
,
A
A
A
- үш оқиға болсын. Мына оқиғаларды осы оқиғалар арқылы жазыңыз:
а) тек
1
A
оқиғасы пайда болды;
ə)
1
A
мен
2
A
пайда болды,
3
A
пайда болған жоқ;
б) үш оқиға да пайда болды;
в) үш оқиғаның ең болмағанда біреуі пайда болды;
г) ең болмағанда екі оқиға пайда болды;
д) бұл оқиғалардың тек біреуі ғана пайда болды;
е) тек екі оқиға пайда болды;
ж) бірде-бір оқиға пайда болған жоқ;
з) екіден артық оқиға пайда болған жоқ.
§2. Ы тималды ты классикалы аны тамасы
1. Үш орынды натурал сандар жиынынан кездейсоқ бір сан алынған болса, сол санның: а) 3-ке; ə) 5-ке
бөлінетін сан болуының ықтималдығы неге тең?
2. Ойын сүйегі екі рет лақтырылған. Түскен ұпайлардың қосындысы 6-ға бөлінетін сан болу
ықтималдығын табыңыз.
3. Үш тиын лақтырылған. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
A
={1-ші тиында “герб” түсті},
B
={дəл екі “герб” түсті},
C
={екіден артық емес рет “герб” түсті}.
4. Анықтамалық кітапшада 93-3-... телефон нөмірінің соңғы үш цифры өшіп қалған. Егер өшкен
цифрлардың барлық комбинациялары тең ықтималдықты деп есептесек, онда келесі
A
={1,3,5-тен өзге əртүрлі цифрлар өшкен},
B
={бірдей цифрлар өшкен},
C
={өшкен цифрлардың екеуі бірдей}
оқиғаларының ықтималдықтары неге тең?
5. 1,2,3 сандарымен нөмірленген сөреде үш том кітап тұр. Томдардың нөмірлерінің барлық мүмкін
болатын қатарлары бірдей ықтималдықты деп есептеп, ең болмағанда бір томның тұрған орын нөмірі
томның өз нөмірімен сəйкес келу ықтималдығын табыңыз.
6. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз: а) түскен ұпайлардың
қосындысы жетіге тең; ə) түскен ұпайлардың қосындысы сегізге, ал айырымы- төртке тең.
7. Ойын сүйегі екі рет лақтырылған. Қай оқиға ықтималдырақ:
A
={түскен ұпайлардың қосындысы
жұп сан}, əлде B={түскен ұпайлардың қосындысы тақ сан}?
8. Ойынның шарты бойынша үш ойын сүйегі лақтырылады да, түскен ұпайлардың қосындысы 10-нан
аспаса бірінші ойыншы жеңеді. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз: а) түскен ұпайлардың
қосындысы 11; ə) түскен ұпайлардың қосындысы 12; б) бірінші ойыншы жеңді.
9. Біреуге берілген
n
кілттің тек біреуі ғана есіктің құлпына дəл келеді. Ол кілттерді бір-бірлеп
қайтарымсыз түрде пайдаланып, есікті ашуға тырысады. Бұл процеске
,
...
,2
,1
n
сынақ қажет болуы
мүмкін екені түсінікті. Əрбір нəтиженің ықтималдығы
n
1
болатынын, яғни қажетті кілтті
k
-ші
(
)
n,
...,
,
k
2
1
=
сынақ кезінде алу ықтималдығы
n
1
болатынын көрсетіңіз.
10. Қандай да бір адам автомашинасын түнгі тұраққа заңсыз қойғаны үшін 12 рет айып төлеген. Барлық
айып сейсенбі жəне бейсенбі күндеріне сəйкес келген. Осы оқиғаның ықтималдығы туралы не айтуға
болады?
11. Жалғасы. Салынған 12 айыптың бірде-бірі жексен-біге түспеген. Бұл жексенбі айып салынбайтын
күн болатынын білдіре ме?
12. Тауға шаңғы тебуге бара жатып Еркебұлан 10 қалтасының əрқайсысына бір-бірден 10 бауырсақ
салған. Əрбір 10 минут сайын оның бауырсақ жегісі келеді де, бауырсақ тапқанша қалталарын бір-бірлеп
кездейсоқ ақтарады. Онда оның
k
-шы
)
10
,...,
2
(
=
k
бауырсақты бос қалтадан бастап іздеу ықтималдығы
неге тең?
13. 1,2,3,4,5 сандары бес карточкаға жазылған. Кездейсоқ ретпен алынған үш карточкадағы цифрлар
оңнан солға қарай орналастырылған. Онда осы үш орынды санның жұп сан болу ықтималдығы неге тең?
Егер цифрлар солдан оңға қарай орналастырылса жауап өзгере ме?

---

Page 7

14. А жəне ара шарлары бар урнадан шарлар қайтарымсыз түрде бір-бірлеп түгелдей алынған.
A
={бірінші алынған шар а шар}, В ={соңғы алынған шар а шар} дегенді білдіретін оқиғалар. Қай оқиға
ықтималдырақ?
15. Ыдыста m а , n ара шар бар. Екі ойыншы кезекпен бір-бір шардан алады да, келесісі ыдыстан
шар алар алдында алдыңғысы алған шарын қайтадан ыдысқа қайтарады. Кім бұрын а шар алса, сол жеңеді.
Егер ойынның шексіз көп қайталана беру мүмкіндігі болса, онда бірінші ойыншының жеңу ықтималдығы
неге тең?
2-МАШЫ ТАНУ САБАҒЫ
КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ
Айталық,
n
əртүрлі элементтен тұратын қандай да бір негізгі жиын (бас жиынты )
0
Ω
берілсін:
{
}
,
,...,
,
2
1
0
n
a
a
a
=
Ω
∞
<
=
Ω
n
0
. Бұл бас жиынтықтан алынған
)
,...,
,
(
2
1
r
i
i
i
a
a
a
=
ω
реттелген тізбегін бас
жиынтықтан алынған көлемі
r
–ге тең та дама (іріктеме) деп атайды.
Егер осы ықтималдықтық схема үшін
{
}
r
j
a
a
a
a
j
r
i
i
i
i
,...,
2,
1
,
:)
,...,
,
(
0
2
1
=
Ω
∈
=
=
Ω
ω
болса жəне барлық элементар о иғалар (та дамалар) те ы тималды ты болса, онда мұндай схеманы
айтарылатын ( айталанатын) кездейсо та дамалар схемасы деп, ал схеманың əрбір таңдамасын
айтарылатын ( айталанатын) кездейсо та дама деп атайды.
Егер жоғарыдағы ықтималдықтық схема үшін
{
}
n
lj
l
j
i
i
a
a
a
a
l
j
i
i
i
i
j
r
,...,
2,
1
,
),
(
,
:)
,...,
,
(
0
2
1
=
≠
≠
Ω
∈
=
=
Ω
ω
жəне барлық элементар оқиғалар (таңдамалар) тең ықтималдықты болса, онда мұндай схеманы
айтарылмайтын ( айталанбайтын) кездейсо та дамалар схемасы деп, схеманың əрбір таңдамасын
айтарылмайтын ( айталанбайтын) кездейсо та дама деп атайды.
Қайтарылатын жəне қайтарылмайтын кездейсоқ таңдамалар схемасы үшін сəйкес
,
r
n
=
Ω
r
n
P
−
=
)
(
ω
(1)
жəне
,n
r ≤
),
r
n(
...
)
n(
n
)n
(
r
1
1
+
−
⋅
⋅
−
=
=
Ω
r
)n
(
)
(P
1
=
ω
.
(2)
Қайталанбайтын таңдамаларды кейде орналастырулар деп атайды. Сонымен, n элементтен алынған көлемі
r
–ге тең орналастырулар саны
r
n
)
(
-ге тең.
n
r =
болған жағдайда орналастырулар алмастырулар деп
аталады. Ендеше
n
-элементтен құруға болатын барлық алмастырулардың саны
!
1
2
...
)1
(
)
(
n
n
n
n
n
=
⋅
⋅
⋅
−
=
.
Айырмашылығы ең болмағанда бір элементінде болатын орналастырулар (қайталанбайтын таңдамалар)
терулер деп аталады. Сонымен, берілген
n
элементтен ( n элементтен тұратын жиыннан) алынған
r
элементтен тұратын терулердің (ішкі жиындардың) саны мынаған тең:
)!
r
n(
!r
!n
!r
)n
(
C
r
r
n
−
=
=
(
)
n
r,
C
;
!
r
n
>
=
=
0
1
0
.
Көптеген жағдайларда жуықтап есептеу үшін мына Стирлинг формуласы деп аталатын формуланы
пайдаланады:
,
2
!
12n
n
n
n
e
e
n
n
n
θ
π
−
=
1
1
12
12
<
<
+
n
n
n
θ
.
(3)
Кейбір есептерде “Бүтін
a
саны бүтін
b
санымен
m
модулі бойынша салыстырылымды” деген сөз
тіркесі қолданылады жəне оны символикалық түрде
)
m
(mod
b
a ≡
(4)

---

Page 8

деп жазады. (1.8) салыстырымы (жазуы) мынаған мəндес: б тін
t
саны табылады жəне де
tm
b
a
=
−
(яғни
a
мен
b
-ның айырымы
m
-ге қалдықсыз бөлінеді немесе
a
мен
b
-ны
m
-ге бөлгенде бірдей қалдық
қалады). Жеке жағдайда
)
m
(mod
a
0
≡
жазуы
a
саны
m
-ге қалдықсыз бөлінеді дегенді білдіреді. Нақты
a
санының бүтін бөлігін (
a
-дан аспайтын ең үлкен бүтін санды)
[ ]
a арқылы белгілейміз.
Енді физика мен статистикада кейбір бөлшектер жүйесін қарастырған кезде пайда болатын
үлестірімдер мен орналас-тыруларға байланысты бірнеше мəселелерге тоқталалық.
Əдетте, физикада (статистикалық механикада) фазалық кеңістікті кішкене n облысқа ( n үлкен сан)
бөледі де, бұл кішкене облыстарды жəшіктер деп атайды, ал барлық жүйенің күйі
r
бөлшектің (шардың) n
жəшікке орналастырылуымен анықталады. Максвелл-Больцман ж йесі басқа бөлшектер қайда
орналасқанына тəуелсіз түрде əрқайсысы бірдей ықтималдықпен əрбір n жəшіктің біреуіне орналаса алатын
r
ажыратылатын (əрт рлі) бөлшектер жүйесі ретінде сипатталады. Мұндай жүйеде
r
бөлшекті n
жəшікке əртүрлі орналастырулар саны
r
n
-ге тең. Егер де бұл жағдайда қосымша барлық
r
n
орналастырулар тең ықтималды деп есептелсе, онда физиктер Максвелл-Больцман статистикасы туралы
айтады. Бұл статистикадағы əрбір күйдің ықтималдығы
r
n
−
-ге тең. (Бұл жерде статистика деген сөз
физикаға тəн арнайы мағынада қолданылып отыр).
Бозе-Эйнштейн ж йесі басқа бөлшектер қайда орналас-қанына тəуелсіз түрде əрқайсысы бірдей
ықтималдықпен əрбір
n
жəшіктің біреуіне орналаса алатын
r
ажыратылмайтын (бірдей) бөлшектер
жүйесі ретінде анықталады. Бөлшектер бірдей болғандықтан, Бозе-Эйнштейн жүйесінің əрбір күйі қай
жəшікке қанша бөлшек орналастырылғандығымен, яғни (
n
r
r
r
...,
,
,
2
1
) “толтыру сандарымен” (
−j
j
r
ші
жəшіктегі бөлшектер саны) анықталады. Егер де бұл жағдайда жүйенің əрбір күйі өзара тең ықтималды
болса, онда физиктер Бозе-Эйнштейн статистикасы туралы айтады.
r
бірдей бөлшекті (шарды) n
жəшікке орналастырған кезде ажыратылатын (əртүрлі) орналастырулар саны
1
1
−
−
+
n
r
n
C
([5]), ендеше Бозе-
Эйнштейн статистикасындағы əрбір күйдің ықтималдығы
1
1
/1
−
−
+
n
r
n
C
-ге тең.
Егер Бозе-Эйнштейн жүйесінде əр жəшікке бірден артық бөлшек орналастыруға болмайтын болса
(Паулиді тыйым салу ағидасы), онда бөлшектер Ферми-Дирак ж йесіне бағынады дейміз.
Сонымен, Ферми-Дирак жүйесінде шарлар бірдей əрі міндетті түрде
n
r ≤
(
r
шарлар саны,
n
жəшіктер саны) жəне жүйе
)
,...,
2,
1
(
1
не
0
n
j
r
j
=
=
“толтыру сандарымен” сипатталады, ал барлық
орналастырулар
n
жəшіктің ішінен
r
бөлшек үшін сəйкес
r
жəшікті таңдаумен толық анықталады. Бұл
r
жəшікті
r
n
C
əдіспен таңдап алуға болады. Егер Ферми-Дирак жүйесіндегі барлық күйлер өзара тең
ықтималды болса, онда физиктер Ферми-Дирак статистикасы туралы айтады. Ендеше, Ферми-Дирак
статистикасындағы əрбір күйдің ықтималдығы
r
n
C
1
-ге тең (
n
r ≤
).
Классикалық статистикалық физикада Максвелл-Больцман статистикасына газдың молекулаларының
жүйесі бағынатындығы белгілі. Бүтін жəне жартылай бүтін спинді бөлшектер жүйесі сəйкес Бозе-Эйнштейн
жəне Ферми-Дирак статистикаларына бағынады.
1-мысал. Көлемі n –ге тең
{
}
n
a
a
а
,...,
,
2
1
0
=
Ω
бас жиынтығынан көлемі
r
–ге тең айталанатын
кездейсоқ таңдама алынған.
а) Осы таңдаманың элементтерінің бəрі əртүрлі болуының, яғни таңдаманың айталанбайтын таңдама
болуының ықтималдығын табыңыз.
ə) Осы таңдаманың бірінші элементі бас жиынтықтың бірінші, ал екінші элементі бас жиынтықтың
екінші элементі болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. Элементар оқиғалар кеңістігі
Ω
барлық көлемі
r
–ге тең қайталанатын таңдамалардан тұрады:
{
}
=
Ω
∈
Ω
∈
=
Ω
0
0
,...,
:)
,...,
,
(
1
2
1
r
r
j
j
j
j
j
a
a
a
a
a
4
4
4 3
4
4
4 2
1
рет
r
0
0
0
...
Ω
×
×
Ω
×
Ω
.
а) Іздеп отырған ықтималдық
r
r
n
n
)
(
тең, себебі барлық қайталанатын таңдамалардың саны
r
n
, ал
бұлардың ішіндегі қайталанбайтын таңдамалардың саны
r
n
)
(
–ге тең.
ə) Бізге
(
)
{
}
(
)
}
{
r
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
k
r
r
j
j
j
j
j
j
j
j
,...,
4,
3
,
:
,...,
,
,
,
:
,...,
,
0
2
1
2
1
3
2
1
2
1
=
Ω
∈
=
=
=
=
Ω
∈
=
оқиғасының ықтималдығын табу керек.

---

Page 9

Жоғарыда келтірілген (1.5)-формула бойынша
2
−
=
r
n
A
. Ендеше (таңдамалар кездейсоқ таңдамалар
екенін ескерсек) ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша
2
2
1
)
(
n
n
n
A
P
r
r
=
=
−
.
Ескерте кетелік, егер есеп шартындағы бастапқы алынған таңдама қайталанбайтын таңдама болса, онда
бұл соңғы ықтималдық мынаған тең болар еді (
( )
5,
1
′
формуласын қараңыз):
)1
(
1
)
(
)2
(
)
(
2
−
=
−
=
−
n
n
n
n
A
P
r
r
.
2-мысал. Бірдей (ажыратылмайтын)
r
шар n жəшікке кездейсоқ орналастырылған. Барлық
ажыратылатын (əртүрлі) орналастырулар бірдей ықтималды деп есептеп, бірде–бір жəшік бос болмауының
ықтималдығын табыңыз (əрине, бұл жағдайда
n
r ≥
).
Шешуі. Қажетті ықтималдық мынаған тең болатынын байқау қиын емес:
1
1
1
1
−
−
+
−
−
=
n
r
n
n
r
C
C
p
.
Мəселен.
n
жəшікті
1
+
n
таяқшаның аралығы, шарларды * (жұлдызша) ретінде қарастыралық. Онда
бірде-бір жəшік бос болмау үшін
r
жұлдызшаның аралығына (олардың саны
1
−
r
)
1
−
n
таяқша қою
керек, ал оны
1
1
−
−
n
r
C
əдіспен қоя аламыз.
3-мысал. Нөмірленген
r
шар n жəшікке Максвелл-Больцман статистикасына сəйкес кездейсоқ
орналастырылған болса:
а) белгілі бір жəшікке (айталық, ғ1 жəшікке) дəл
)
0(
r
k
k
≤
≤
шар түсу ықтималдығы неге тең?
ə) қандай да бір жəшікке
k
шар
)
0(
r
k ≤
≤
түсу ықтималдығы неге тең?
б) нөмірі бірінші шар бірінші жəшікке, нөмірі екінші шар екінші жəшікке түсу ықтималдығы неге тең?
в) ең болмағанда бір жəшік бос болу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. а) Элементар оқиғалар кеңістігі ретінде
(
)
{
}
r
j
i
a
a
a
j
i
i
i
r
,
...
,2
,1
,
,
...,
,
,
:
0
2
1
=
Ω
∈
=
=
Ω
ω
ω
жиынын алуға болады, мұндағы
{
}
n
,
...
,2
,1
0
=
Ω
. Егер белгілі бір жəшікке (айталық ғ1 жəшікке)
k
шар
түссе, қалған
k
r −
шарды басқа
1
−
n
жəшікке
k
r
n
−
−
)1
(
əдіспен орналастыруға болады. Белгіленген
жəшікке түсетін
k
шарды
r
шардың ішінен
k
r
C
əдіспен таңдап алуға болады. Сондықтан,
ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша іздеп отырған ықтималдық мынаған тең:
.
1
1
1
)1
(
1
k
r
k
k
r
r
k
r
k
r
n
n
C
n
n
C
p
−
−






−






=
−
=
(1.8)
ə) барлық жəшіктердің ішінен бір жəшікті
n
түрлі əдіспен таңдап алуға болады. Сондықтан, бұл жолғы
ықтималдық жоғарыдағы а) жағдайындағы ықтималдықтан
n
есе көп:
1
2
np
p =
.
б) нөмірі 1,2 жəшіктерге нөмірі 1 мен 2-ден басқа да шарлар түсуі мүмкін екенін еске алсақ, сəйкес
оқиғаны былай сипаттауға болады
{
}
{
}
.
...,
,2
,1
,
,
,...
3
,
:
)
,...,
,2
,1
(
0
0
3
n
n
j
i
i
i
A
j
r
=
Ω
=
Ω
∈
Ω
∈
=
Онда керекті ықтималдық
2
2
3
1
n
n
n
A
p
r
r
=
=
Ω
=
−
в) A арқылы ең болмағанда бір жəшік бос болады деген,
k
А арқылы −
k шы жəшік (
)
,...,
2,
1
n
k =
бос
(яғни барлық r шардың бірде-біреуі −
k шы жəшікке түспейді) деген оқиғаларды белгілейік. Онда:
n
k
n
n
n
A
P
A
A
r
r
r
k
n
k
k
≤
≤






−
=
−
=
=
=
1
,
1
1
)1
(
)
(
,
1
U
.
)
(
l
k
A
A
l
k
≠
оқиғасы нөмірлері
−
k шы жəне −
l ші жəшіктер бос дегенді білдіреді, сондықтан
l
k
n
l
k
n
n
n
A
A
r
r
r
l
k
≠
≤
≤






−
=
−
=
Ρ
,
,
1
,
2
1
)2
(
)
(
.

---

Page 10

Сол сияқты
−
≤
≤






−
=
−
=
Ρ
m
l
k
n
m
l
k
n
n
n
A
A
A
r
r
r
m
l
k
,
,
,
,,
1
,
3
1
)3
(
)
(
əрт рлі
т.с.с.
Енді ықтималдықтарды қосу формуласын ((1.3′ )-формуланы қараңыз) пайдалансақ,
∑
∑
=
−
−
=
−
−
−






−
−
=






−
−
=
=






−
−
−
+
+






−
−






−
=
Ρ
=
n
j
r
j
n
j
n
j
r
j
n
j
r
n
n
n
r
n
r
n
j
C
n
j
C
n
n
C
n
C
n
n
A
p
1
1
1
1
1
1
2
2
4
.
1
)1
(
1
)1
(
1
1
)1
(
...
2
1
1
1
)
(
4-мысал. Алдыңғы 3-мысалдың шартында дəл m жəшік бос болатындығының ықтималдығы
)
,
( n
r
p
m
-
ді табалық.
Шешуі. Алдыңғы есептің в) жағдайындағы шешімін пайдалансақ, онда ешбір жəшіктің (бірде-бір
жəшіктің) бос болмау ықтималдығы
)
,
(
0
n
r
p
мынаған тең:
)
,
(
0
n
r
p
∑






−
−
=
−
=
=
n
j
r
j
n
j
n
j
C
A
P
0
1
)1
(
)
(
1
.
Енді дəл m жəшік бос болатын орналастыруларды қарас-тыралық. Бұл m жəшікті
m
n
C əдіспен таңдап
алуға болады. Онда
r шар қалған
m
n −
жəшікке олардың бірде-біреуі бос болмайтындай етіп
(
)
)
,
(
0
m
n
r
p
m
n
r
−
−
əдіспен орналастырылады. Соңғыны алдымен
m
n
C -ге көбейтіп, сосын
r
n -не бөліп, дəл
m жəшік бос болуының ықтималдығы
)
,
( n
r
p
m
-ді табамыз:
.
1
)1
(
)
,(
)
(
)
,(
0
0
∑
−
=
−






+
−
−
=
=
−
−
=
m
n
j
r
j
m
n
j
m
n
r
r
m
n
m
n
j
m
C
C
m
n
r
p
n
m
n
C
n
r
p
(3)
5-мысал. Айталық, нөмірленген n жəшік берілсін жəне бұл жəшіктер екі түрлі жəшіктер тобынан
(мəселен, қызыл жəне көк түсті) тұрсын. Бірінші түрлі жəшіктер саны
1
n
, ал екінші түрлі жəшіктер саны
2
n
(
)
2
1
n
n
n
+
=
болсын. Осы n жəшікке
r
шар Максвелл-Больцман жəне Бозе-Эйнштейн статистикаларына
сəйкес кездейсоқ үлестірілген болса, онда бірінші түрлі жəшіктерге дəл
k
шар (яғни екінші түрлі
жəшіктерге дəл
k
r −
шар) түсу ықтималдықтары қалай анықталады?
Егер бастапқы жəшіктер s түрлі (
n
s ≤
≤
3
) болса, онда жоғарыда қарастырылған Максвелл-Больцман
жəне Бозе-Эйнштейн статистикалары жағдайларында сəйкес бірінші түрлі жəшіктерге
1
r
, екінші түрлі
жəшіктерге
2
r
, …, s -ші түрлі жəшіктерге
s
r
(
r
r
r
r
s
=
+
+
+
...
2
1
) шар түсу ықтималдықтары қалай
анықталған болар еді?
Шешуі. Алдымен жəшіктер екі түрлі болатын жағдайдағы Максвелл-Больцман статистикасын
қарастыралық. Айталық,
{
}
n,
...
,2
,1
0
=
Ω
барлық жəшіктер жиыны, ал
( )
1
0
Ω
жəне
( )
2
0
Ω
- сəйкес бірінші
жəне екінші түрлі жəшіктер жиыны болсын:
( )
( )
2
0
1
0
0
Ω
+
Ω
=
Ω
.
j
i
арқылы j -ші шар түскен жəшіктің нөмірін
белгілелік (
r
j
,
...
,2
,1
=
). Онда осы тəжірибеге сəйкес келетін элементар оқиғалар кеңістігі ретінде мына
жиынды алуымызға болады:
(
)
{
}
r
j
i
i
i
i
j
r
,
...
,2
,1
,
:
,,
...
,
,
0
2
1
=
Ω
∈
=
Ω
.
Егер
(
) (
)
{
,
,...,
:
,...
,
,
,
)1
(
0
0
2
1
1
Ω
∈
Ω
∈
=
−
k
j
j
r
i
i
i
i
i
k
r
k
A
}
)
(
),
(
,
,...,
)2
(
0
1
m
j
l
l
m
l
j
j
i
i
m
j
m
l
l
l
k
r
≠
≠
≠
≠
Ω
∈
−
оқиғаларын енгізсек, онда
(
)
k
r
k
A
−
,
r
шарды n жəшікке кездейсоқ үлестіргенде қандай да бір ретпен
бірінші түрлі жəшіктерге дəл
k
, ал екінші түрлі жəшіктерге дəл
k
r −
шар түсетіндігін білдіретін оқиға.
Енді қайталанатын таңдамалардың саны туралы тұжырымды ((1.5)-формула) еске түсірсек, онда
r
r
n
=
Ω
=
Ω
0
,
(
)
k
r
k
k
r
k
r
k
k
r
n
n
C
C
k
r
k
A
−
−
=
Ω
Ω
=
−
2
1
)2
(
0
)1
(
0
,
,

---

Page 11

Ұқсас пайымдаулар ізделінді ықтималдықтар үшін, егер жəшіктер s түрлі болса, онда Максвелл-
Больцман статистикасы жағдайы үшін тағы да (1.12)-формуланың дұрыстығын, ал Бозе-Эйнштейн
статистикасы жағдайында сəйкес (1.11) (жəшіктер екі түрлі) жəне (1.13) (жəшіктер
3
≥
s
түрлі)
формулалардың дұрыстығын көрсетеді.
Келесі қарастырылатын екі мысалды к ту уа ыттарымен байланысты мысалдар деп атауға болады.
6-мысал. Берілген n жəшікке шарлар қашан қандай да бір жəшікке екінші шар түскенше, яғни ішінде
бір шары бар (бос емес) жəшікке екінші шар түскенше кездейсоқ үлестіріле берсін.
а) Осы процестің (тəжірибенің) r -ші қадамда аяқталу ықтималдығын табыңыз.
ə) Процестің r -ші қадамнан кейін де жалғастырылатын болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. а)
l
j арқылы l -ші шар түскен жəшіктің нөмірін белгілелік. Онда сəйкес элементар оқиғалар
кеңістігін былай сипаттауға болады:
(
)
{
}
,
,
...
,2
,1
,
;
,
,
...
,
,
0
1
2
1
r
l
j
j
j
j
j
l
r
r
=
Ω
∈
=
Ω
−
мұндағы
{
}
−
=
Ω
n
,...,
,2
1
0
берілген жəшіктер жиыны. Бұл жерде біз кез келген шардың кез келген жəшікке
(тіпті ол бос болмаса да) бірдей ықтималдықпен түсетіндігін ескердік.
Енді процестің −
r ші қадамда аяқталатынын білдіретін оқиғаны былайша сипаттай аламыз:
(
)
(
)
{
{
}}
.
j,
...
,
j,
j
j
,
r,
...
,
,
m
,l
,
m
l
j
j
:
j,
j,
...
,
j,
j
A
r
r
m
l
r
r
r
1
2
1
1
2
1
1
2
1
−
−
∈
−
=
≠
≠
Ω
∈
=
Əрине, мұнда
1
,
...
,3,
2
+
=
n
r
, себебі бос емес жəшікке екінші шар түсу үшін шардың саны екіден кем
болмау керек жəне де
1
+
n
-шар лақтырылған кезде ол міндетті түрде бос емес жəшікке түседі (егер
бастапқы n шар бір-бірден n жəшікке түскен болса) де, процесс аяқталады.
Тағы да қайталанатын жəне қайталанбайтын таңдамалар-дың сандары туралы тұжырымдарды еске алып,
былай жаза аламыз:
r
n
=
Ω
,
( ) ( )
1
1
−
⋅
=
−
r
n
A
r
r
.
Сонымен процестің −
r ші қадаммен аяқталу (
1
,
,...
3,
2
+
=
n
r
) ықтималдығы
( ) ( )
n
r
n
r
n
n
n
r
n
q
r
r
r
1
2
1
...
2
1
1
1
1
1
−
⋅






−
−
⋅
⋅






−






−
=
−
⋅
=
−
,
жəне де
0
1
=
q
,
n
q
1
2
= .
Есептеулер
1
...
1
2
1
=
+
+
+
+
+
n
n
q
q
q
q
болатынын көрсетеді.
ə) Процестің r -ші қадамнан кейін жалғастырылу ықтималдығы
r
p , əрине, мына ықтималдыққа тең:
(
)
r
r
q
q
q
p
+
+
+
−
=
...
1
2
1
.
1
=
r
деп алсақ, онда
1
1
1
1
=
−
=
q
p
,
1
+
= n
r
болса, онда
0
1
=
+
n
p
. Индукцияны пайдаланып
( )






−
−
⋅
⋅






−






−
=
=
n
r
n
n
n
n
p
r
r
r
1
1
...
2
1
1
1
формуласының дұрыс болатынын көрсетуге болады.
7-мысал. Алдыңғы мысалда шарлар қашан белгілі бір жəшік (айталық, ғ1-жəшік) бос болғанша, яғни осы
жəшікке қашан қандай да бір шар түскенше кездейсоқ үлестірілсін жəне процесс осы белгіленген жəшікке
шар түскен сəтте (қадамда) тоқтатылсын.
а) Процестің r -ші қадамда аяқталу ықтималдығын табыңыз.
ə) Процестің r -ші қадамнан кейін де жалғастырылатын болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешуі.
l
j алдыңғы есептегідей l -ші шар түскен жəшіктің нөмірі болсын. Онда шарларды есеп
шартындағыдай кездейсоқ орналастыруға сəйкес элементар оқиғалар кеңіс-тігін былай сипаттай аламыз
(процесс ешқашан аяқталмауы мүмкін):
{
}
...
,2
,1
,1
:
...
),
1,
...,
,
,
(,
),...
1,
,
(
),
1,
(
),
1(
1
2
1
2
1
1
=
≠
=
Ω
−
l
j
j
j
j
j
j
j
l
r
.
Əрбір
(
)
r
r
j
j
j
j
,
,
...
,
,
1
2
1
−
элементар оқиғасының ықтималдығы
r
n
−
тең деп есептей аламыз, өйткені мұндай
элементар оқиғалардың саны
r
n жəне олар өзара тең ықтималдықты. Онда, əрине
( )
( )
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
3
2
=
−
−
=
+
⋅






−
+
⋅






−
+
⋅
−
+
=
Ω
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
,
демек, Ω шындығында да элементар оқиғалар кеңістігі болады.
Тəжірибиені r рет қайталауға (процесс r -ші қадамда аяқталуына) сəйкес элементар оқиғалар кеңістігі
үшін

---

Page 12

(
)
{
}
n
j
j
j
j
j
l
r
r
r
,
...
,2
,1
:
,
,
...
,
,
1
2
1
)
(
=
=
Ω
−
кеңістігін алуға болады, ал процесс дəл r -ші қадамда аяқталады дегенді білдіретін оқиға
r
A былай
сипатталады:
(
)
{
}
)
(,
:
1,
,
...
,
,
1
2
1
m
l
j
j
j
j
j
A
m
l
r
r
≠
≠
=
−
.
Ендеше процесс
−
r ші қадаммен аяқталуының (шарларды кездейсоқ лақтыруды r -ші қадаммен
тоқтатудың) ықтималдығы
( )
n
n
n
n
A
q
r
r
r
r
r
r
1
1
1
1
1
1
)
(
*
⋅






−
=
−
=
Ω
=
−
−
.
Процесс r -қадамнан кейін де жалғастырылуының ықтималдығы
(
)
...
,2
,1
,
1
1
...
1
*
*
2
*
1
*
=






−
=
+
+
+
−
=
r
n
q
q
q
p
r
r
r
.
ЕСЕПТЕР
1. а) Шахмат турниріне 8 адам қатысқан. Егер кез келген екі шахматшы бір-бірімен 1 партиядан ойнаса,
турнирде қанша партия ойналған? ə) Қандай да бір банктің 10 бөлімшесінің кездейсоқ үшеуін қанша түрлі
əдіспен тексеруге болады?
2. Топта 25 студент бар, оның 15-і қыз. Төрт билет кездейсоқ түрде ойнатылған. Əрбір студент бір ғана
билет ұтып алатын болса, онда билет ұтқандардың ішінде: а) төрт қыз;
ə) төрт ұл; б) үш ұл жəне бір қыз
болу ықтималдықтары неге тең?
3. Дүкенге түскен 30 телевизордың 20-ы отандық телевизор. Əртүрлі маркалы телевизорлардың сатылу
ықтималдықтары бірдей деп алып, бір күнде сатылған 5 телевизордың 3-тен көбі отандық телевизор болу
ықтималдығын табыңыз.
4. Бірінші жəшікте 5 пар аяқ киім бар, оның 3 пары ерлер, ал 2 пары əйелдер аяқ киімі. Екінші
жəшіктегі ерлер жəне əйелдер аяқ киімдерінің саны бірдей. Бірінші жəшіктен екіншісіне кездейсоқ 2 пар аяқ
киім салынса, онда осыдан кейін екінші жəшіктегі ерлер мен əйелдер аяқ киімдерінің саны бірдей болу
ықтималдығы неге тең?
5. Бірдей 2,4,6,7,8,11,12 жəне 13 сандары жазылған 8 карточканың кездейсоқ екеуі алынған. Осы 2
карточкадағы цифрлардың қатынасы қысқартылатын бөлшек болу ықтималдығын табыңыз.
6. Спорт жарысында ойын санын азайту үшін
2n
команданы екі топқа бөлген. Онда ең мықты екі
команданың: а) əртүрлі топқа; ə) бір топқа түсу ықтималдықтарын табыңыз.
7. Жəшікте a а жəне b ара шар
(
)
2
2
≥
≥
b,
a
бар. Жəшіктен қайтарымсыз түрде 2 шар алынған.
Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз: а) шарлар бірдей түсті; ə) шарлардың түстері əртүрлі.
8. 1, 2 ,..., 20 сандарының ішінен кездейсоқ 10 сан алынған. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын
табыңыз:
A ={барлық сан жұп};
B ={дəл үш сан 4-ке бөлінеді};
C ={бес сан тақ жəне бес сан жұп, сонымен бірге бір сан 10-ға бөлінеді}.
9. 36 ойын картасы мұқият араластырылған. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
A ={төрт ондық қатар орналасқан};
B ={ондықтардың орындары айырымы 7-ге тең арифметикалық прогрессия құрайды}.
10. Төрт ойын сүйегін лақтырған кезде ең болмағанда бір рет “бір” ұпай түсу ықтималдығы ( A
оқиғасы) екі ойын сүйегін 24 рет лақтырғанда ең болмағанда бір рет “бір, бір” пары түсу ( B оқиғасы)
ықтималдығынан артық болатынын көрсетіңіз.
11. Жеке-жеке əріптер жазылған карточкалар тізбегінен “статистика” сөзі алынған. Осы 10 карточкадан
қайтарымсыз түрде 5-уі алынса, онда олардың алу ретіне қарай “такси” сөзінің жазылу ықтималдығы неге
тең?
12. Жəшікте 1-мен нөмірленген
1
M шар, 2-мен нөмірленген
2
M шар,..., N - мен нөмірленген
N
M
шар бар. Жəшіктен қайтарымсыз түрде m шар алынған болса, онда оның ішінде 1- мен нөмірленген
m
1
шар, 2- мен нөмірленген
m
2
шар,..., N -мен нөмірленген
N
m шар болуының ықтималдығын табыңыз.
13. Ішінде n шары бар урнадан бір-бірлеп қайтарымды түрде n шар алынған болса, онда урнадағы
шарлардың бəрі де урнадан алынып, қайта салынған болу ықтималдығы неге тең?
14. Урнада
n
,...,
2,
1
сандарымен нөмірленген n шар бар. Урнадан бір-бірлеп қайтарымсыз түрде k
шар алынған болса, алынған шарлардың нөмірлері өспелі тізбек құру ықтималдығы неге тең? Ал алынған
шарлар қайтарылып отырса (қайтарымды түрде алынса) ізделінді ықтималдық қалай өзгерер еді?

---

Page 13

15. Көптеген қалалықтар трамвай билетінің алты таңбалы нөмірінің алғашқы үш санының қосындысы
соңғы үш санының қосындысына тең болса, ол билет “бақытты” билет деп есептейді. Трамвайға кірген
Гүлбаршынның “бақытты” билет алу ықтималдығын табыңыз.
16. 10 ойын сүйегі бір мезетте лақтырылған. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
а) “6” бірде –бір рет түскен жоқ;
ə) тура үш “6” түсті;
б) ең болмағанда бір “6” түсті.
17. Берілген n таяқшаның əрқайсысы кездейсоқ түрде екі – зын жəне ыс а бөліктерге бөлінген.
Сосын пайда болған 2 n таяқшалар кездейсоқ түрде екі-екіден жұпталып, олардан жаңа “таяқшалар”
жасалған. Мына ықтималдықтарды табыңыз:
а) бөліктер бастапқы ретпен, яғни бастапқы таяқшаларды қайта құрастыратындай етіп қосылған;
ə) барлық ұзын бөліктер қысқа бөліктермен қосылған.
18. Дүкендегі 25 тоңазытқыш үш түрлі маркалы. Олардың саны сəйкесінше 5, 7 жəне 13. Осы
тоңазытқыштардың 21-і сатылған. Əрбір маркалы тоңазытқыштың сатылу ықтималдығы бірдей деп есептеп,
келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
а) A ={бірдей маркалы 4 тоңазытқыш сатылмай қалған};
ə) B ={сатылмай қалған тоңазытқыштар əртүрлі маркалы}.
19. Отыз екі ойын картасының төртеуі кездейсоқ алынған. Алынған ойын карталарының ең болмағанда
біреуінің т з болу ықтималдығын табыңыз.
20. 9 жолаушы 3 вагонға кездейсоқ отырған. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
A ={əрбір вагонға 3 жолаушыдан отырған};
B ={бірінші вагонға- 4, екіншісіне-3, үшіншісіне- 2 жолаушы отырған}.
21. 2 а , 4 ара шары бар ыдыстан екі адам кезекпе-кезек барлық шарларды алған. Екеуінің де алғашқы
алған шарлары а шар болуының ықтималдығын табыңыз.
22. “6” ұпай ең болмағанда бір рет түсу ықтималдығы
а) 0,5-тен артық;
ə) 0,8-ден артық болу үшін ойын сүйегі ең кемі қанша рет лақтырылуы керек?
23. де-Мере есебі. Екі ойын сүйегін лақтырғанда түскен ұпайлардың қосындысы ең болмағанда бір рет
12-ге тең болу ықтималдығы 1/2-ден артық болу үшін оларды қанша рет лақтыру керек?
24. 8 қабатты үйдің лифтісіне бірінші қабатта 5 адам отырған. Бұл адамдардың əрқайсысы бірдей
ықтималдықпен екінші қабаттан бастап сыртқа шыға алатын болса, олардың əртүрлі қабатта
шығу
ықтималдығы неге тең?
25. 1,2,3,4,5 сандары бес карточкаға жазылған. Кездейсоқ ретпен алынған үш карточкадағы цифрлар
оңнан солға қарай орналастырылған. Онда осы үш орынды санның жұп сан болу ықтималдығы неге тең?
Егер цифрлар солдан оңға қарай орналастырылса жауап өзгере ме?
26. А жəне ара шарлары бар урнадан шарлар қайтарымсыз түрде бір-бірлеп түгелдей алынған.
A ={бірінші алынған шар а шар}, В ={соңғы алынған шар а шар} дегенді білдіретін оқиғалар. Қай оқиға
ықтималдырақ?
27. Егер n ойын сүйегі лақтырылған болса, онда барлық ойын сүйектерінде бірдей ұпайлар түсу
ықтималдығы неге тең?
28. n əрт рлі шар n əрт рлі жəшікке кездейсоқ орналастырылған. Мына оқиғалардың
ықтималдықтарын табыңыз:
а) барлық шар № 1 жəшікке түскен;
ə) № 1 жəшікке дəл k шар түскен;
б) нөмірі m –ші шар нөмірі l –ші жəшікке түскен.
в) нөмірлері
k
i,
...
,
i,
i
2
1
(
)
m
j
,
i
i
m
j
≠
≠
болатын шарлар сəйкес нөмірлері
k
j,
...
,
j,
j
2
1
(
)
m
l,
j
j
m
l
≠
≠
болатын жəшік-терге түскен.
29. Жалғасы. Алдыңғы есептің шартында шарлардың саны n , жəшіктердің саны N болсын. Сəйкес
ықтималдықтар қалай өзгереді?
30. {
n
,...,
2,
1
} жиынының барлық өзіне-өзін бейнелеу-лерінен кездейсоқ бір бейнелеу алынған. Мына
оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
а) берілген бейнелеу барлық элементті 1-ге бейнелейді;
ə)
i
элементінің дəл k кері бейнесі бар;
б) −
i ші элемент j - элементке бейнеленеді;
в) берілген бейнелеу əртүрлі
k
i
i
i
,...,
,
2
1
элементтерін сəйкес əртүрлі
k
j
j
j
,...,
,
2
1
элементтеріне
көшіреді.
31. n адам бір қатарға кездейсоқ отырса, белгілі екі адамның қатар отырған болу ықтималдығы неге
тең? Егер адамдар дөңгелек стол басына отырса, онда бұл ықтималдық қалай өзгереді?
32. Жалғасы. Алдыңғы есептің шартында екі адамның арасында r адам отырған болу ықтималдықтары
неге тең?

---

Page 14

33. n
2 а , n
2
ара шары бар құтыдан n
2 шар кездейсоқ алынған. Осы алынған шарлардың ішінде а
шарлар мен ара шарлардың сандарының бірдей болу ықтималдығы неге тең?
34. n жəшікке n +2 əрт рлі (ажыратылатын) шар кездейсоқ орналастырылған. Ең болмағанда бір
жəшік бос болу жəне бірде-бір жəшіктің бос болмау ықтималдықтарын табыңыз.
35. Бірдей r шар n жəшікке Бозе-Эйнштейн статисти-касына сəйкес кездейсоқ орналастырылған
(
n
r ≥ ). Барлық əртүрлі (ажыратылатын) орналастырулар тең ықтималды деп есептеп, бірде бір жəшік бос
болмауының ықтималдығын табыңыз.
36. Бес жəшік жəне үш шар берілген болса, онда осы үш шарды кездейсоқ түрде бірінші, үшінші жəне
төртінші жəшіктерге орналастыру ықтималдығын Максвелл-Больцман, Бозе-Эйнштейн жəне Ферми-Дирак
статистикаларында табыңыз.
37. r шар n жəшікке кездейсоқ орналастырылған. Мына оқиғалардың ықтималдықтарын Максвелл-
Больцман, Бозе-Эйнштейн жəне Ферми-Дирак статистикаларында табыңыз:
а) белгілі r жəшікке бір-бір шардан түскен;
ə) қандай да r жəшікке бір-бір шардан түскен.
38. Алты ойын сүйегін лақтырған кезде ең болмағанда бір рет “бір” ұпай түсуі ( A оқиғасы) мен он екі
ойын сүйегін лақтырған кезде ең болмағанда екі рет “бір” ұпай түсуінің ( B оқиғасы) қайсысының
ықтималдығы үлкен?
39. n шарды n жəшікке үлестірген кезде:
а) дəл бір жəшік бос болу;
ə) бірде бір жəшік бос болмауының ықтималдықтарын Максвелл-Больцман жəне Бозе-Эйнштейн
статистикалары жағдайында есептеңіз.
40. а) Он екі адамның туған күндері жылдың он екі айына тура келуінің ықтималдығын табыңыз
(жылдың барлық айлары тең ықтималды деп есептеңіз).
ə) Алты адамның туған күндері жылдың дəл екі айына тура келу ықтималдығы неге тең?
41.
n
,...,
2,
1
сандарымен нөмірленген n билет бар, оның ішінде r билет ұтатын билеттер. Егер біреу r
билет сатып алса, онда оның ең болмағанда бір билетіне ұтыс шығу ықтималдығы неге тең?
42. Ұзындығы n -ге, ал əр мүшесі 0,1,2 цифрларының біріне тең тізбектердің біреуі кездейсоқ алынған.
Мына оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
A ={тізбек нөлмен басталады};
B ={тізбектің нөлге тең мүшелерінің саны
2
+
m
, əрі тізбектің шеткі екі мүшесі нөлге тең};
C ={тізбектің дəл m мүшесі бірге тең};
D ={тізбекте дəл
0
m –нөл,
1
m -бір,
2
m -екілік бар
(
)
n
m
m
m
=
+
+
2
1
0
}.
43. Туған к ндер туралы есеп. Бір жылда 365 күн бар деп жəне кез келген адамның жылдың кез келген
күнінде туу ықтималдығы бірдей, 1/365-ке тең деп есептелік. Онда
а) Кездейсоқ алынған r адамның туған күндері жылдың əртүрлі күндері болу ықтималдығы неге тең?
ə) Егер адамдарды бірінен соң бірін кездейсоқ таңдап алатын болсақ, онда туған күндері бірдей
болатын алғашқы пар бірінші рет −
r ші қадамда пайда болу ықтималдығы неге тең?
б) Туған күні мені туған күніммен бірдей болатын адамның −
r ші адам ( −
r ші рет таңдалған адам)
болу ықтималдығы неге тең?
3-МАШЫ ТАНУ САБАҒЫ
ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЫҚТИМАЛДЫҚ.
ШАРТТЫ ЫҚТИМАЛДЫҚ. ТƏУЕЛСІЗДІК
Ықтималдықтар кеңістігінің келесі бір маңызды, геометриялы ы тималды тарға байланысты моделі
былай анықталады. Айталық, Ω -
n
өлшемді евклидтік
n
R кеңісті-гіндегі n өлшемді ақырлы көлемі
(Лебегтік өлшемі)
)
(
mes Ω бар шенелген жиын, ал
β
жүйесі Ω –ның өлшемі (яғни көлемі) анықталатын
барлық ішкі жиындарының жүйесі (борелдік сигма-алгебра, о иғалар ж йесі) болсын.
Онда
∈
A
β
оқиғасы үшін оның ықтималдығы былай анықталады:
)
(
)
(
)
(
Ω
=
mes
A
mes
A
P
,
(1)
мұндағы
)
(A
mes
- A жиынының өлшемі (көлемі).
Ықтималдықты осылайша (1)-формула арқылы анық-тауды ы тималды ты
геометриялы
аны тамасы деп атайды. Көптеген есептерде ықтималдық
n
R -дегі геометриялық фигуралардың
"көлемдерінің" (
1
=
n
болса - ұзындық,
2
=
n
болса – аудан,
3
=
n
болса – көлем) қатынастары ретінде
анықталады. Мұндай жағдайда бейнелі түрде "н кте андай да бір жиынға кездейсо ла тырылған",

---

Page 15

"н кте андай да бір жиында бір алыпты лестірілген" деп айтады да, нүктенің жиынның қандай да бір
бөлігінен кездейсоқ алынуы (бөлігіне кездейсоқ түсуі) сол бөліктің көлеміне пропорционал болады деп
есептейді.
1-мысал.
[ ]
T,
0
уақыт аралығының кездейсоқ x уақыт сəтінде ұзындығы ∆ -ға тең сигнал пайда
болады. Қабылдағыш кездейсоқ
[ ]
T,
y
0
∈
сəтінде t уақытқа іске қосылады. Қабылдағыштың сигналды
аңғару ( A оқиғасы) ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Элементар оқиғалар кеңістігі Ω − ны былай сипаттауға болады:
{
}
[
] [
]
.
,0
,0
,
0
:)
,
(
T
T
T
y
x
y
x
×
=
≤
≤
=
Ω
Егер де алдымен сигнал пайда болатын, сосын қабылдағыш іске қосылатын, яғни
y
x ≤
болса, онда сигнал
∆
≤
− x
y
болған жағдайда ғана аңғарылады (ұсталынады). Сол сияқты, егер
x
y ≤
болса, онда сигналды
t
x
y
−
≥
болған жағдайда ғана аңғаруға болады. Сонымен
{
}
y
x
t
y
x
x
y
x
y
y
x
A
≥
≤
−
≥
∆
≤
−
Ω
∈
=
,
;
,
:
)
,
(
2-суреттегі боялған (штрихталған) облыс. Онда (1.14)-формула бойынша былай жаза аламыз:
( )
( )
.
1
2
1
1
2
1
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
2
2
2
2
2






−
−






∆
−
−
=
=
−
−
∆
−
−
=
Ω
=
T
t
T
T
t
T
T
T
mes
A
mes
A
P
Бұдан, егер
t T
∆ = ≤
болса, онда
2
( ) 1 1
t
P A
T


= − −




.
Ескерту. Біз қарастырған бұл есеп əдебиетте кездесу туралы есеп деген атпен белгілі.
2-сурет.
Егер
T
∆ ≥ , 0 t T
≤ ≤
болса, онда кездесу туралы есепте
2
1
( ) 1
1
,
2
t
P A
T


= −
−




ал t T
≥ , 0
T
≤ ∆ ≤
үшін
2
1
( ) 1
1
,
2
P A
T
∆


= −
−




ақырында
T
∆ ≥ , t T
≥
үшін
( ) 1
P A =
болатындығын
байқау қиын емес.
2-мысал. Бюффон есебі. Жазықтықта бір-бірінен
a
2
қашықтықта орналасқан параллель түзулер
жүргізілген болсын. Жазықтыққа ұзындығы l2 -ге тең
)
(
a
l <
ине кездейсоқ лақтырылған. Иненің əйтеуір
бір түзуді қию ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. Алдымен осы тəжірибеге сəйкес келетін элементар оқиғалар кеңістігін анықталық. Айталық,
x - иненің қақ ортасынан ең жақын түзуге дейінгі қашықтық, ал
ϕ
- ине мен осы түзудің арасындағы бұрыш
болсын. Онда
)
,
( x
ϕ
жұбы иненің орналасуын нақтылы түзуді таңдау дəлдігіне дейінгі дəлдікпен толық
анықтайды (3-сурет) Бізге ине мен оған ең жақын түзудің орналасуын ғана білу жеткілікті болғандықтан
элементар оқиғалар кеңістігі Ω ретінде мына тіктөрбұрышты

---

Page 16

3-сурет
алуымызға болады:
{
}
[ ] [ ]
.
,0
,0
0
,
0
:)
,
(
a
a
x
x
×
=
≤
≤
≤
≤
=
Ω
π
π
ϕ
ϕ
Ине түзуді
ϕ
sin
l
x ≤
шарты орындалған кезде ғана қияды. Сонымен, бізге керекті оқиға
{
}
ϕ
ϕ
sin
l
x:
)x
,
(
A
≤
Ω
∈
=
яғни 4-суреттегі боялған облыс. Ендеше
)
(A
P
( )
( )
π
π
ϕ
ϕ
π
a
l
a
d
l
mes
A
mes
2
sin
0
=
∫
=
Ω
=
.
u
Математикалық модельдің тəжірибеге сəйкес келетін не келмейтініне тек эксперименттер нəтижелерін
талдау арқылы ғана пікір айтуға болады. Айталық, ине n рет лақтырылған болсын жəне ине мен түзу m рет
қиылысқан болсын. Онда жеткілікті үлкен n үшін жиілік
.
2
)
(
π
a
l
A
n
m
=
Ρ
≈
Бұдан
π
санының
эксперименттік бағасы
$π
мынандай болатындығы шығады:
$π
=
am
n
l2
.
Мəселен, 1850 жылы Вольф
8.
0
=
a
l
етіп алып Бюффон есебінде айтылған тəжірибені
5000
=
n
рет
қайталағанда инемен түзудің қиылысуы
2532
=
m
рет байқалған, яғни
≈
π
$π
=3.1596 болған. 1925 жылы
Рейне жүргізген тəжірибе-де
4-сурет
сəйкес
,
5419
.0
=
a
l
,
2520
=
n
,
859
=
m
$π
=3.1795 болған. (Бұл мəліметтер Н. Кендалл мен П. Моранның
"Геометрические вероятности" деген 1972 ж. "Наука" басылымында шыққан кітабынан алынды).
u
ШАРТТЫ ЫҚТИМАЛДЫҚ. СЫНАҚТАР ТІЗБЕКТЕРІ

---

Page 17

Айталық,
элементар
оқиғалар
кеңістігі
ақырлы:
(
)
n
2
1
,
,
,
ω
ω
ω
K
=
Ω
,
∞
<
=
Ω n
жəне
( )
)
,...,
1
(
1
n
i
n
P
i
=
=
ω
болсын. Онда кез келген A
Ω
⊆
оқиғасы үшін
Ω
=
A
A
P )
(
болатынын білеміз
(ықтималдықтың классикалық анықтамасы). Берілген жағдайда, егер B
Ω
⊆
оқиғасы пайда болғаны белгілі
болса, жəне
0
>
= m
B
болса, онда A оқиғасының B оқиғасы пайда болған кездегі шартты ы тималдығы
деп (оны
)
/
(
B
A
P
арқылы белгілейміз) мына қатынаспен анықталған шаманы алуға болатыны түсінікті:
.
)
(
)
(
)
/
(
B
P
AB
P
B
A
P
=
(3)
Шындығында да бұл ықтималдық классикалық анықтамаға сəйкес A оқиғасы B оқиғасымен бірге пайда
болатын нəтижелер санының B -ның пайда болуына əкеп соғатын нəтижелер санына қатынасы арқылы,
яғни келесі өрнектер арқылы анықталады:
( )
( )
( )
B
P
AB
P
n
B
n
AB
B
AB
B
A
P
=
=
=
.
Кейде (3)-формуламен анықталған шартты ықтималдықты
)
(A
P
B
арқылы да белгілейді.
Жоғарыда айтылғанды негізге ала отырып жалпы ықтималдық кеңістігі жағдайында да шартты
ықтималдықтың анықтамасы ретінде (3)-формуланы алады (тек
0
)
(
>
B
P
шартын қосымша талап ету
керек).
(3) қатынасынан ы тималды тарды к бейту формуласы деп аталатын мына формула шығады:
)
/
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
AB
P
⋅
=
.
(4)
Соңғы формуланы кез келген
n
A
A
A
,...,
,
2
1
оқиғалары үшін
былайша жалпыландыруға болады:
(
) ( ) (
) (
)
(
)
1
1
2
1
3
1
2
1
2
1
−
⋅
⋅
=
n
n
n
A
A
A
P
A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
A
A
P
K
K
K
. (5)
Мұнда тек
0
)
...
(
1
2
1
>
⋅
⋅
−
n
A
A
A
P
шартын қосымша талап ету қажет, себебі бұл шарт орындалған жағдайда
(2.3) формуланың оң жағындағы барлық шартты ықтималдықтар анықталған:
,0
)
...
(
2
1
>
⋅
⋅
k
A
A
A
P
1
,...,
2,
1
−
=
n
k
1-мысал. Нөмірленген əртүрлі n элементтен тұратын бас жиынтықтан бір-бірлеп қайтарусыз түрде екі
элемент алынған. Егер бірінші рет −
i ші элемент алынған ( B оқиғасы) болса, онда екінші рет j -ші
(
)
j
i ≠
элемент (A оқиғасы) алыну ықтималдығы
)
/
(
B
A
P
неге тең?
)
(AB
P
ше?
Егер бірінші рет алынған элемент кері қайтарылған болса, онда жауаптар қалай өзгереді?
Шешуі. Əрине
( )
(
)
1
1
/
ал
,
1
−
=
Ρ
=
Ρ
n
B
A
n
B
, себебі екінші элементті алар алдында бас жиынтықта
қалған элементтер саны бірге кеміді (
1
−
n
элемент қалды). Егер (2.2) - формуланы пайдалансақ, онда
бірінші рет i -ші элемент, екінші рет j -ші элемент алыну ықтималдығы
( )
(
)
1
1
−
=
Ρ
n
n
AB
болар еді. Егер
алынған элементтер əр жолы кері қайтарылып отырған болса, онда
n
B
P
A
P
1
)
(
)
(
=
=
,
2
1
)
(
n
AB
P
=
болады.
2-мысал. Құтыда m -а ,
m
n − - ара шар (барлығы
n
m
n
m
=
−
+
)
(
шар) бар. Құтыдан бір-бірлеп
қайтарусыз түрде екі шар алынған. Мына оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
а) бірінші алынған шар а шар (
1
A оқиғасы);
ə) екінші алынған шар а шар (
2
A оқиғасы);
б) екі шардың екеуі де ақ шар (
2
1
A
A
I
оқиғасы).

---

Page 18

Шешуі.
( )
n
m
A =
Ρ
1
болатыны түсінікті.
( )
2
A
Ρ
ықтималдығын табу үшін
2
A оқиғасын мына түрде
жазалық:
1
2
1
2
2
A
A
A
A
A
+
=
.
Бұл қатынасқа алдымен ықтималдықтарды қосу, сосын көбейту формулаларын қолдансақ, онда
( ) (
)
( )
( ) (
)
( ) (
)
=
Ρ
Ρ
+
Ρ
Ρ
=
Ρ
+
Ρ
=
Ρ
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
/
/
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
=
n
m
n
m
n
m
n
n
m
n
m
=
−
⋅
−
+
−
−
⋅
1
1
1
.
Біз жолай
(
)
)1
(
)1
(
2
1
−
−
=
Ρ
n
n
m
m
A
A
болатынын да көрсете кеттік.
Бұл мысалда баса назар аударатын мəселе - ол
1
A жəне
2
A
оқиғаларының тең ықтималдықты екені,
яғни құтыдан ақ шар алу ықтималдығының алу ретіне (бірінші немесе екінші рет) тəуелсіздігі.
3-мысал. Ішінде a а , b ара шары бар құтыдан үш ойыншы кезекпен бір-бір шар алады. Ең бірінші
а шарды кім алса, сол жеңеді. Егер шарлар: а) құтыға əр жолы кері қайтарыла отырып; ə) қайтарусыз түрде
алынатын болса, онда 1-ші, 2-ші жəне 3-ші ойыншылардың сəйкес ұту ықтималдықтары неге тең?
Шешуі.
−
i
i
i
C
B
A
,
,
арқылы сəйкес 1-ші, 2-ші, 3-ші ойыншы өзінің
i
-ші рет шар алу кезегінде ақ шар
алғанын білдіретін, ал
i
i
i
C
B
A
,
,
арқылы бұл оқиғаларға қарама-қарсы оқиғаларды белгілелік (
i
=1,2,..).
Онда 1-ші, 2-ші, 3-ші ойыншы жеңді дегенді білдіретін сəйкес
C
B
A ,
,
оқиғаларын былай өрнектеуге
болады:
...
3
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
+
+
+
=
A
C
B
A
C
B
A
A
C
B
A
A
A
,
...
3
3
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
+
+
+
=
B
A
C
B
A
C
B
A
B
A
C
B
A
B
A
B
,
...
2
2
2
1
1
1
1
1
1
+
+
=
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
;
Шындығында да 1-ші ойыншы ұту үшін ол бірден ақ шарды алуы керек; егер ол бірінші рет қара шар алған
болса, онда 1-ші ойыншы ойынды ұту үшін 2-ші жəне 3-ші ойыншылар өз кезектерінде қара шар алулары
керек те, 1-ші ойыншы өзінің екінші алу ретінде (жалпы алу реті бойынша төртінші ретте) ақ шар алуы
қажет т.с.с. Қалған жағдайлар да осы сияқты талданады. Ары қарай
)
(A
P
ықтималдығын есептеу үшін
ықтималдықтың саналымды аддитивтілік қасиетін жəне ықтималдықтарды көбейту формулаларын
пайдаланамыз. Сонымен:
=
+
+
=
=
K
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
1
1
A
C
B
A
P
A
P
A
P
p
( )
( ) (
) (
) (
)
...
/
/
/
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
+
Ρ⋅
Ρ⋅
Ρ
Ρ
+
Ρ
=
C
B
A
A
B
A
C
A
B
A
A
.
а) жағдайында əр жолы құтыдағы шарлар құрамы өзгермейді де, ақ шар алу ықтималдығы əр жолы
b
a
a
+
-ге тең болады. Сондықтан
=
+
+
⋅






+
+
+
⋅






+
+
+
=
K
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
b
a
a
p
6
3
1
2
2
2
3
3
3
)
(
1
1
b
ab
a
b
a
b
a
b
b
a
a
+
+
+
=






+
−
⋅
+
=
.
Сол сияқты
(
)
1
2
2
4
2
3
3
p
b
a
b
b
ab
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
p
⋅
+
=
+
+
+
=
+
+
⋅






+
+
+
⋅
+
=
K
,

---

Page 19

1
2
2
2
2
5
2
3
3
p
b
a
b
b
ab
a
b
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
p






+
=
+
+
=
+
+






+
+
+






+
=
K
.
Əрине,
1
3
2
1
=
+
+
p
p
p
болғандықтан
3
p -тің мəнін
=
3
p
2
1
1
p
p −
−
арқылы да табуға болар еді.
ə) Бұл жағдайда əр жолы алынған шар келесі шарды алар алдында құтыға кері қайтарылмайтын
болғандықтан əр келесі шарды алар алдында құтыдағы шарлардың құрамы өзгеріп (бір ара шарға кеміп)
отырады. Осыны ескерсек
=
+
⋅
⋅
+
=
K
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
C
B
A
A
P
B
A
C
P
A
B
P
A
P
A
P
p
( )
(
)
∑
−
+
+
=
+
−
+
⋅
−
+
−
⋅
−
+
−
⋅
+
+
+
=
∞
=0
3
3
1
3
2
2
1
1
k
k
k
b
a
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
a
a
K
,
мұндағы
)1
(
...
)2
)(
1
(
)
(
+
−
⋅
⋅
−
−
=
r
n
n
n
n
n
r
жəне
n
r >
болса
( )
0
=
r
n
(яғни
1
p -ді есептегенде жоғарыдағы
қатардың оң жағында шын мəнінде ақырлы қосынды тұр). Дəл осы сияқты
(
)
( )
(
)
∑
−
+
−
+
=
∞
=0
3
3
2
2
2
1
k
k
k
b
a
b
b
a
ab
p
,
(
)
(
)
(
)
∑
−
+
−
+
=
∞
=0
3
3
3
2
3
3
2
)
(
k
k
k
b
a
b
b
a
b
a
p
.
u
Егер
),
(
)
/
(
A
P
B
A
P
=
яғни
)
(
)
(
)
(
A
P
B
P
AB
P
=
(6)
шарты орындалса, онда əрине, A оқиғасын B оқиғасынан тəуелсіз оқиға деп атау орынды. Егер A B -дан
тəуелсіз болса, онда B -да A -дан тəуелсіз болады. Демек, екі жағдайда да
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
AB
P
=
(7)
шарты орындалады. Осы соңғы қатынас орындалса A жəне B оқиғалары тəуелсіз (стохастикалы т рде
тəуелсіз) о иғалар деп аталады. Соңғы анықтаманың мынандай артықшылығын айта кетелік: (7)
0
)
(
=
B
P
немесе
0
)
(
=
A
P
болатын A , B оқиғалары үшін де дұрыс, ал
0
)
(
=
B
P
болса (6)-қатынастың,
0
)
(
=
A
P
болса
)
/
(
A
B
P
ықтималдығының мағынасы жоқ.
A , B оқиғаларының тəуелсіздігінен A жəне B , A жəне B , A жəне B оқиғаларының да тəуелсіз
оқиғалар болатындығы шығады.
Егер кез келген
,
...
1
2
1
n
i
i
i
k
≤
<
<
<
≤
,...,
3,
2
=
k
n үшін
)
(
...
)
(
)
(
)
...
(
2
1
2
1
k
k
i
i
i
i
i
i
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P
⋅
⋅
=
(8)
шарттары орындалатын болса, онда
n
A
A
A
,...,
,
2
1
оқиғалары
зара тəуелсіз о иғалар (немесе
жиынты та тəуелсіз о иғалар немесе жай тəуелсіз оқиғалар) деп аталады.
(8) орындалатынын тексеру үшін барлығы
1
2
...
3
2
−
−
=
+
+
+
n
C
C
C
n
n
n
n
n
қатынасты тексеру қажет болатынын ескерте кетелік (мəселен,
3
=
n
болғанда
3
2
1
,
,
A
A
A
оқиғаларының
тəуелсіздігін тексеру үшін барлығы
4
=
n
қатынасты тексеру қажет).
Анықтамадан оқиғалардың тəуелсіздігінен олардың екеуара тəуелсіздігі, яғни əрбір екеуінің
тəуелсіздігі шығатынын байқау қиын емес. Бірақ кері тұжырым əрдайым дұрыс бола бермейді Егер кез
келген
,...
3,
2
=
n
жəне
,
...
1
2
1
n
i
i
i
k
≤
<
<
<
≤
n
k
,...,
2
=
үшін (8)-қатынастар орындалатын болса, онда
n
A
A
A
,...,
,
2
1
,… оқиғалар тізбегі тəуелсіз о иғалар тізбегі деп аталады.
Сонымен, анықтама бойынша кез келген
K
,3,
2
=
m
үшін тəуелсіз оқиғалар тізбегіндегі кез келген m
оқиға тəуелсіз.
4-мысал. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Бірінші ойын сүйегінде "бір" ұпай түсті ( A оқиғасы), екінші
ойын сүйегінде "екі" ұпай түсті ( B оқиғасы) жəне түскен ұпайлардың қосындысы “үштен” артпайды (С
оқиғасы) деген оқиғаларды қарастырайық. Онда

---

Page 20

( )
{
}
(
)
{
}
,
6,
,1
:
,1
,
6,
,1
,
:
,
K
K
=
=
=
=
Ω
j
j
A
j
i
j
i
( )
{
}
( )
{
} ( ) ( ) ( )
{
}
1,
2
,
2,
1
,
1,
1
3
:
,
,
6,
,1
:
2,
=
≤
+
=
=
=
j
i
j
i
C
i
i
B
K
болғандықтан
,
6
1
)
(
=
A
P
6
1
)
(
=
B
P
,
)
(
)
(
6
1
6
1
36
1
)
(
B
P
A
P
AB
P
=
⋅
=
=
.
Сонымен бірге
18
1
)
(
,
12
1
)
(
=
=
AC
P
C
P
,
демек
)
(
)
(
6
1
12
1
18
1
)
(
C
P
A
P
AC
P
=
⋅
≠
=
.
Айтылғандар А жəне В оқиғаларының (стохастикалық) тəуелсіз оқиғалар болатындығын, дегенмен А мен
С оқиғаларының тəуелді оқиғалар болатындығын көрсетеді. Сол сияқты В мен С оқиғалары да тəуелді
оқиғалар болады.
5-мысал. Бернштейнні мысалы. Айталық, бізге біртекті материалдан жасалған тетраэдр берілген
болсын жəне оның үш жағы үш түрлі бояуға- ызыл ( А оқиғасы), к к ( В оқиғасы) жəне жасыл
(С оқиғасы), ал төртінші жағы осы үш бояудың үшеуіне де ( АВС оқиғасы) боялған болсын. Тəжірибе осы
тетраэдрді бір рет лақтырудан тұрсын жəне тетраэдр қандай түске боялған жағымен құласа, сол оқиға пайда
болды (іске асты) деп есептелік.
Онда
,
2
1
)
(
=
A
P
себебі тетраэдрдің барлығы төрт жағы бар, ал оның ішінде қызыл бояуға боялған
жақтарының саны екеу. Дəл осы сияқты
2
1
)
(
)
(
=
=
C
P
B
P
жəне де
,
2
1
2
1
4
1
)
(
)
(
)
(
⋅
=
=
=
=
AC
P
BC
P
AB
P
яғни
(2.6)-шарттар
2
,3 =
=
k
n
үшін орындалады (оқиғалар екеуара тəуелсіз). Бірақ
,
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
4
1
⋅
⋅
=
≠
=
C
P
B
P
A
P
ABC
P
демек оқиғалардың үшеуінің тəуелсіздік шарты орындалмайды.
6-мысал.
Үш
c
b
a ,
,
əріптерінен
құрастырылған
барлық
3!=6
алмастыруларды
жəне
)
,,
(),
,,
(),
,
,
(
c
c
c
b
b
b
a
a
a
үш үштігін, барлығы тоғыз үштікті элементар оқиғалар кеңістігі ретінде
қарастыралық та, олардың əрқайсысына
9
1
тең ықтималдықты сəйкес қоялық.
k
k
k
C
B
A
,
,
арқылы k -ші
орында сəйкес
c
b
a ,
,
əріптері тұратынын білдіретін оқиғаларды белгілелік ( k =1,2,3). Онда
=
=
)
(
)
(
2
1
A
P
A
P
( )
3
1
3
=
A
P
жəне
(
) (
)
=
=
3
1
2
1
A
A
P
A
A
P
(
)
,
9
1
3
2
=
=
A
A
P
демек
3
2
1
,
,
A
A
A
оқиғалары
екеуара тəуелсіз оқиғалар. Бірақ, мəселен
2
1
A
A
оқиғасы мен
A
3
оқиғасы тəуелсіз оқиғалар болмайды,
себебі
9
1
)
(
3
2
1
=
A
A
A
P
=
⋅
≠
3
1
9
1
(
) ( )
3
2
1
A
P
A
A
P
⋅
=
. (Оны мынадан да көруге болады:
1
A жəне
2
A оқиғалары
пайда болған сайын
3
A оқиғасы да пайда болады, яғни
3
2
1
A
A
A
⊆
: егер алмастыруда бірінші орында a ,
екінші орында b тұрса, онда үшінші орында міндетті түрде c тұрады).
k
k
C
B ,
оқиғалары үшін де
3
1
)
(
)
(
=
=
k
k
C
P
B
P
жəне де
9
1
)
(
)
(
)
(
=
=
=
k
j
k
i
j
i
C
B
P
C
A
P
B
A
P
(мұндағы
k
j
i ,
,
-əртүрлі индекстер).
Сондықтан индекстері əртүрлі
k
j
i
C
B
A
,
,
оқиғалары да екеуара тəуелсіз оқиғалар болады. Бірақ
алмастыруда алғашқы екі орында тұрған əріптер үшінші орында тұрған əріпті бірмəнді анықтайтын
болғандықтан, мəселен,
3
C оқиғасы жəне алғашқы екі орында тұрған əріптерге қатысты
2
1
A
A
жəне
2
1
2
1
,..., C
C
B
A
(барлығы тоғыз оқиға) оқиғалары тəуелсіз емес.
Егер А , В ,С оқиғалары үшін екеуара тəуелсіздікпен қатар
(
) ( ) ( ) ( )
C
B
A
ABC
Ρ
Ρ
Ρ
=
Ρ
(9)
қатынасы да орындалса, олар үшін (стохастикалы ) тəуелсіз терминін қалдыратын боламыз, себебі бұл
теңдік А мен ВС , В мен АС жəне С мен АВ оқиғаларының да тəуелсіздігін қамтамасыз етеді. Одан

---

Page 21

басқа, мəселен
B
AU
оқиғасы мен C оқиғасы да (жəне сəйкес
C
AU мен B ,
C
B U
мен A ) тəуелсіз
оқиғалар болады.
Шындығында да бұл жағдайда ықтималдықтарды қосу формуласы бойынша
(
) (
)
)
(
)
(
)
(
)
(
ABC
P
BC
P
AC
P
BC
AC
P
C
B
A
P
−
+
=
=
U
U
.
Енді жоғарыда айтылғандарды еске алсақ:
(
)
(
)
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
P
B
A
P
C
P
B
P
A
P
B
P
A
P
C
P
B
P
A
P
C
P
B
P
C
P
A
P
C
B
A
P
U
U
=
−
+
=
=
−
+
=
Егер тəуелсіз оқиғаларға қарама-қарсы оқиғалардың да тəуелсіз оқиғалар болатынын, олардың біреуі мен
екіншісіне қарама-қарсы оқиға да тəуелсіз оқиғалар болатынын т.с.с. ескерсек, онда екеуара тəуелсіздік
шарты жəне (2.7) шарты орындалған жағдайда жоғарыда айтылғандардан
B
A
жəне C , AB жəне C т.с.с.
оқиғалардың да тəуелсіз оқиғалар болатынын, жалпы айтқанда олардың екеуі бойынша құрастыруға мүмкін
болатын оқиғалардың үшіншісіне тəуелсіз болатынын қамтамасыз ететінін байқаймыз.
§3. Геометриялық ықтималдықтар
1. Ұзындығы
L
болатын кесіндіге кездейсоқ
ξ
нүктесі қойылған. Осы нүктенің берілген кесіндінің
ортасынан
l
-ден артық емес қашықтыққа түсу ықтималдығы неге тең?
2. Ұзындығы
l
болатын таяқша кездейсоқ нүктеде сынған. Пайда болған кішкене таяқшаның
ұзындығы бастапқы таяқша ұзындығының үштен бірінен артпау ықтималдығын табыңыз.
3.
Ox
сан осінде жатқан ұзындығы L болатын OA кесіндісіне
B жəне C нүктелері кездейсоқ
қойылған. Пайда болған B C кесіндісінің ұзындығы
2
L
-ден кем болу ықтималдығын табыңыз.
4. Ұзындығы
l
-ге тең кесіндіге екі нүкте кездейсоқ қойылған. Пайда болған үш кесінді арқылы
үшбұрыш құрастыру ықтималдығы неге тең?
5. Радиусы
R
болатын дөңгелекке кездейсоқ нүкте қойылған. Нүктенің дөңгелекке іштей сызылған: а)
квадратқа түсу; ə) дұрыс үшбұрышқа түсу ықтималдықтарын табыңыз.
6. Еркебұлан мен Абылай келісілген жерде 11 мен 12-нің арасында кездесуге уəделескен. Бірінші
келгені 20 минут күтіп, екіншісі келмесе кете береді. Егер олардың əрқайсысы келісілген жерге кездейсоқ
(11 мен 12 арасында) келеді десек, онда екеуінің кездесу ықтималдығы неге тең?
7. Əрқайсысы екіден аспайтын теріс емес
y
x ,
сандары
[ ]
2,
0
аралығынан кездейсоқ алынған. Онда
олардың көбейтіндісі бірден артық емес, ал қатынасы екіден артық емес болу ықтималдығы неге тең?
8. Əрқайсысы бірден аспайтын
y
x ,
оң сандары кездейсоқ алынған. Онда
y
x +
бірден артпау, ал
y
x⋅ көбейтіндісінің 0,09-дан кем болмау ықтималдығын табыңыз.
9. Жазықтықта бір-бірінен қашықтығы a
2 болатын параллель түзулер жүргізілген. Осы жазықтыққа
радиусы
a
r <
болатын тиын лақтырылған. Онда тиынның ешқандай түзумен қиылыспау ықтималдығы неге
тең?
10. Қабырғасы a болатын квадраттармен толтырылған жазықтыққа радиусы
2
a
r <
болатын тиын
кездейсоқ
лақтырылған.
Тиынның
квадраттардың
ешқайсысының
қабырғаларымен
қиылыспау
ықтималдығын табыңыз.
11.
[ ]
l,0
кесіндісіне кездейсоқ үш нүкте қойылған. Нөл нүктесінен кездейсоқ қойылған нүктелерге
дейінгі аралықтар арқылы пайда болған үш кесіндіден үшбұрыш құрастыру ықтималдығы неге тең?
12. Ұзындығы a -ға тең AB кесіндісіне кездейсоқ X нүктесі қойылған, сосын ұзындығы
−
b ға тең
BC кесіндісіне екінші кездейсоқ нүкте Y қойылған. A , B , C нүктелері осы ретпен бір түзудің бойында
орналасқан деп есептеп, AX , BY , XY кесінділерінен үшбұрыш құру ықтималдығын табыңыз.
13. Кездейсоқ үш оң сан алынған. Ұзындықтары осы үш санға тең болатын сəйкес үш кесіндіден
үшбұрыш құрастыруға болатындығының ықтималдығы неге тең?
14. Квадратқа нүкте кездейсоқ қойылған. Осы нүктенің квадраттың төбелерінен қашықтығы квадрат
қабырғасының ұзындығының жартысынан кем болу ықтималдығын табыңыз.
15. Квадратқа іштей дөңгелек, ал дөңгелекке іштей тағы квадрат сызылған. Сыртқы квадратқа
кездейсоқ қойылған нүктенің:
а) ішкі квадратқа;
ə) ішкі квадрат пен дөңгелек арқылы пайда болған сегменттердің біреуіне түсу ықтималдығы неге тең?
16. Дұрыс үшбұрышқа іштей дөңгелек, ал дөңгелекке тағы іштей дұрыс үшбұрыш сызылған. Сыртқы
квадратқа кездейсоқ қойылған нүктенің:

---

Page 22

а) ішкі үшбұрышқа;
ə) дөңгелек пен ішкі үшбұрыштың аралықтарындағы облыстардың біреуіне түсу ықтималдығы неге
тең?
17. Қабырғасының ұзындығы
a -ға тең квадратқа A нүктесі кездейсоқ қойылған. A нүктесінен
квадраттың ең жақын қабырғасына дейінгі қашықтық A нүктесінен квадраттың ең жақын диагоналына
дейінгі қашықтықтан артық болу ықтималдығын табыңыз.
18. A
{
}
a
y
x
y
x
≤
+
=
:)
,
(
квадратына кездейсоқ нүкте қойылған. Центрі осы нүкте болатын,
қабырғаларының ұзындықтары
b -ға тең жəне қабырғалары координата осьтеріне параллель болатын
квадраттың берілген A квадратының ішінде толық жату ықтималдығын табыңыз.
19. Жазықтықта ара қашықтықтары a -ға тең параллель түзулер жəне оларға перпендикуляр ара
қашықтықтары b -ға тең параллель түзулер жүргізілген. Жазықтыққа ұзындығы
r2 –ге тең ине






−
+
−
+
<
ab
b
a
b
a
r
π
2
)
(
2
кездейсоқ лақтырылған. Осы иненің ең болмағанда бір түзуді қию
ықтималдығын табыңыз.
20. Бертранны парадоксы. Радиусы r –ге тең шеңбер-дің бойынан екі нүкте кездейсоқ алынған да,
олар хордамен қосылған. Хорданың ұзындығы
r3 -ден, яғни шеңберді іштей сызылған дұрыс
үшбұрыштың қабырғасының ұзындығынан кем болмау ықтималдығын табыңыз.
21. Жалғасы. Радиусы r -ге тең шеңбердің бойынан нүкте кездейсоқ алынған да, ол нүкте арқылы
диаметр жүргізілген. Диаметрдің бойынан нүкте- диаметрге перпендикуляр жүргізілген хорданың ортасы
кездейсоқ алынған. Хорданың ұзындығы
r3 -ден кем болмау ықтималдығын табыңыз.
22. Жалғасы. Радиусы r -ге тең дөңгелектің ішінен нүкте кездейсоқ алынған. Бұл нүкте өзі арқылы
жүргізілген диаметрге перпендикуляр хорданың ортасы болады. Алынған хорданың ұзындығы
r3 -ден
кем болмау ықтималдығын табыңыз.
23.
[
]
a
a,
−
,
[
]
b
b,
−
кесінділерінен сəйкес екі нүкте кездейсоқ алынған. Айталық
−
q
p,
осы нүктелердің
координаталары болсын. Онда
0
2
=
+
+
q
px
x
теңдеуінің түбірлері нақты сандар болу ықтималдығын
табыңыз.
24.
[ ]
1,
0
кесіндісіне кездейсоқ екі нүкте қойылған. Айталық
−
q
p,
осы нүктелердің координаталары
болсын. Онда
0
2
3
3
1
=
+
−
q
x
p
x
кубтық теңдеуінің нақты түбірлерінің саны:
а) біреу;
ə) үшеу болу ықтималдықтарын табыңыз.
25. Жазықтықта бір-бірінен
a
2 -қашықтықта орналасқан параллель түзулер жүргізілген. Осы
жазықтыққа диаметрі a
2 -дан аспайтын дөңес көпбұрыш кездейсоқ лақтырылған. Көпбұрыштың параллель
түзулердің əйтеуір біреуін қию ықтималдығын табыңыз.
26.
{
}
0
,
:)
,
(
2
2
2
≥
=
+
=
y
R
y
x
y
x
C
жарты шеңберіне кездейсоқ X нүктесі қойылған. Осы нүктенің:
а) абсциссасының
[ ]
r
r,
−
аралығында;
ə) ординатасының
[ ]
R
r,
аралығында жату ықтималдықта-рын табыңыз.
27. Шеңберге кездейсоқ үш нүкте,
С
В
А ,
,
нүктелері қойылған. АВС үшбұрышының сүйір бұрышты
үшбұрыш болу ықтималдығы неге тең?
28. Жарты осьтері
b
a,
болатын эллипске кездейсоқ лақтырылған нүктенің жарты осьтері сəйкес
(
)
1
,
<
k
b
k
a
k
болатын эллипске түсу ықтималдығын табыңыз.
§1. Шартты ықтималдық. Тəуелсіздік
1. 1000 лотерея билеті сатылған. Оның біреуінде 1000 теңгелік, онында- 500 теңгелік, елуінде- 200
теңгелік, екі жүзінде- 100 теңгелік ұтыс бар. Қалғаны ұтпайтын билеттер. Кездейсоқ сатып алынған бір
билетке 200 теңгеден кем емес ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?
2. Урнада 2 ақ, 4 қара шар бар. Урнадан бір-бірлеп барлық шарлар алынған. Ең соңғы шардың қара шар
болу ықтималдығы неге тең?
3. Тиын 6 рет лақтырылғын. Цифрға қарағанда герб түсу санының көп болу ықтималдығын табыңыз.
4. 00,01,...,98,99 сандар жиынынан кездейсоқ бір сан алынған.
1
Х жəне
2
Х сəйкесінше таңдалған
санның цифрларының қосындысы жəне көбейтіндісі болсын.
{
}
,
0
/
2
1
0/
=
=
=
X
i
X
P
P
i
18
1
0 ,...,
,
i =
ықтималдықтарын табыңыз.

---

Page 23

5. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Түскен ұпайлардың комбинациялары тең ықтималдықты деп алып,
олардың қосындысы беске бөлінетіні белгілі болған жағдайда дəл екі бестіктің түсуінің шартты
ықтималдығын табыңыз.
6. Емтиханға дайындалған 20 билеттің 5-уі “жақсы” билет. Екі студент бір-бірден билет алған. Келесі
оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз: а) бірінші кірген студент “жақсы” билет алды; ə) екінші кірген
студент “жақсы” билет алды; б) екі студент те “жақсы” билет алды.
7. Электр өткізгіші (суретті қараңыз)
5
2
1 ,...,
,
k,
k
A
=
элементтерінен тұрады.
k
A -шы элементтің істен
шығу
ықтималдығы
k
P
(
5
,...,
2,
1
=
k
)
болсын.
Элементтердің істен шығу немесе
шықпауы бір-бірінен тəуелсіз деп
есептеп,
{
=
C
белгілі бір уақыт
аралығында өткізгіштен ток өтті}
деген
оқиғаның
ықтималдығын
табыңыз.
8.
A
жəне
B
оқиғалары
тəуелсіз болса:
а)
A
жəне B ;
ə) A жəне B
оқиғалары
тəуелсіз бола ма?
9.
Ойын
сүйегі
екі
рет
лақтырылған.
1
X мен
2
X
осы
сынақтарда түскен ұпайлар саны болсын. Егер
{
−
=
2
1
1
X
X
A
ге бөлінеді};
{
−
=
1
2
2
X
X
A
ге бөлінеді}
деген оқиғалар болса, онда бұл оқиғалар тəуелсіз бола ма?
10. Үш мерген нысанаға бір-бірден оқ атқан. Бірінші мергеннің нысанаға дəл тигізу ықтималдығы-0.8,
екіншісінікі-0,7, үшіншісінікі – 0,9. Онда ең болмағанда бір мергеннің атқан оғын нысанаға дəл тигізу
ықтималдығын табыңыз.
11. Студенттің бірінші емтиханды сəтті тапсыру ықтималдығы 0,9, екінші жəне үшінші емтихандар
үшін ол ықтималдық сəйкесінше 0,9 жəне 0,8. Онда студенттің: а) тек екінші емтиханды; ə) тек бір
емтиханды; б) үш емтиханды да; в) ең болмағанда екі емтиханды; г) ең болмағанда бір емтиханды сəтті
тапсыру ықтималдығы неге тең?
12. Баспадан шығарылған газеттер 3 пошта бөлімшесіне таратылған. Газетті өз уақытында алу
ықтималдығы бірінші пошта бөлімшесі үшін-0.95, екіншісі үшін- 0.9, ал үшіншісі үшін- 0.8. Келесі
оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз: а) тек бір пошта бөлімшесі өз уақытында газет алды; ə) ең
болмағанда бір бөлімшеге газет кешігіп жетті.
13. Қорапта 6 қызыл, 4 көк, 2 сары қарындаш бар. Кездейсоқ 3 қарындаш алынған. Олардың əртүрлі
болу ықтималдығы қандай?
14. Үш баласы бар отбасыларын қарастырайық. Егер отбасында ұл бала бар екені белгілі болса, онда
балалардың үшеуінің де ұл бала болу ықтималдығы неге тең?
15. Қорапта 2 к к, 5 ызыл жалау бар. Екі ойыншы кезекпен бір-бір жалаудан алады. Ең бірінші к к
жалауды кім алса, сол жеңеді. Егер жалаулар қорапқа əр жолы: а) кері қайтарылса; ə) кері қайтарылмаса,
онда бірінші жəне екінші ойыншылардың сəйкес ұту ықтималдықтары неге тең?
16. Төрт ойын сүйегін лақтырғанда ең болмағанда біреуінде “1” ұпай түскені белгілі. Осы ойын
сүйектерінде ең болмағанда екі “1” түсу ықтималдығы неге тең?
17. Дөңгелекке іштей квадрат, ал квадратқа іштей екінші дөңгелек сызылған. Үлкен дөңгелекке
кездейсоқ нүкте лақтырылған. Егер бұл нүктенің квадратқа түскені белгілі болса, онда оның ішкі дөңгелекке
түсу ықтималдығы неге тең?
18. Қабырғасы a -ға тең квадратқа кездейсоқ нүкте лақтырылған. Егер нүктенің квадратқа іштей
сызылған дөңгелекке түскені белгілі болса, онда оның ішкі дөңгелекке іштей сызылған дұрыс үшбұрышқа
түсу ықтималдығы неге тең?
19. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Бірінші ойын сүйегінде “бір” ұпай түсті (
A
оқиғасы), екінші ойын
сүйегінде “екі” ұпай түсті (B оқиғасы) жəне түскен ұпайлардың қосындысы "үштен" артпайды ( C оқиғасы)
деген оқиғаларды қарастырайық. Бұл оқиғалар тəуелсіз бола ма?
20. A мен
1
B тəуелсіз жəне A мен
2
B тəуелсіз болса, A мен
2
1
B
B U
оқиғалары да тəуелсіз бола
ма? A мен
1
B
2
B оқиғалары ше? (
,1
)
(
0
<
<
A
P
1
)
(
0
<
<
i
B
P
)2
,1
( =
i
деп есептеңіз).
21. Егер
)
B
/
A
(P
)
B
/
A
(P
=
,
1
)
(
0
<
<
B
P
болса A жəне B оқиғалары тəуелсіз оқиғалар болатынын
көрсетіңіз.
22. а)
,
,
)
AB
(P
35
0
=
42
0,
)
B
A
(P
=
.
)
A
(P
ықтималдығын табыңыз. ə)
B
A,
тəуелсіз жəне
∅
=
AB
.
Онда
)}
(
),
(
min{
B
P
A
P
неге тең?
23. Егер оқиға өзіне-өзі тəуелсіз болса, онда оның ықтималдығы не нөлге, не бірге тең болатындығын
көрсетіңіз.
25. Үлкен қаланың тұрғындарына санақ жүргізу кезінде əкесінің де, баласының да қоңыр көзділері
)
AB
(
-5%-ті, əкесінің қоңыр көзді жəне баласының көк көзділері
)
B
A
(
-7,9%-ті, əкесінің көк көзді жəне

---

Page 24

баласының қоңыр көзділері
)
B
A
(
-8,9%-ті, əкесінің де, баласының да көк көзділері
)
B
A
(
-78,2%-ті
құрайтыны анықталған. Əкесі мен баласының көздерінің түстері арасындағы қатынасты, яғни
),
/
(
A
B
P
),
/
(
A
B
P
),
/
(
A
B
P
)
/
(
A
B
P
ықтималдықтарын табыңыз.
26. Бес жасар Еркебұланға анасы кішкентай 20 мəшине сатып əперді. Оның 7-уі қызыл, 10-ы жасыл, 3-
уі ақ. Ол өзінің достарымен ойнағысы келіп, қораптан кездейсоқ 3 мəшине алды. Алынған мəшинелердің
түстерінің: а) əртүрлі; ə) бірдей болу ықтималдықтарын табыңыз.
27. Үш ұшақ бір-бірінен тəуелсіз түрде нысанаға бомба лақтырады. Айталық, бірінші ұшақ 250 кг-дық
4 бомба, екіншісі 500 кг-дық 2 бомба, үшіншісі 1000 кг-дық 1 бомба тастасын жəне де көзделген нысанаға
бомбаны дəл түсіру ықтималдығы бірінші ұшақ үшін 0,2, екіншісі мен үшіншісі үшін сəйкесінше 0,3 жəне
0,4-ке тең болсын. Көзделген нысананы жою үшін салмағы 500 кг-нан кем емес 1 бомба, немесе 250 кг-дық
екі бомбаның түсуі жеткілікті. Көзделген нысананың жойылу ықтималдығын табыңыз.
28. Бомбалаушы ұшақ əскери тапсырманы орындау үшін қарсыластардың зениттік қорғанысы
орналасқан зонадан өтуі керек. Бұл зонада бір-бірінен тəуелсіз 4 зениттік құрал ұшаққа қарсы оқ атады.
Əрбір зениттік құрал 10 оқтан атады жəне əр атқан оқтың ұшаққа тию ықтималдығы 0,02-ге тең. Ұшақтың
жануы (құлауы) үшін бір оқтың тиюі жеткілікті. Егер ұшаққа оқ тимесе, ол зонадан өтіп, жоспарланған
жерге бомба тастайды. Бұл жағдайда əскери тапсырманың орындалу ықтималдығы 0,6-ға тең. Зениттік
артиллерияның қарсылығына қарамастан бомбалаушының тапсырманы орындау ықтималдығын табыңыз.
30. 52 ойын картасынан бір мезетте 3 карта алынған. Алынған карталардың ең болмағанда біреуінің
қызыл түсті болу ықтималдығын табыңыз.
31.
;,
)
A
(P
9
0
=
8
0,
)
B
(P
=
жəне A мен B тəуелсіз болса, онда
),
\
(
B
A
P
),
(
B
A
P
U
),
(
B
A
P
U
),
(
B
A
P
U
)
\
(
B
A
P
ықтималдықтары неге тең?
32. Кездейсоқ алынған екі таңбалы санның жай сан жəне оның цифрларының қосындысы 5-ке тең болу
ықтималдығы неге тең?
33. а)
B
A,
тəуелсіз оқиғалар жəне
1
)
(
=
B
A
P
U
болсын. Онда
1
)
(
=
A
P
немесе
1
)
(
=
B
P
болатынын
көрсетіңіз;
ə) A жəне B оқиғалары тəуелсіз жəне
0
)
(
=
⋅ B
A
P
болса, онда
1
)
(
=
A
P
немесе
1
)
(
=
B
P
болатынын
дəлелдеңіз.
34.
B
A,
тəуелсіз оқиғалар болсын. Егер
B
AU
жəне
B
AI
тəуелсіз оқиғалар болса, онда не
,1
)
(
=
A
P
не
1
)
(
=
B
P
, не
,0
)
(
=
A
P
не
0
)
(
=
B
P
болатынын көрсетіңіз.
35.
C
B
A
,
,
оқиғалары (жиынтықта) тəуелсіз жəне де əрқайсысының ықтималдығы нөлден жəне
бірден өзгеше болсын. Онда
BC
AB ,
жəне AC оқиғалары: а) жиынтықта тəуелсіз; ə) екеуара тəуелсіз бола
ала ма?
36.
B
A,
тəуелсіз оқиғалар, C
оқиғасы AB
жəне
B
AU
оқиғаларынан тəуелсіз оқиға.
C
B
A ,
,
оқиғалары міндетті түрде екеуара тəуелсіз бола ма?
37. Екі ойыншы кезекпен ойын сүйегін бір-бір реттен лақтырған. Кімде көп ұпай түссе, сол жеңеді.
Екінші ойыншының ұту ықтималдығын табыңыз.
38. Екі ойыншы 2 а , 4 ара, 1 ызыл шары бар урнадан бір-бірлеп кезекпен (қайтарымсыз түрде)
шарлар алады. Кім бірінші а шар алса, сол ұтады. Егер біреуі ызыл шар алса, ойын тең аяқталады деп
есептеледі. Ойынның тең аяқталуының жəне сəйкес 1-ші, 2-ші ойыншының ұту ықтималдықтарын табыңыз.
39. Үш ойын сүйегі лақтырылған. Онда мына шарттар орындалған жағдайда осы үшеуінде де "6"
("алтылық") түсу
ықтималдығы неге тең:
а) ойын сүйектерінің біреуінде "6" түсті;
ə) нөмірі бірінші ойын сүйегінде "6" түсті;
б) ойын сүйектерінің екеуінде "6" түсті;
в) ең болмағанда екі ойын сүйегінде "6" түсті;
г) барлық ойын сүйектерінде бірдей ұпайлар түсті;
д) ең болмағанда бір ойын сүйегінде "6" түсті;
40. Үш баласы бар отбасыларын (жанұяларын) қарастыралық жəне де барлық ұұұ, ұұқ,…, қққ сегіз
нəтиже (ұ-ұл, қ-қыз дегенді білдіреді жəне “ұқұ” нəтижесі- ең үлкені мен ең кішісі ұл, ортаншысы қыз бала
дегенді білдіреді т.с.с.) тең ықтималдықты болсын. Мынадай оқиғаларды енгізелік: A -отбасында ұл да бар,
қыз да бар; B - отбасындағы қыздар саны бірден аспайды. A жəне B оқиғаларының тəуелсіз оқиғалар
болатынын дəлелдеңіз.
41. Төрт баласы бар отбасылар үшін барлық ұұұұ, ұұұқ,…,ққққ 16 нəтиже тең ықтималдықты болсын
деп есептелік. A –отбасында ұл да бар, қыз да бар;
k
B -отбасындағы қыздар саны k деген ( k =0,1) оқиғалар
болсын. Онда A жəне
1
0
B
B
B
+
=
оқиғалары тəуелсіз оқиғалар болмайтынын көрсетіңіз. Екі балалы
отбасылар үшін бұл оқиғалар тəуелсіз бола ма?

---

Page 25

42. Үш ойын сүйегі лақтырылған. Егер ойын сүйектерінде əртүрлі ұпайлар түскені белгілі болса, онда
оның біреуінде “6” ұпай түсу ықтималдығы неге тең?
43. Төрт шар төрт жəшікке кездейсоқ орналастырылған (барлық 256 үлестірім тең ықтималдықты).
Егер алғашқы екі шар əртүрлі жəшіктерге түскені белгілі болса, онда жəшіктердің біреуіне дəл екі шар түсу
ықтималдығы неге тең?
43. Ойын сүйегі қашан “1” ұпай түскенше лақтырыла береді. Бірінші рет лақтырғанда “1” ұпай
түспеген. Ойын сүйегін ең болмағанда үш рет лақтыру қажет болу ықтималдығын табыңыз.
44. Жалғасы. Алдыңғы есепте сынақтар саны n жұп сан болсын.
2
=
n
болуының ықтималдығы
қандай?
4-МАШЫ ТАНУ САБАҒЫ
ТОЛЫҚ ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ФОРМУЛАСЫ.
БАЙЕС ФОРМУЛАСЫ.
Айталық,
,...
,
2
1
H
H
екеуара үйлеспейтін, қатаң оң ықтималдықты оқиғалар тізбегі болсын
(
,
∅
=
j
i
H
H
,j
i ≠
,0
)
(
>
i
H
P
,...
2,
1
=
i
)
жəне
Ω
=
∑
∞
=
1
i
i
H
шарты орындалсын. Онда кез келген А
оқиғасының ықтималдығын толы ы тималды тар формуласы деп аталатын мына формула арқылы
есептеуге болады:
∑
=
∞
=
1
)
/
(
)
(
)
(
i
i
i
H
A
P
H
P
A
P
.
(1)
Толық ықтималдықтар формуласының шарттары орындалған жағдайда
)
/
(
A
H
P
i
шартты ықтималдықтары
үшін мына Байес формулалары деп аталатын формулаларды аламыз:
,...)
2,
1
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
1
=
∑
=
∞
=
i
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P
j
j
j
i
i
i
.
(2)
Əдетте (2.8)-(2.9) формулалардағы
,...
,
2
1
H
H
оқиғалары болжамдар (гипотезалар) деп, олардың шартсыз
ықтималдықтары
),...
(
),
(
2
1
H
P
H
P
априорлы (тəжірибеге дейінгі) ықтималдықтар деп, ал А оқиғасы пайда
болған жағдайда есептелінген шартты ықтималдықтар
),...
/
(
),
/
(
2
1
A
H
P
A
H
P
апостериорлы (тəжірибеден
кейінгі) ықтималдықтар деп аталады.
(1)-(2)- формулалардан толық ықтималдықтар формуласы мен Байес формулаларының шартты
ықтималдықтар берілген немесе олар оңай есептелінетін жағдайларда қолдануға тиімді формулалар
болатынын аңғарамыз. Сонымен бірге бұл формулалардағы
Ω
=
∑
∞
=
1
i
i
H
шартын
∑
⊆
∞
=
1
i
i
H
A
шартымен
алмастыруға болатынына да назар аудара кетелік.
1-мысал. Емтихан билеттерінің (немесе тест сұрақтарының) саны n болсын, ал студент A алдын-ала
соның тек m билетіне (сұрағына) дайындалған болсын (əрине
n
m ≤ ). Егер студент білетін билетін алған
болса, онда ол емтиханды сəтті тапсырады деп есептелік. Студенттер емтиханға бір-бірден кезекпен кіретін
болса, онда емтиханды ең жоғарғы ықтималдықпен сəтті тапсыру үшін A -ның стратегиясы қандай болу
керек: оған емтиханға ең алдымен кіргені тиімді ме, немесе орта шенінде, немесе ең соңында кіргені тиімді
ме?
Шешуі. Айталық,
)
,...,
2,
1
(
n
i
A
i
=
арқылы студент i -ші болып емтиханға кірген жəне де білетін билетін
алған деген оқиғаны белгілейік. Онда А -ның алдында кірген студенттер j "бақытты" ( А білетін) билетті
(
)
1
,...,
2,
1,
0
−
=
i
j
алып кеткен болуы мүмкін (
)(i
j
H
оқиғасы). Енді
)
(
i
A
P
ықтималдықтарын есептеу үшін
(2)- формуланы пайдалануымызға болады:
( ) (
)
∑
=
−
=
1
0
)(
)(
/
)
(
i
j
i
j
i
i
j
i
H
A
P
H
P
A
P
.
(3)

---

Page 26

Егер алғашқы
1
−
i
студенттің ішінен j студент "бақытты" билет алған болса, онда i -ші болып кірген
студенттің "бақытты" билет алу ықтималдығы
1
+
−
−
i
n
j
m
тең, себебі бұл жағдайда барлық қалған билеттер
саны
,1
)1
(
+
−
=
−
−
i
n
i
n
ал оның ішіндегі "бақытты" билеттер саны
j
m − . Сонымен
(
)
1
/
)(
+
−
−
=
Ρ
i
n
j
m
H
A
i
j
i
.
Сол сияқты бастапқы кірген
1
−
i
студенттің ішінен дəл j студент "бақытты" билет алуының (
)(i
j
H
оқиғасы) ықтималдығы мынаған тең (гипергеометриялық үлестірім):
( )
1
1
)(
−
−
−
−
=
i
n
j
i
m
n
j
m
i
j
C
C
C
H
P
.
Онда (3)- формула бойынша:
( )
∑
=
+
−
−
⋅
=
−
=
−
−
−
−
1
0
1
1
1
i
j
i
n
j
i
m
n
j
m
i
i
n
j
m
C
C
C
A
P
∑
+
−
∑
−
+
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
2
0
)1
(
2
)1
(
1
1
1
1
1
0
1
1
)1
(
)1
(
i
j
j
i
m
n
j
m
i
n
i
j
j
i
m
n
j
m
i
n
C
C
i
n
C
m
C
C
i
n
C
m
.
Егер ∑
=
=
−
−
k
l
k
n
l
k
m
n
l
m
C
C
C
0
болатынын ескерсек, онда
[
]
=
−
+
−
=
−
−
−
−
2
1
1
1
)1
(
)
(
i
n
i
n
i
n
i
C
C
i
n
C
m
A
P
n
m
i
n
n
i
m
mn
i
n
n
i
m
i
n
m
=
+
−
−
−
=
+
−
−
−
+
−
=
)1
(
)1
(
)1
(
)1
(
1
,
яғни
n
m
A
P
A
P
A
P
n
=
=
=
=
)
(
...
)
(
)
(
2
1
.
Бұл мысалдан мынандай орытындыға келеміз: берілген есеп шартында студенттің емтиханды сəтті
тапсыру ықтималдығы оның емтиханға қашан (ең алдымен, орта шенінде, ең соңында, т.с.с.) кіруіне
байланыссыз (өзгермейді) жəне де ол
n
m/
тең; мұндағы n -барлық билеттер (сұрақтар) саны, ал m -
студент дайындалған (білетін) билеттер саны. Басқаша айтқанда, студентті емтиханды сəтті тапсыруы
тек ана оны емтиханға дайындығына байланысты екен.
2-мысал. Факультеттің 1-4 курстарында барлық студенттердің сəйкес 30%, 27%, 23% жəне 20%-і
оқиды. Сессия нəтижесінде əр курс бойынша үлгерім сəйкес 80%, 77%, 81% жəне 85% болды. а) факультет
студенттерінің ішінен кездейсоқ алынған бір студенттің үлгермейтін студент болу ықтималдығы неге тең? ə)
а) жағдайындағы студент 4-курс студенті болу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. а)
i
H
арқылы кездейсоқ алынған студенттің
i
-ші курс (
i
=1,2,3,4) студенті болатынын
білдіретін оқиғаны, А арқылы ол студент үлгермейтін студент деген оқиғаны белгілейік. Онда есептің
шарты бойынша
P(H
1
)=0,30, P(H
2
)=0,27, P(H
3
)=0,23, P(H
4
)=0,20 ,
P(A/H
1
)=0,20, P(A/H
2
)=0,23, P(A/H
3
)=0,19, P(A/H
4
)=0,15 .
Демек (2.8)-формула бойынша
)
(
А
P
=0,30*0,20+0,27*0,23+0,23*0,19+0,20*0,15=0,1958 .
ə) (2.9)- формула бойынша
153
,0
1958
,0
03
,0
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
4
4
4
≈
=
=
A
P
H
A
P
H
P
A
H
P
.

---

Page 27

Есептер
1. Бірінші қорапта 1 ақ, 4 қызыл, ал екінші қорапта 1 ақ, 7 қызыл қарындаш бар. Екінші қораптан
кездейсоқ екі қарындаш алынып, бірінші қорапқа салынған. Одан кейін толықтырылған бірінші қораптан
кездейсоқ бір қарындаш алынған. Осы қарындаштың ақ қарындаш болу ықтималдығы неге тең?
2. Қан құйғанда ауру мен донордың қандарының тобын ескеру керек. Қаны 4-ші топтағы адамға кез
келген қанды құюға болады; қаны 2-ші немесе 3-ші топтағы адамға өз тобындағы немесе 1-ші топтағы
қанды құюға болады; қаны 1-ші топтағы адамға тек 1-ші топтағы қанды құюға болады. Ауыл адамдарының
33,7%-і 1-ші, 37,5%-і 2-ші, 20,9%-і 3-ші, жəне 7,9%-і 4-ші топтағы қаны бар адамдар. а) кездейсоқ алынған
ауруға кездейсоқ донордың қанын құюға болады; ə) егер екі (үш) донор бар болса, ауруға олардың қанын
құюға болады деген оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз.
3. Бес жəшік берілген. Бірінші, екінші, үшінші жəшіктерде 2 ақ жəне 3 қара шар, ал төртінші жəне
бесінші жəшіктерде 1 ақ жəне 1 қара шардан бар. Кездейсоқ алынған жəшіктен кездейсоқ бір шар алынған.
Егер алынған шар ақ шар болса, онда ол шардың төртінші немесе бесінші жəшіктен алынған болуының
шартты ықтималдығы неге тең?
4. n шары бар жəшікке бір а шар салынған. Егер жəшіктегі шарлардың а түсті шарларының саны
туралы барлық болжамдар тең ықтималдықты болса, онда жəшіктен кездейсоқ алынған бір шардың а шар
болу ықтималдығы неге тең?
5. Жолаушы
O
қаласынан
A
қаласына қарай шығып, оған
баруға
мүмкін
болатын
жолдардың
кездейсоқ
біреуін
таңдаған (Жол кестесі суретте
көрсетілген). Жолаушының
A
қаласына жету ықтималдығын
табыңыз.
6. Қоймада №1 заводта
дайындалған
12
бұйым,
№2
заводта дайындалған 20 бұйым
жəне №3 заводта дайындалған 18
бұйым
бар.
№1
заводта
дайындалған бұйымның сапалы
болу ықтималдығы 0.9, осы
ықтималдық №2, №3
заводтар
үшін сəйкесінше 0.6 жəне 0.9.
Қоймадан кездейсоқ алынған бір
бұйымның сапалы болу ықтималдығын табыңыз.
7. Ұшаққа бағытталып 3 оқ атылған. Бірінші рет атқанда оқтың ұшаққа тию ықтималдығы- 0.4,
екіншісінде- 0.5, ал үшіншісінде- 0.7. Ұшақ (істен шығу) құлау үшін үш оқ тиюі жеткілікті; бір оқ тигенде
ұшақтың істен шығу ықтималдығы- 0.2, екі оқ үшін- 0.6. Үш рет оқ атқанда ұшақтың құлау ықтималдығы
неге тең?
8. 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6 сандары жазылған 10 карточка бар. Осы карточкалардың екеуі бірінен соң бірі
алынған. Бірінші алынған карточкадағы сан бөлшектің алымы, ал екінші карточкадағы сан бөлшектің
бөлімі болсын делік. Онда құрастырылған бөлшектің дұрыс бөлшек болу ықтималдығы неге тең?
9. Жəшікте 20 теннис добы бар. Оның 12-сі жаңа жəне 8-і бұрын пайдаланылғандар. Кездейсоқ 2 допты
алып, ойын ойналғаннан кейін жəшікке қайтадан салған. Осыдан кейін келесі ойынға кездейсоқ 2 доп
алынған. Осы соңғы 2 доптың екеуінің де жаңа болу ықтималдығын табыңыз.
10.
A
жəне
B
атты ойыншылар мынандай тəртіппен шахмат ойнауға келіскен: тең ойынды
есептемегенде жеңу үшін
A
12 ұпай (бір жеңіске- 1 ұпай), ал
B
6 ұпай жинауы керек. Əр ойында
A
-ның
B
-ны жеңу ықтималдығы
3
2
-ге тең. Белгілі бір себептермен
A
- 8 ұпай,
B
- 4 ұпай жинаған сəтте ойын
тоқтатылып, берілген жағдайда кімнің ойынды жеңу ықтималдығы көп болса, сол жеңген болып есептелсін
деп шешілген. Сонымен кім жеңді?
11.
A
мен
B
атты ойыншылар белгілі бір ойынды мынандай тəртіппен ойнауға келіскен. Əр партияны
не
A
, не
B
жеңеді (жеңіс– 1 ұпай, тең ойын жоқ: мəселен, олар əрқайсысына 3 минуттан қойып, шахмат
ойнайды).
A
-ның əр партияны жеңу ықтималдығы
p
. Ойынды бастар алдында олар бүкіл ойынды
əрқайсысы түпкілікті жеңу үшін қайсысы қанша партия ұтуға тиістілігі жөнінде уəделескен. Бірақ белгілі
бір себептермен олардың екеуі де ойынды жеңуге жеткілікті ұпайды ала алмаған кезде ойын тоқтатылған.
а) Егер
A
-ға əлі де екі партия, ал
B
-ға əлі үш партия ұту қажет болса, онда
A
-ның ойын жеңімпазы
болу ықтималдығы неге тең?
ə) Егер
5/
2
=
p
болса, кімнің ойын жеңімпазы болуы ықтималдырақ?
б)
A
-ға əлі де m партия, ал
B
-ға n партия ұту қажет болса, онда ойын жеңімпазы
A
болу
ықтималдығы неге тең?
12. Өнеркəсіп белгілі үш салада өнім өндіреді. Бірінші саладағы өндірілетін өнім бүкіл өнімнің 20%-і,
екіншісі-30%, үшіншісі- 50%. Əрбір салада өндірілген өнімнің сапалы болуы сəйкесінше 95%, 98% жəне
97%. Өндірілген өнімдердің кездейсоқ біреуі алынған. Онда: а) алынған өнімнің сапасыз болу
ықтималдығын; ə) сапасыз болып шыққан өнім сəйкес бірінші, екінші немесе үшінші сала бойынша
жасалған өнім болу ықтималдығын табыңыз.
13. Құрылғыны қарапайым жəне жоғарғы сапалы бөлшектерден құрайды. Жалпы алғанда құрылғының
46%-і жоғарғы сапалы бөлшектен құралған. Егер құрылғы жоғарғы сапалы бөлшектен құралса, оның
t
уақыт аралығында бұзылмай жұмыс істеу ықтималдығы 0.95, ал керісінше болса, бұл ықтималдық - 0.7-ге

---

Page 28

тең. Құрылғыға
t
уақыт аралығында сынақ жүргізілгенде ол бұзылған жоқ болса, онда сол құрылғының
сапалы бөлшектен құралған болу ықтималдығы неге тең?
14. Екі мерген бір-бірінен тəуелсіз түрде нысанаға оқ атқан. Нысанаға оқтың дəл тию ықтималдығы
бірінші мерген үшін- 0.8, ал екіншісі үшін- 0.4-ке тең. Нысанаға бір ғана оқ тигені белгілі болған. Тиген
оқтың бірінші мергеннің оғы болу ықтималдығы неге тең?
15. Белгілі бір нысанаға екі станциядан бақылау жүргізілген. Нысана
1
E
жəне
2
E
күйлерінде болады
жəне бірінен екіншісіне ауысып отырады. Ұзақ бақылаудың нəтижесінде нысананың уақыттың шамамен
30%-де
1
E
күйінде, ал 70%-де
2
E
күйінде болатыны анықталған. №1-ші станция барлық ақпараттың 2%-
де, ал №2-ші станция 8%-де қателеседі. Белгілі бір уақытта №1 станциядан "нысана
1
E
күйінде", ал №2
станциядан "нысана
2
E
күйінде" тұр деген ақпарат келді. Қай станцияның жауабы шындыққа жақын деуге
бoлады?
16. Құрылыс отрядындағы студенттердің 70%-і бірінші курс, ал 30%-і екінші курс студенттері. Бірінші
курстың ішінде 10%-і, ал екінші курстың ішінде 5%-і қыздар. Барлық қыздар кезек бойынша асханада
кезекші болады. Кездейсоқ алынған күні бірінші курс студентінің кезекші болу ықтималдығы неге тең?
17. Жəшікте 3 ақ, 2 қара шар бар. Бірінші ойыншы қайтарымсыз түрде 3 шар алады. Егер алынған
шардың ішінде қара шар көп болса, жəшікке қайтадан бір қара шар салады, ал кері жағдайда бір ақ шар
салады. Осыдан кейін екінші ойыншы жəшіктен бір шар алып, оның түсі бойынша бірінші ойыншы алған 3
шардың ішіндегі ақ шардың санын анықтаған. Егер екінші ойыншы ақ шар алғаны белгілі болса, бірінші
ойыншыда: а) 0 ақ; ə) 1 ақ; б) 2 ақ шар болды деген оқиғалардың шартты ықтималдықтарын табыңыз.
18. Dүкенге 3 түрлі фирмадан келіп түсетін бұйымдардың санының қатынасы 5:8:7 қатынасындай.
Əкелінген əрбір
бұйымның стандартты болуы бірінші фирма үшін 90%, екіншісі үшін- 85%, үшіншісі
үшін- 75%. Келесі оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз: а) сатылған бұйым стандартты емес; ə)
сатылған бұйым стандартты жəне ол үшінші фирмадан əкелінді.
19. Бірдей екі жəшік берілген. Бірінші жəшікте 5 ақ, 11 қара шар; екіншісінде- 10 ақ, 10 қара шар бар.
Кездейсоқ жəшіктен алынған кездейсоқ шардың бірінші жəшіктен алынған шар болу ықтималдығын
табыңыз.
20. Бірінші жəшікте 5 ақ, 10 қара шар; екіншісінде- 3 ақ, 7 қара шар бар. Екінші жəшіктен біріншісіне 1
шар салынған, одан соң бірінші жəшіктен кездейсоқ 1 шар алынған. Соңғы алынған шардың ақ шар болу
ықтималдығын табыңыз.
21. Бірінші жəшікте 2 ақ, 8 қара, ал екіншісінде- 4 ақ, 3 қара шар бар. Əрбір жəшіктен қайтарымсыз
түрде бір-бірден шар алынған. Қалған шарларды үшінші жəшікке салған. Үшінші жəшіктен алынған бір
шардың қара шар болу ықтималдығын табыңыз.
22. Dүкенге үш түрлі фирмадан келіп түскен телевизорлардың сандарының қатынасы 1:4:5
қатынасындай. Іс жүзінде көрсетілгендей кепілдік мерзімінде 1-ші, 2-ші жəне 3-ші фирмалардан келіп
түскен телевизорлардың сəйкесінше 98%, 88%, жəне 92%-і жөндеуді қажет етпейді.
а) Дүкенге келіп түскен телевизордың кепілдік мерзімінде жөндеуді қажет етпеу ықтималдығын
табыңыз;
ə) Кепілдік мерзімінде телевизор жөндеуді қажет етті.
Осы телевизор қай фирманың телевизоры болуы ықтималдырақ?
23. Жалға беру пунктінде бір ай бойы ақаусыз жұмыс істеу ықтималдығы 0,9-ға тең 10 телевизор жəне
сол сияқты ықтималдығы 0,95-ке тең 5 телевизор бар. Жалға беру пунктінен кездейсоқ алынған 2
телевизордың ай бойы ақаусыз жұмыс істеу ықтималдығын табыңыз.
24. Белгілі бір шарттарды сақтаған жағдайда
A
,
B
,
C
атты мергендердің нысанаға оқты дəл тигізу
ықтималдықтары сəйкесінше
,5,
0
,6,
0
2
1
=
=
p
p
.,
p
4
0
3
=
Мергендер бір-бір оқ атқаннан кейін нысанаға 2
оқтың тигені белгілі болды. Қайсы оқиға ықтималдырақ: С атты мергеннің нысанаға дəл тигізгені ме, əлде
тигізбегені ме?
25. Үш жəшіктің біріншісінде 2 ақ, 3 қара; екіншісінде 4 ақ, 3 қара; үшіншісінде 6 ақ, 2 қара шар бар.
Кездейсоқ жəшіктен бір шар алынған. Егер: а) алынған шар ақ; ə) алынған шар қара шар болса, онда сол
шардың бірінші жəшіктен алынған шар болу ықтималдығын табыңыз.
26. Түстері белгісіз n шары бар урнадан кездейсоқ алынған шар ақ шар болып шықты. Урнадағы
бастапқы ақ шарлардың саны туралы барлық болжамдар тең ықтималдықты деп есептеп, урнадан келесі
алынған шардың ақ шар болу ықтималдығын табыңыз.
27. Жалғасы. Алдыңғы есептің шартында бірінші шар урнаға кері қайтарылса, онда урнадан екінші
алынған шардың ақ шар болу ықтималдығы қалай өзгерер еді?
28. Айталық, нысанаға бір рет оқ атқанда оған тигізу ықтималдығы
p
, ал нысананың
k
оқ тигенде
талқандалу (істен шығу) ықтималдығы
k
q
−
1
(
)
p
q
−
=1
болсын. Егер нысанаға n рет оқ атылған болса,
онда нысананың талқандалу ықтималдығы неге тең?

---

Page 29

29. Айталық, қандай да бір тұқымның
!k
e
k
λ
λ
−
)0
,...,
2,
1,
0
(
>
=
λ
k
тең ықтималдықпен
k
дəні себілетін
болсын. Ал əр дəннен дақыл өніп шығу ықтималдығы
p
болсын. Дəндер бір-біріне тəуелсіз түрде өнеді деп
есептеп, дəл m дақыл өніп шығу ықтималдығын табыңыз.
30. 3 ақ, 2 қара шары бар жəшіктен кездейсоқ бір шар алынып, ол ішінде 2 ақ, 3 қара шары бар жəшікке
салынған. Сонан соң екінші жəшіктен бір шар алынған.
а) Осы соңғы шардың ақ шар болу ықтималдығын табыңыз;
ə) Егер бірінші жəшіктен екіншісіне екі шар салынған болса, іздеп отырған ықтималдық қалай өзгерер
еді?
31. Екі құтының əрқайсысында 3 ақ, 4 қара шар бар, ал қалған үш құтыда 4 ақ, 3 қара шардан бар.
Кездейсоқ алынған құтыдан алынған шардың қара шар болу ықтималдығын табыңыз.
32. Бірінші құтыда 2 ақ, 1 қара, ал екінші құтыда 3 ақ, 2 қара шар бар. Əр құтыдан бір-бір шар кездейсоқ
түрде алынған да, олар үшінші бос құтыға салынған. Сонан соң үшінші құтыдан кездейсоқ түрде екі шар
алынған. Осы соңғы екі шардың екеуі де қара шар болу ықтималдығы неге тең?
33. 2 ақ, 3 қара шары бар құтыдан кездейсоқ түрде екі шар алынып тасталынған да, сосын олардың біреуі
қайта салынған. Бұдан кейін:
а) құтыдан алынған бір шардың ақ шар болу;
ə) құтыдан екі шар алынған болса, онда екеуінің де ақ шар болу ықтималдығы неге тең?
34. Əр сынақтың нəтижесінде А оқиғасы
−
1
p
ге тең ықтималдықпен, ал екінші бір сынақтың
нəтижесінде
B
оқиғасы
−
2
p
ге тең ықтималдықпен пайда болады. Сынақтар тəуелсіз түрде n реттен
қайталанғанда А жəне
B
оқиғаларының бірдей рет пайда болу ықтималдығы неге тең? Соңғы
ықтималдықтың
2
1
2
1
=
= p
p
болған кездегі дəл мəнін табыңыз.
35. Байланыс желісі арқылы
CCCC
BBBB
AAAA
,
,
тізбектерінің біреуі сəйкес
3
2
1
,
,
p
p
p
тең
ықтималдықпен жіберіледі
(
)
1
3
2
1
=
+
+
p
p
p
. Қабылдағыш құрал шудың т.б. кедергілердің əсеріне
байланысты əр əріпті
α
-ға тең ықтималдықпен дұрыс қабылдайды да,
(
)
2/
1 α
−
жəне
(
)
2/
1 α
−
ықтималдықтарымен басқа əріптер ретінде бұрмалап қабылдайды. Əріптер бір-бірінен тəуелсіз түрде
бұрмаланады (қате қабылданады) деп есептеп,
AAAA
тізбегі берілген болса,
ABCA
тізбегі қабылдану
ықтималдығын табыңыз.
36.
A
мен
B
атты ойыншылар бірқатар партияны мынандай шарттар жағдайында ойнайды. Жеке
партияны жеңгені 1 (бір) ұпай алады. Əр партияны
A α
-ға тең ықтималдықпен,
B β
-ға тең
ықтималдықпен жеңеді жəне де
,
β
α
>
1
=
+
β
α
. Кім қарсыласынан 2 (екі) ұпайға озып шықса, ойынды сол
жеңген болып есептеледі.
а) Ойынды
A
-ның жеңу ықтималдығы
)
(A
P
неге тең?
B
-ның ше?
ə)
A
үшін не тиімді: бір партия ойнау ма, əлде бастан аяқ бүкіл ойынды ойнау ма?
37. Анықтама бюросына бір сағаттың ішінде
k
адамның
,...)
2,
1,
0
( =
k
сұраныс жасау ықтималдығы
,
!k
e
k
λ
λ
−
мұндағы
λ
қандай да бір оң сан. Əрбір адам үшін дұрыс жауап алмау ықтималдығы
p
. Бір
сағаттың ішінде s адамның дұрыс жауап алмау ықтималдығын табыңыз.
38.
N
шары бар ыдыстан
n
m +
шар алынған, оның m шары ақ шар болған. Бастапқыда (шарларды
алмай тұрып) ыдыста
M
ақ шар бар болғанының ықтималдығын табыңыз.
39. Бірінші жəне екінші урналарда сəйкес
1
n
ақ ,
1
m
қара жəне
2
n
ақ,
2
m
қара шар бар. Бірінші
урнадан кездейсоқ бір шар алынып, ол екінші урнаға салынған, сосын ұқыпты түрде шарларды
араластырғаннан кейін екінші урнадан кездейсоқ түрде бір шар алынған. Осы соңғы шардың ақ шар болу
ықтималдығы қандай?
40. Урналардың əрқайсысында n ақ, m қара шардан бар. Алдымен бірінші урнадан кездейсоқ бір шар
алынып, ол екінші урнаға салынады; сосын мұқият араластырылған екінші урнадан кездейсоқ алынған бір
шар үшінші урнаға салынады т.с.с. Ең соңында соңғы урнадан бір шар алынған. Осы соңғы шардың ақ шар
болу ықтималдығын табыңыз.

---

Page 30

41. Урнада бір шар бар, ол туралы оның бірдей ықтималдықпен не а , не ара түсті екені белгілі.
Урнаға бір ақ шар салынған, сосын урнадағы екі шардың біреуін кездейсоқ түрде алған. Егер соңғы шар ақ
шар болып шыққан болса, онда урнадағы алғашқы шардың ақ шар болу ықтималдығы неге тең?
5-МАШЫ ТАНУ САБАҒЫ
БЕРНУЛЛИ
СХЕМАСЫ.
БЕРНУЛЛИ
СХЕМАСЫНА
БАЙЛАНЫСТЫ
ШЕКТІК
ТЕОРЕМАЛАР.
Тəжірбиенің тек қана екі нəтижесі болатын тəуелсіз сынақтар тізбегі Бернулли схемасы немесе
Бернуллиді тəуелсіз сына тар тізбегі деп аталады. Бернулли схемасының екі нəтижесін “1” жəне “0”
арқылы белгілейміз де, сəйкес "табыс" жəне "сəтсіздік" деп атайтын боламыз; олардың əр сынақтағы
ықтималдықтарын сəйкес
p
жəне
p
q
−
=1
арқылы белгілейміз.
Полиномдық схеманың əртүрлі сынақтарына сəйкес оқиғалар өзара тəуелсіз болатынын дəлелдеу қиын
емес ([1], [5] қараңыз).
( )
n
n
µ
µ ω
=
арқылы Бернуллидің алғашқы n сынағындағы табыс санын белгілейік ((2.13)-те
0
=
k
i
не
1):
( )
(
)
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
+
+
+
=
=
K
K
2
1
2
1
,
,
,
µ
ω
µ
,
0
j
i =
не 1.
Онда
{
}
(
)
p
q
n
k
q
p
C
k
P
k
P
k
n
k
k
n
n
n
−
=
=
=
=
=
−
1
;
,
,1,
0
)
(
K
µ
.
(1)
Егер полиномдық схема үшін
i
ξ арқылы
i
-ші нəтиженің санын белгілесек, онда
{
}
=
=
=
=
N
N
k
k
k
P
ξ
ξ
ξ
;
;
;
2
2
1
1
K
N
k
N
k
k
N
p
p
p
k
k
k
n
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
K
K
2
1
2
1
2
1
!
!
!
!
,
(2 )
мұндағы
∑
=
≥
=
N
i
i
i
n
k
k
1
,0
.
Əр сынағы үшін 0,1,2,…,9 нəтижелері бірдей
10
1
тең ықтималдықпен пайда болатын жəне
10
N =
болатын полиномдық схеманың нəтижелерінің тізбегі кездейсо сандар деп аталады.
1-мысал. 10 бірмəнді кездейсоқ сандардың ішінде дəл 4 жұп сан жəне 3-ке еселі болатын 2 тақ сан болу
ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. Бірмəнді кездейсоқ сан
2
1
10
5
1
=
=
p
тең ықтималдықпен жұп сан жəне
5
1
10
2
2
=
=
p
ықтималдықпен 3-ке еселі тақ сан болады. Қалған нəтижелердің ықтималдығы
10
3
1
2
1
3
=
−
−
=
p
p
p
. Егер
1
ξ
– 10 кездейсоқ санның ішіндегі жұп сандар саны,
2
ξ
– 3-ке еселі тақ сандар саны,
3
ξ
– олардан өзгеше
басқа сандар саны болса, онда
3
1
2
10
ξ
ξ ξ
=
− −
жəне де (2) формулаға сəйкес (бізде
10
n N
= =
):
{
} {
}
=
=
=
=
=
=
=
4
,2
,4
2
,
4
3
2
1
2
1
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
P
P
K
063787
,0
10
3
5
1
2
1
!4
!2
!4
!
10
4
2
4
≈


















⋅
⋅
=
2-мысал. Банах есебі. Айталық,
a
жəне
b
қорап-тарында
n
тал шырпыдан бар болсын. Біреу
a
жəне
b
қораптарын əр жолы сəйкес
p
q
b
P
p
a
P
−
=
=
=
1
)
(
,
)
(
ықтималдықтарымен таңдап алатын болсын да,
алған қораптан бір шырпыны алып, пайдаланатын (мəселен, темекісін тұтататын) болсын. Таңдап алынған
қорап бос қорап болып шыққан кезде екінші қорапта
r
шырпы
(
)
r n
≤
қалу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Есепті теріс биномдық үлестірімді пайдаланып шығаралық. Қажетті ықтималдық “
a
немесе
b
қораптары-ның біреуін
−
+1
n
рет таңдап алған кезде екінші қорапта
r
шырпы қалуы үшін барлығы
1
2
1
n
n r
n r
+ + − =
− +
“сынақ” (таңдау) керектігінің” ( A оқиғасы) ықтималдығы болатынын байқау қиын
емес.
1
H
жəне
2
H арқылы соңғы алынған бос қорап сəйкес
a
жəне
b
дегенді білдіретін оқиғаларды
белгілелік. Онда

---

Page 31

1
2
A AH
AH
=
+
.
1
AH
оқиғасы
2n r
−
таңдау кезінде
a
қорабы
n
рет алынды жəне ол жалпы реті бойынша
2
1
n r
− +
- реткі
таңдау кезінде алынды дегенді білдіреді. Ендеше теріс биномдық үлестірімнің формуласы ((1)- формула)
бойынша
.
)
(
1
2
1
r
n
n
n
r
n
q
p
C
AH
P
−
+
−
=
Дəл осы сияқты
b
қорабы үшін
.
)
(
1
2
2
+
−
−
=
n
r
n
n
r
n
q
p
C
AH
P
Ықтималдықтарды қосу формуласын пайдаланып, іздеп отырған ықтималдық мынаған тең екенін көреміз:
(
)
1
1
2
( )
n
n
n r
n
n r
n r
P A C
p q
q p
+
−
+
−
−
=
+
.
Ескерту. Табылған ықтималдықтың қораптардың біреуі босаған (ең соңғы шырпысы алынған) сəтте
екінші қорапта
r
шырпы қалды деген оқиғаның ықтималдығынан бөлек (өзгеше) болатынын атай өтелік.
Жалпы бірінші алынған бос қораптың бірінші болып босаған қорап болуы міндетті еместігін де ескерте
кетелік. Оқушыға тапсырма ретінде жоғарыда аталған жағдайларда Банах есебін өз бетінше шешіп көруді
ұсынамыз (5.34-есепті қараңыз).
u
{
}
( )
n
n
P
k
P k
µ =
=
ықтималдықтарын ((1)-формуланы қараңыз)
k
-ның функциясы ретінде зерттеу мынаны
көрсетеді: егер
np q k
− >
болса, онда
)
(
)1
k
P
(k
P
n
n
>
+
; егер
q
np
k
−
=
болса,
)
(
)1
(
k
P
k
P
n
n
=
+
; егер
k np q
>
−
болса
)
(
)1
(
k
P
k
P
n
n
<
+
. Бұдан
)
(
max
)
(
0
*
k
P
k
P
n
n
k
n
≤
≤
=
шартынан анықтал-ған
*
k
үшін мына
қатынастарды аламыз:
[
]



−
−
+
−
=
болмаса.
сан
бϫтін
болса,
сан
бϫтін
егер
және
q
np
q
np
q
np
q
np
q
np
k
-
егер
,
,
*
(3
’
)
Жоғарыдағыдай анықталған
*
k
саны е ы тимал табыс саны деп аталады.
Көптеген, іс жүзінде маңызды жағдайларда
( )
n
P k ықтималдықтарын жеткілікті дəлдікпен жуықтап
есептей білу қажеттігі туады. Оның негізгі себептерінің бірі- биномдық үлестірім формуласы бойынша
ықтималдықтарды тікелей дəл есептеудің қиындығы (егер n аса үлкен сан болса, !n да аса үлкен сан,
сəйкес !k да аса үлкен сан болуы керек т.с.с.); оның үстіне көбіне бізге табыс санының дəл бір мəні емес,
оның белгілі бір аралықта жату ықтималдығын есептеу жеткілікті. Осы айтылған мəселелер тұрғысында
пайдала-нылатын аса маңызды бірнеше жуықтау формулаларын келтірелік.
Егер (11)- формулада параметр
n
p
p
n
n
λ
=
=
жəне n → ∞ кезде
0
>
→
λ
λ
n
(
)
∞
<
<
λ
0
болса, онда
Пуассон теоремасы ([5]-қараңыз) бойынша
{
}
).
(
!
1
lim
lim
λ
π
λ
λ
λ
µ
λ
k
k
k
n
n
n
n
k
n
n
n
n
k
e
n
n
C
k
P
=
⋅
=
=








−








=
=
−
−
∞
→
∞
→
(4)
(4)-формуланың оң жағын əдетте
{
}
)
(k
P
k
P
n
n
=
=
µ
ықтималдықтарының жуық мəні ретінде p аса аз
(
0
→
p
), ал n аса үлкен
)
(
∞
→
n
, бірақ
λ
λ
≈
= np
n
болған жағдайларда қолданады. Бұл жуықтаудың мына
дəлдігі белгілі ([1], V-тарау, §20):
.
,
!
)
1(
2
np
n
k
e
p
p
С
k
k
n
k
k
n
=
≤
−
−
−
−
λ
λ
λ
λ
k
n
k
k
n
n
p
p
С
k
P
−
−
=
)
1(
)
(
шамалары
!
)
(
k
e
k
k
λ
λ
π
λ
−
=
шамаларына
∞
→
n
кезде жинақталуының
жылдамдығы жөнінде Ю.В.Прохоров дəлелдеген мынандай нəтижені де келтіре кетелік ([2], І-тарау, §6):

---

Page 32

{ }
λ
λ
λ
π
,2
min
2
)
(
)
(
0
⋅
≤
∑
−
∞
=
n
k
P
k
k
n
.
3-мысал. Лотереяда орташа алғанда 1000 билеттің біреуіне ұтыс шығады. 100 билет сатып алған
адамның ең кемі екі билетіне ұтыс шығу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Бұл ықтималдықты тікелей есептесек, ол мынаған тең болған болар еді:
.
1000
999
1000
1
100
1000
999
1
)1(
)0
(
1
)
(
99
100
100
100
100
2
100






⋅
⋅
−






−
=
−
−
=
=
∑
=
P
P
k
P
p
k
x
Пуассон теоремасын пайдалансақ (бізде =
n 100,
001
,0
=
p
,
1,
0
=
= np
λ
):
9,
0
)0
(
1,
0
100
≈
=
≈
−
−
e
e
P
λ
,
09
,0
)1(
100
≈
≈
−λ
λ
e
P
. Ендеше
01
,0
09
,0
9,
0
1
=
−
−
≈
x
p
.
4-мысал. Есептеуіш құралдың бөлшекті тіркеу (аңғару) ықтималдығы 10
-4
тең. Есептеуіш құрал 0,99-
дан кем емес ықтималдықпен 3-тен кем емес бөлшекті тіркеу үшін есептеуіш құрал арқылы қанша бөлшек
өту керек?
Шешуі. Ізделініп отырған бөлшектер санын n деп, ал "есептеуіш үштен кем емес бөлшекті тіркеді"
деген оқиғаны A -деп белгілейік. Онда
)
(
1
)
(
A
P
A
P
−
=
, жəне де Пуассон теоремасы бойынша
)3
(
)2
(
)1(
)0
(
)
(
n
n
n
n
P
P
P
P
A
P
+
+
+
=
01
,0
)6
2
1(
3
2
≤
+
+
+
≈
−
λ
λ
λ
λ
e
,
себебі есеп шартынан
.
99
,0
)
(
≥
A
P
Пуассон үлестірімінің таблицасынан (кітап соңындағы 3-қосымшаны
қараңыз) соңғы теңсіздікті қанағаттандыратын
λ
–ны табамыз:
λ
=10,7. Бұдан
4
10
7,
10 ⋅
≥
=
p
n
λ
.
Полиномдық үлестірім үшін де Пуассон теоремасына ұқсас жуықтау теоремасы бар екенін еске сала
кетелік ([1]-[5] қараңыз).
Бернулли схемасындағы табыс ықтималдығы
p аса аз сан болмаған жағдайда (
1
0
<
< p
)
қолданылатын
)
(k
P
n
ықтималдық-тарын жуықтап есептеу формулалары Муавр-Лапластың төменгі екі
теоремасына негізделген:
Муавр-Лапласты жергіліктілік (локальды ) теоремасы. Егер
∞
→
n
,
−
p тұрақты,
1
0
<
< p
,
∞
<
≤
−
=
≤
<
∞
−
2
,
1
c
npq
np
k
x
c
n
k
, болса, онда барлық
2
,
1
c
x
c
n
k
≤
≤
үшін бірқалыпты түрде
{
}
,
1
1
)
(
1
)
(
,
















+
=
=
=
n
O
x
npq
k
P
k
P
n
k
n
n
ϕ
µ
(5)
мұндағы
2
2
2
1
)
(
x
e
x
−
=
π
ϕ
.
Муавр-Лапласты интегралды теоремасы. Егер
∞
→
n
,
−
p
тұрақты,
1
0
<
< p
, болса, онда барлық
нақты
β
α,
(
)
+∞
≤
≤
≤
−∞
β
α
үшін бірқалыпты түрде
∫
→










≤
−
<
−
β
α
π
β
µ
α
dx
e
npq
np
P
x
n
2
2
2
1
.
(6)
(5)-(6)-формулалардың оң жақтары n жеткілікті үлкен, ал
p
нөлге аса жақын болмайтын жағдайларда
жақсы жуықтаулар береді. Көбіне бұл жуықтауларды
20
>
npq
болған жағдайда пайдаланады. (2.22)-
формуладағы жуықтауды есептеу үшін
,
2
1
)
(
2
2
∫
=
∞
−
−
x
u
du
e
x
Ф
π
∫
=
−
x
u
du
e
x
Ф
0
2
0
2
2
1
)
(
π
( )
( )






Φ
+
=
Φ
x
x
0
2
1
функцияларының мəндерін пайдалануға болады:

---

Page 33











≤
−
<
β
µ
α
npq
np
P
n
).
(
)
(
)
(
)
(
0
0
α
β
α
β
Ф
Ф
Ф
Ф
−
=
−
≈
)
6(′
)
(
),
(
0
x
Ф
x
ϕ
функцияларының мəндерінің таблицалары (кестелері) есептер жинағының соңындағы 1,2-
қосымшаларда келтірілген.
Муавр-Лаплас теоремаларын пайдаланып табыс ықтималдығының белгілі бір аралықта жату
ықтималдығын былайша жуықтап есептеуге болады:
{
}








−
−








−
≈
≤
≤
npq
np
k
Ф
npq
np
k
Ф
k
k
P
n
1
2
2
1
µ








−
−








−
=
npq
np
k
Ф
npq
np
k
Ф
1
0
2
0
.
(7)
Сол сияқты табыстың салыстырмалы жиілігінің табыс ықтималдығынан ауытқуын былайша жуықтап табуға
болады:








⋅
−
−








⋅
=








⋅
≈






≤
−
pq
n
Ф
pq
n
Ф
pq
n
Ф
p
n
P
n
α
α
α
α
µ
0
2
.
(8)
p
n
,
,
,
β
α
параметрлерінің біреуін қалған үшеуі белгілі болған жағдайда мына теңсіздіктен анықтауға
болады:
β
α
µ
−
≥






≤
−
1
p
n
P
n
.
(9)
Соңғы нəтижені пайдаланып белгісіз табыс ықтималдығы
p
үшін сенімділік ы тималдығы
β
−
1
болатын
α
l
(кездейсоқ) сенімділік интервалын былайша табуға болады:
β
µ
α
µ
α
−
≥












+
+
−
∈
1
,
n
n
p
P
n
n
,






+
+
−
=
n
n
l
n
n
µ
α
µ
α
α
,
.
5-мысал. Қандай да бір заводта шығарылған өнімнің сапасыз болу ықтималдығы
p
=0,005. Осы
өнімнің кездейсоқ алынған 10000 талының ішінде:
а) дəл 40-ы сапасыз болу ықтималдығы;
ə) сапасыздарының саны 70-тен аспауының ықтималдығы неге тең?
Шешуі. а) Дəл есептеулер іздеп отырған ықтималдық мынаған тең болатынын көрсетеді:
.
)
005
,0(
)
995
,0(
)
40
(
40
9960
40
10000
10000
⋅
⋅
= C
P
Муавр-Лапластың жергіліктілік теоремасы бойынша:
,
10000
=
n
,
40
=
k
,
005
,0
=
p
05
,7
995
,0
005
,0
10000
≈
⋅
⋅
=
npq
,
42
,1
05
,7
005
,0
10000
40
,
−
≈
⋅
−
≈
n
k
x
,
)
42
,1
(
05
,7
1
)
40
(
10000
−
≈
ϕ
P
.
1-қосымшадағы таблицадан
,
1456
,0
)
42
,1
(
≈
−
ϕ
ендеше
=
≈
05
,7
1456
,0
)
40
(
10000
P
00206
,0
. Муавр-Лапластың
формуласын пайдаланбай тікелей есептеу
00197
,0
)
40
(
P
10000
≈
мəнін берген болар еді.
ə) Муавр-Лапластың интегралдық теоремасының салдары бойынша
{
}
9975
,0
)
09
,7
(
)
84
,2
(
)
09
,7
(
)
84
,2
(
70
0
0
0
0
≈
+
=
−
−
≈
≤
Ф
Ф
Ф
Ф
P
n
µ
.
Біз мұнда
70
,0
2
1
=
= k
k
болғандықтан
,
09
,7
1
−
=
−
npq
np
k
84
,2
2
=
−
npq
np
k
болатынын ескердік.

---

Page 34

6-мысал. Гербтің пайда болуының салыстырмалы жиілігінің
2
1
=
р
ықтималдығынан айырымының
модулі 0,01-ден артпауының ықтималдығы 0,99-дан кем болмау үшін тиынды қанша рет лақтыру қажет?
Шешуі. (2.24) қатынасына сəйкес n –ді
β
α
−
≥








1
2
0
pq
n
Ф
шартынан анықтауымыз керек.
99
,0
1
=
−
β
болғандықтан, 2-қосымшадағы таблицадан
58
,2
≥
⋅
=
pq
n
y α
болу қажеттігін табамыз.
2
1
,
01
,0
=
=
=
q
p
α
, ендеше
,
129
01
,0
2
1
2
1
58
,2
=
⋅
⋅
≥
n
немесе
16641
≥
n
.
7-мысал. 2000 абонентке қызмет көрсететін
A
телефон станциясы өз абоненттерін басқа
B
станциясымен қосуы керек. Түскен тапсырыстардың 99%-ін бос желімен қамтамасыз ету үшін
A
мен
B
аралығын қанша желі (олардың саны x болсын) қосу керек? Күннің аса тапсырыс көп уақытында əрбір
абонент
B
станциясындағымен 2 минут сөйлесетін болсын деп есептеңіз.
Шешуі. Бұл есеп Бернулли схемасына келетін есеп:
30
1
,
2000
=
=
p
n
(тапсырыс беру ықтималдығы).
n
µ
-тапсырыс саны болсын. Онда қажетті желілер саны x мына шарттан анықталады:
{
}
01
,0
<
≥ x
P
n
µ
,
немесе
{
}
01
,0
2
1
2
2
<
∫
≈










−
≥
−
=
≥
∞
+
−
−
dx
e
npq
np
x
npq
np
P
x
P
npq
np
x
x
n
n
π
µ
µ
.
Бұдан 2-қосымшадағы таблицаны пайдаланып
,
37
,2
≥
−
npq
np
x
яғни
4,
85
027
,8
327
,2
3
200
=
⋅
+
≥
x
болатынын
табамыз. Демек
=
x 86.
8- мысал. Егер оқиғаның тəуелсіз сынақтардың əрқайсысының нəтижесінде пайда болу ықтималдығы
8,
0
=
p
болса, онда оқиғаның ең ықтимал пайда болу саны
20
*
=
k
болу үшін қанша тəуелсіз сынақ
жүргізілуі керек?
Шешуі (
0
2.
2
′ ) – формуланы пайдаланалық. Есеп шартынан
2,
0
8,
0
−
=
−
n
q
np
жəне
2,
0
8,
0
+
=
+
n
q
np
сандары
20
*
=
k
- ға тең болатындай бүтін
n
саны табылмайтынын байқаймыз. Ендеше
n
мына шарттан
анықталады:
[
]
.2
,0
8,
0
20
−
=
n
Бұдан
24
=
n
не
25
=
n
.
9-мысал. Табысының ықтималдығы
−
p
ға тең Бернуллидің тəуелсіз сынақтар тізбегінде оқиғаның ең
болмағанда бір рет пайда болу ықтималдығы
−
a
дан кем болмау үшін ең кемі қанша сынақ жүргізу керек?
Шешуі. Қажетті
n
мына теңсіздіктен анықталады:
(
)
a
p
n
≥
−
− 1
1
. Демек,
(
)
(
)
p
a
n
−
−
≥
1
ln
1
ln
.
§3. Бернулли схемасы. Полиномдық схема
1. Сынақ бір мезгілде үш тиынды лақтырудан тұрады. Сынақты 20 рет қайталағанда ең болмағанда бір
сынақта үш “герб” түсуінің ықтималдығын табыңыз.
2. Екі ойыншы кезекпен тиын лақтырған. Қайсысында бірінші герб түссе, сол жеңеді. Келесі
оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз: а) ойын тиынды 4-ші рет лақтырғанда аяқталады; ə) бірінші
ойыншы жеңді; б) екінші ойыншы жеңді.
3.
A
оқиғасының бір сынақта пайда болу ықтималдығы 0,4 болса, онда тəуелсіз 4 сынақ жүргізілгенде
A
-ның 3-тен кем емес рет пайда болу ықтималдығы неге тең?
4.
A
оқиғасы 4-тен кем емес рет пайда болғанда B оқиғасы пайда болады. Егер
A
оқиғасының бір
сынақта пайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең болса, онда тəуелсіз 5 сынақ жүргізілгенде
B
оқиғасының
пайда болу ықтималдығы неге тең?

---

Page 35

5. Құрылғы бір-бірінен тəуелсіз жұмыс істейтін негізгі үш элементтен тұрады. Егер бір элемент бұзылса,
бүткіл құрылғы істен шығады. T уақыт аралығында əрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,1-ге тең.
Егер T уақыт аралығында:
а) тек қана негізгі элементтер жұмыс істеген болса, онда құрылғының істен шықпау ықтималдығын
табыңыз;
ə) тəуелсіз жұмыс істейтін қосымша элементтер қосылды делік. Ол элементтердің əрқайсысының істен
шығу ықтималдығы 0,1-ге тең болсын жəне құрылғы үштен кем емес қосымша элемент жұмыс істемесе ғана
істен шығатын болсын. Онда: 1) бір ғана қосымша элемент қосылған; 2) екі қосымша элемент қосылған
жағдайда құрылғының істен шығу ықтималдығын табыңыз.
6. Отбасында 6 бала бар. Егер ұл туылу ықтималдығы 0,5 болса, онда осы балалардың ішінде:
а) ұлдар екіден көп;
ə) ұлдар саны үштен кем емес жəне төрттен артық емес; б) дəл үшеуі ұл болу ықтималдықтарын
табыңыз.
7. Бір бағытта əртүрлі қашықтықтан 4 оқ атылған. Бұл оқтардың нысанаға дəл тию ықтималдықтары
мынандай:
;2
,0
;1,
0
2
1
=
=
p
p
;,
p
3
0
3
=
4
0
4
,
p =
. Онда нысанаға ешқандай оқ тимеді; бір, екі, үш, төрт оқ
дəл тиді дегенді білдіретін оқиғалардың сəйкес ықтималдықтарын табыңыз.
8. Бес станция бір-біріне хабар беріп тұрады. Табиғи құбылыстарға байланысты жəне станциялардың
бір-бірінен алыс орналасқандықтары себепті олардың арасындағы екеуара байланыс T уақыт аралығында
2
0,
p =
ықтималдықпен үзіледі. Dəл осы уақыт аралығында ең кемі үш станциямен байланыс болуының
ықтималдығын табыңыз.
9. Жұмысшы бір уақытта 12 станокты басқарады. T уақыт аралығында бір станоктың жұмысшының
назарын қажет ету ықтималдығы 1/3. Келесі оқиғалардың ықтимал-дықтарын табыңыз:
а) T уақыт аралығында 4 станок жұмысшының назарын қажет етеді;
ə) T уақыт аралығында жұмысшының назарын қажет ететін станоктар саны 3-тен кем емес жəне 6-дан
артық емес болады.
10. Ақпаратты беру кезінде бір белгінің басқа белгілерге тəуелсіз түрде өзгеріске ұшырау ықтималдығы
−
p ға тең. Он белгіден тұратын хабар берілгенде:
а) белгілердің ешқайсысы өзгеріске ұшырамады;
ə) тура үш белгі өзгеріске ұшырады;
б) үштен артық емес белгі өзгеріске ұшырады дегенді білдіретін оқиғалардың ықтималдықтарын
табыңыз.
11. Екі баскетболшы үш реттен сақинаға доп лақтырған. Əрбір баскетболшы үшін бір рет лақтырғанда
допты сақинаға дəл түсіру ықтималдығы сəйкесінше 0,6 жəне 0,7-ге тең.
а) Екеуінің сақинаға дəл түсірген доптарының саны бірдей;
ə) Екіншісіне қарағанда бірінші баскетболшының дəл түсірген добы көп деген оқиғалардың
ықтималдықтарын табыңыз.
12. Байланыс желісі
A
елді мекенін əрқайсысы сағатына орташа алғанда 6 минут телефонды
пайдаланатын 10 абоненті бар
B
елді мекенімен байланыстырады.
а) Байланыс жүйесі бос болмауының ықтималдығын табыңыз;
ə) Байланыс жүйесінде 4 арна болса, онда оның үздіксіз қызмет көрсету ықтималдығын табыңыз.
13. Шеберлігі бірдей қарсыластан:
а) 4 ойында 3 рет немесе 8 ойында 5 рет басым түсу;
ə) 4 ойында 3-тен кем емес рет немесе 8 ойында 5-тен кем емес рет басым түсу;
б)
n
2
ойында
−
n нен кем емес рет немесе
n
2
ойында
−
n нен артық
рет басым түсу
ықтималдықтарының қайсысы үлкен?
14. Джон Смитті проблемасы. 1693 жылы Джон Смит мынандай сұрақ қойған: үш ойыншы ойын
сүйегін лақтырып ойнаған. Бірінші ойыншы сүйекті 6 рет лақтырғанда ең болмағанда 1 рет алтылық,
екіншісі үшін сəйкесінше 12 рет лақтырғанда 2-ден кем емес рет алтылық, үшіншісі үшін сəйкесінше 18 рет
лақтырғанда 3-тен кем емес рет алтылық түсуі қажет болсын. Осы ойыншылардың қайсысының ұту
ықтималдығы (мүмкіндігі) жоғары?
15. Бұйымдарға техникалық тексеріс жүргізілген. Олардың əрқайсысы бір-бірінен тəуелсіз түрде p -ға
тең ықтималдықпен сапасыз болатыны белгілі болсын.
а) Тексерген 10 бұйымның тек қана біреуі сапасыз бұйым болу ықтималдығы неге тең?
ə) Ең алғаш рет 3-ші бұйым сапасыз бұйым болып шығу ықтималдығын табыңыз;
б) Егер алғашқы 5 бұйым сапалы болса, онда келесі 10 бұйым да сапалы болу ықтималдығы неге тең?
16. Сынақ үш ойын сүйегін лақтырудан тұрсын. Он сынақ жүргізілгенде дəл төрт сынақта екі
"алтылық" түсу ықтималдығы неге тең?
17. Хабар берілген кезде бір белгінің қате берілу ықтималдығы
01
,0
=
p
. Белгілер бір-бірінен тəуелсіз
түрде беріледі деп есептеп, 5 белгіден тұратын хабардың:
а) бірде-бір белгісі бүлінбеген болуының;
ə) дəл бір қате белгісі бар;

---

Page 36

б) ең болмағанда екі қате белгісі бар болуының ықтималдықтарын табыңыз.
18. А елді мекенін В елді мекенінің 10 абонентімен қосу қажет. Əрбір абонент желіні (арнаны) сағатына
орташа есеппен 12 минут пайдаланады. Кез келген екі абонентті шақыру тəуелсіз оқиғалар. Кез келген
уақыт сəтінде кез келген абонентке қызмет көрсету ықтималдығы 0,99-дан кем болмау үшін ең кемі қанша
арна керек?
19. а) "7" саны ең болмағанда бір рет: 1) 0,7; 2) 0,9-дан кем емес ықтималдықпен шығу үшін қанша
кездейсоқ сан алу керек?;
ə) Бір сынақ нəтижесінде оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,2. Сынақтар нəтижесінде оқиға ең
болмағанда үш рет пайда болу үшін сынақты ең кемі қанша рет қайталау керек? Сынақтар тəуелсіз деп
есептеңіз.
20. Қандай да бір лотереяда бір билетке ұтыс шығу ықтималдығы 0,2. Əртүрлі билеттерге ұтыс шығу
оқиғалары тəуелсіз деп есептеп, ең болмағанда бір билетке ұтыс шығу ықтималдығы:
а) 0,65-тен;
ə) 0,9-дан;
б) 0,99-дан кем болмау үшін алуға қажетті билет санын табыңыз.
21. Табысының ықтималдығы p -ға тең болатын n Бернулли сынағында
l
m + табыс болуының жəне
де l табыстың соңғы l сынақта пайда болуының ықтималдығын табыңыз. l -ші табыстың соңғы n -ші
сынақта пайда болу ықтималдығы неге тең?
22.
[ ]
10
,0
кесіндісіне 5 кездейсоқ нүкте қойылған болса, екі нүктенің
[ ]
2,
0
кесіндісіне, біреуінің
[ ]
5,
2
кесіндісіне, екеуінің
[ ]
10
,5
кесіндісіне қойылған болу ықтималдығын табыңыз.
23. Квадратқа іштей дөңгелек сызылған. Квадратқа кездейсоқ лақтырылған он нүктенің төртеуі
дөңгелекке, үшеуі- квадрат пен дөңгелек арасында пайда болған бөліктердің біреуіне, қалған үшеуі бір-
бірден қалған үш бөлікке түсу ықтималдығын табыңыз.
24. Екі тиын олардың ең болмағанда біреуінде "герб" түскенше лақтырыла береді. Тиындардың дəл n
рет лақтырылуының ықтималдығы неге тең?
25. Тиын
20
=
n
рет лақтырылған. Гербтің ең ықтимал пайда болу санын табыңыз. Егер
25
=
n
болса,
бұл сан қалай өзгереді?
26. Ойын сүйегі
16
=
n
рет лақтырылған. Үшке еселі болатын ұпайлардың түсуінің ең ықтимал санын
табыңыз. Егер
20
=
n
болса, бұл сан қалай өзгереді?
27. К ше озғалысы туралы есеп. Көшенің жаяу адам өтетін жерінен кез келген берілген секунд
ішінде машинаның жүріп өту ықтималдығы тұрақты жəне ол p -ға тең болсын. Машиналардың əртүрлі
уақыт аралығында жүрулерінің арасында байланыс жоқ екені белгілі деп есептелік жəне секундтарды
уақыттың бөлінбейтін бөлігі ретінде қарастыралық. Егер алдағы үш секундтың ішінде көшеден бірде-бір
машина өтпейтін болса, онда жаяу адам көшені кесіп өте алатын болсын. Берілген шарттар жағдайында
кездейсоқ адамның көшеден өтуді
=
k 0,1,2,3,4 секунд күтуінің ықтималдықтарын табыңыз.
28. Табыс ықтималдығы p болатын Бернулли схемасы үшін n табыс m сəтсіздіктен бұрын болу
ықтималдығын анықтаңыз.
29. Он екі ойын сүйегін лақтырған кезде əр ұпай (ойын сүйегінің əр жағы) дəл екі реттен түсу
ықтималдығын табыңыз.
30. Ұзындығы
1
=
l
-ге тең кесінді солдан оңға қарай ұзындықтары сəйкес
4
1
1
=
l
,
3
1
2
=
l
,
12
5
3
=
l
болатын үш кесіндіге бөлінген. Бастапқы кесіндіге кездейсоқ қойылған 10 нүктенің 3-уі бірінші, 5-уі екінші,
ал қалған 2-уі үшінші кесіндіге түсу ықтималдығы неге тең?
31. Екі адам (ойыншы)
1
A мен
2
A бір-бірінен тəуелсіз түрде əрқайсысы өз сынақтарын n реттен
жүргізген (мəселен,
1
A - n рет тиын, ал
2
A - n рет ойын сүйегін лақтырған). Əр сынақ нəтижесінде
i
A -дің
1 ұпай алу (ұту) ықтималдығы
)2
,1
( =
i
p
i
. (Мəселен, “герб” түссе
1
A
1 ұпай алады). Мына а), ə)
жағдайларында анықталған оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз да б), в) жағдайларындағы сұрақтарға
жауап беріңіз:
а) Ойын нəтижесінде екеуі бірдей ұпай жинады;
ə)
1
A
2
A -ге қарағанда көп ұпай жинады;
б)
p
p
p
=
=
2
1
үшін а), ə) жағдайларындағы жауаптар қалай ықшамдалады?
в)
2
1
2
1
=
= p
p
үшін б) жағдайындағы жауаптарды ықшамдаңыз.
32. Сынақ ойын сүйегін n рет лақтырудан тұрады. Мына оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:
=
A {ең болмағанда бір рет барлық ойын сүйектерінде “1” ұпай түсті};
=
B {дəл m рет барлық ойын
сүйектерінде “1” ұпайдан түсті}.
§4. Бернулли схемасы үшін шектік теоремалар

---

Page 37

1. Гербтің түсуінің салыстырмалы жиілігіні 2
1 -ден ауытқуының абсолют шамасы 0,01-ден аспауының
ықтимал-дығы 0,99-дан кем болмау үшін тиынды ең кемі қанша рет лақтыру керек?
2. Кездейсоқ сандар кестесінде əрбір цифр басқаларына тəуелсіз түрде
10
1
-ға тең ықтималдықпен
пайда болады. 0,999-дан кем емес ықтималдықпен олардың ішінде кем дегенде 100 рет "0" (нөл) пайда болу
үшін қанша кездейсоқ сан алу керек?
3. Кішігірім қалада күндіз бір сағаттың ішінде жедел жəрдемге бір тапсырыс түседі. Осы қалада үш
сағаттың ішінде жедел жəрдемге 10-нан артық тапсырыс түсу ықтималдығын табыңыз.
4. Бір топта 30 студент бар. Қаңтар айында ешқайсысының туған күні болмау ықтималдығын табыңыз.
5. Əрбір сынақ кезінде A оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,25-ке тең. 243 рет сынақ жүргізгенде
дəл 70 рет A оқиғасының пайда болу ықтималдығы неге тең?
6. Бір рет оқ атқанда мергеннің оқты нысанаға дəл тигізу ықтималдығы 0,8-ге тең. 100 рет атылған
оқтың дəл 75-і нысанаға тиюінің ықтималдығы қандай?
7. 100 рет тəуелсіз сынақ жүргізілген. Əрбір сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең.
Оқиға:
а) 75-тен кем емес жəне 90-нан артық емес рет;
ə) 75-тен кем емес рет;
б) 74-тен артық емес рет пайда болу ықтималдықтарын табыңыз.
8. Жаздық саяжайларды салумен айналысатын құрылыс фирмасы пошта жəшіктері арқылы
жарнамалық қағаздар таратқан. Бұрынғы іс-тəжірибе шамамен 2000 жарнамадан 1 тапсырыс түсетінін
көрсеткен. Онда 100 мың жарнама қағазын таратқанда:
а) тура 48;
ə) 45 пен 55-тің арасында тапсырыс түсуінің ықтимал-дықтарын табыңыз.
9. Заводта жасалған телефон аппараттарының орта есеппен 60%-і бірінші сортты болады. Егер:
а) бір партияда 10 аппарат болса, оның 6-уы бірінші сорт;
ə) бір партияда 200 аппарат болса, оның 120-сы бірінші сорт болуының ықтималдығы неге тең?
10. Студенттердің 50%-і ықтималдықтар теориясынан бақылау жұмысын берілген уақыт аралығында
табысты орындай алады. Онда 400 студенттің:
а) 180-і;
ə) 180-нен кем емесі жұмысын табысты орындауының ықтималдығын табыңыз.
11. Банктердің жарғылық қорын тексеру кезінде барлық
банктің бестен бір бөлігінде 100 млн. теңгеден жоғары жарғылық қор бар екені анықталды. Онда 1800
банктің:
а) 300-ден кем емесінде;
ə) 300-ден кем емес жəне 400-ден артық емесінде 100
млн. теңгеден артық жарғылық қор бар болу ықтималдығы неге тең?
12. Жолаушының пойызға кешігу ықтималдығы 0,01-ге тең. Онда 800 жолаушының ішіндегі ең
ықтимал кешігушілер санын жəне ең ықтимал кешігушілер санының ықтималдығын табыңыз.
13. Себуге арналған дəндердің сапасын тексеру кезінде орта есеппен 90%-і шығымды болатыны
белгілі болды. Өніп шыққан тұқымдар санының үлесі əрбір тұқымның өніп шығу ықтималдығынан
ауытқуының абсолют шамасы 0,03-тен артпауы үшін қанша тұқым себу қажет болады?
14. Бағалы қағаздарды сатумен айналысатын диллердің олардың əрқайсысын сату ықтималдығы 0,7-ге
тең. Бағалы қағаздардың сатылғандарының үлесі абсолют шамасы бойынша 0,7-ден 0,04-тен артық емес
шамаға ауытқуының ықтималдығы 0,996 болады деп тұжырымдай алу үшін диллерде қанша бағалы қағаз
болу керек?
15. а) Кітаптың бір бетінде 2400 таңба бар. Теру кезінде таңбадан қате кету ықтималдығы 800
1
-ге тең.
Онда бір бетте екіден кем емес қате кету ықтималдығын табыңыз;
ə) 500 беттен тұратын кітапта 50 қате бар. Кездейсоқ алынған бетте ең кемі үш қате болу
ықтималдығын табыңыз.
16. 2100 рет жүргізілген тəуелсіз сынақтың əрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,7-ге
тең.
а) 1470-тен кем емес жəне 1500-ден артық емес рет;
ə) 1470-тен кем емес рет;
б) 1469-дан артық емес рет оқиға пайда болуының ықтималдықтарын табыңыз.
17. Факультетте 730 студент бар. Əрбір студент үшін жылдың белгілі бір күнінің оның туған күні болу
ықтималдығы 1/365.
а) 1-қаңтарда туған студенттердің ең ықтимал санын табыңыз;
ə) 3 студенттің туған күндері белгілі бір күн болу ықтималдығын табыңыз.
18. Жүк сақтайтын сөреге қойылған барлық жүктің 80%?-і чемодандар. 50 орыннан тұратын сөредегі
жүктер түгелімен таратылған болса, онда жүктердің 38-і чемодан болу ықтималдығы неге тең?

---

Page 38

19. “Аралас” сортында төрт, "а", "ə", "б", "в" атты конфет түрлері бар. Балалар мейрамында тарату үшін
"Аралас" конфеті əрқайсысында 8 конфеттен болатын сый-қораптарға бөлініп салынған. 25 қораптың 9-
ында бір-бірден "а" сортты конфет болу ықтималдығы неге тең?
20. 1000 бұйымның ішінде 4-уі сапасыз.
а) Қайтарымсыз түрде алынған 50 бұйымның барлығының сапалы бұйым болу ықтималдығын
табыңыз.
ə) Ықтималдықтың бұл нақты мəнін Пуассон формуласымен есептелген жуық мəнімен салыстырыңыз.
21. Белгілі бір аймақта өсірілген əрбір 100 қарбыздың біреуінің салмағы 10 кг-нан артық болады. Осы
аймақта өскен 400 қарбыздың:
а) тура үшеуінің;
ə) екіден кем емесінің салмағы 10 кг-нан артық болу ықтималдығы неге тең?
22. Егер солақайлар барлық адамдардың орта есеппен 1%?-і болса, онда кездейсоқ алынған 200
адамның ішінде:
а) дəл 4 солақай;
ə) ең болмағанда 4 солақай болу ықтималдығын табыңыз.
23. n тəжірибенің əрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы p -ға тең. Келесі оқиғалардың
ықтималдық-тарын табыңыз:
а)
1500
=
n
болған кездегі оқиғаның пайда болу жиілігінің
4
0,
p =
-тен абсолют шамасы бойынша
ауытқуы 0,02-ден артпайды;
ə) Оқиғаның пайда болу саны мына аралықта болады: 1) 570 жəне 630; 2) 600 жəне 660; 3) 620 жəне
680; 4) 580 жəне 640;
б) Егер
1200
=
n
болғандағы оқиғаның жиілігінің p =2/3 ықтималдығынан абсолют шамасы бойынша
ауытқуының ықтималдығы 0,985 болса, онда оқиғаның жиілігі қандай шекаралық аралықта жатады?
24. Бірдей ақ жəне қара шарлары бар құтыдан бір-бірлеп қайтарымды түрде 10000 шар алғанда оның
5011-і ақ, 4989-ы қара шар болған.
а) Тəжірибенің осындай нəтижесі болуының ықтимал-дығы неге тең?
ə) Егер осы тəжірибені қайталаса, онда алынған ақ шарлар санының олардың (ақ шарлардың) ең
ықтимал алыну санынан ауытқуының абсолют шамасы алдыңғы тəжірибедегіден артық болу ықтималдығы
неге тең?
24. Бидай дəндерінің 0,6%-і бұзылған дəндер. Кездейсоқ алынған 1000 дəннің ішінде:
а) ең кемі 3 бұзылған дəн;
ə) 16-дан артық емес бұзылған дəн;
б) дəл 6 бұзылған дəн болу ықтималдықтарын табыңыз.
25. Алты ойын сүйегі лақтырылған. Мына оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз жəне оны Пуассон
формуласы арқылы табылған жуық мəндерімен салыстырыңыз:
а) Ең болмағанда бір рет "1" түсті;
ə) Дəл бір рет "1" түсті;
б) Дəл екі рет "1" түсті.
26. Əр оқ атқан кезде оқтың нысанаға дəл тию ықтималдығы 0,001. Нысананы бірден 5000 оқпен атқан
кезде ең болмағанда екі оқтың нысанаға дəл тию ықтималдығы неге тең?
27. Ұл баланың туу ықтималдығы шамамен 0,515-ке тең екендігі белгілі. Дүниеге келген 10000 сəбидің
ішіндегі ұлдардың саны қыздардың санынан аспауының ықтималдығы неге тең?