Нерешенные математические проблемы

НЕРЕШЕННЫЕ  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ.

Д. Хилбертом. 

________________________________ 

     Кто из нас не может быть рад снять  завесу, позади которой спрятано будущее; бросать взгляд на следующие авансы нашей науки и в тайнах ее развития в течение будущих столетий? Чем  могут там быть особые цели, который будут бороться ведущие математические умы приезжающих поколений? Какие новые методы и новые факты в широкой и богатой области математической мысли новые столетия раскроют?

     История преподает непрерывность развития науки. Мы знаем, что у каждого  возраста есть свои собственные проблемы, которые следующий или решает или отвергает как ничего не стоящий  и заменяет новыми. Если мы могли  бы получить идею вероятного развития математического знания в ближайшем  будущем, мы должны позволить нерешенным вопросам проходить в наших умах и рассматривать проблемы, которые  сегодня устанавливает наука об и чье решение мы ожидаем от будущего. К такому обзору современных проблем, поднятых на встрече столетий, я хочу обратить Ваше внимание. Для завершения большой эпохи o 19-ое столетие не только приглашает нас оглядываться назад в прошлое, но также и направляет наши мысли неизвестному будущему.

     Глубокое  значение определенных проблем для  прогресса математической науки, вообще и важной роли, которую они играют в работе отдельного исследователя, не состоит в том, чтобы отрицаться. Пока раздел науки предлагает изобилие проблем, так долго это живой; нехватка проблем предвещает исчезновение или прекращение независимого развития. Так же, как каждое человеческое обязательство ищет определенные объекты, таким образом, также математическое исследование требует своих проблем. Именно решением проблем исследователь  проверяет характер своей стали; он находит новые методы и новые  перспективы, и получает более широкий  и более свободный горизонт.

     Это часто трудно невозможное определить ценность проблемы правильно заранее; поскольку заключительная премия зависит  от выгоды, которую наука получает из проблемы. Однако, мы можем спросить, есть ли общие критерии, которые отмечают и маркируют хорошую математическую проблему. Старый французский математик сказал: "Математическую теорию не состоит в том, чтобы считаться законченной, пока Вы не сделали ее настолько ясной, что Вы можете объяснить это первому человеку, которого Вы встречаете на улице." Эта четкость и непринужденность понимания, здесь собирал моллюсков для математической теории, я должен все еще более потребовать для математической проблемы, если это это должно быть прекрасно; для какого ясно, и легко понятный привлекает, в то время как сложное отражает нас. Кроме того, математическая проблема должна быть трудной, чтобы обратиться к нам, все же не абсолютно недоступный, чтобы она не насмехается над нашими усилиями. Это должна быть нам почта гида на запутанных путях к скрытым истинам, и в конечном счете напоминание нашего удовольствия в успешном решении.

     Математики  прошлых столетий были приучены к  посвящению решению трудных особых проблем со страстным рвением. Они  знали ценность трудных проблем. Я напоминаю Вам только "проблемы самого быстрого спуска," предложенный J. Бернуллиевый, Fermat, s утверждение xn + yn = цинк (x, y, z целые числа), который неразрешим кроме в определенных самоочевидных случаях. Исчисление изменений должно свое происхождение этой проблеме Бернуллиевых и к подобным проблемам. Попытка доказать невозможность теоремы Фермэта предлагает поразительный пример вдохновляющего эффекта, который такая совершенно особая и очевидно незначительная проблема может иметь на науку. Я могу напомнить Вам также проблемы Трех Тел. Плодотворные методы и далеко идущие принципы, которые - Poincare, принесенные в астрономическую механику и которые сегодня признаны и применены в практической астрономии то, вследствие того, что он стремился рассматривать снова что трудная проблема и прибыть ближе в ее решение.

     Но  это часто происходит также, что  та же самая специальная проблема находит применение в самых разнообразных и несвязанных отделениях математических. Так, например, проблема самой короткой линии играет руководителя и исторически важную роль в фондах Геометрии, в теории кривых линий и поверхностей, в механике и в исчислении изменений. И F.Klein убедительно изображал, в его работе над икосаэдрами, значение, которое является атташе в проблеме постоянного клиента, многогранного в элементарной Геометрии, в теории группы, в теории уравнений и в том из линейных дифференциальных уравнений.

     После обращения к общей важности проблем  в математике, давайте возвратимся  к вопросу от того, какие источники  эта наука получает свои проблемы. Конечно, первые и самые старые проблемы в каждой области математики возникают  из опыта и предложены миром внешних  явлений. Даже правила вычисления с  натуральными числами были обнаружены этим способом на более низкой стадии человеческой цивилизации, так же, как  ребенок сегодня изучает применение этих законов эмпирическими методами. То же самое верно для первых нерешенных проблем старины, таких как дублирование куба, возведение в квадрат круга. Также самые старые проблемы в  теории решения числовых уравнений, в исчислении изменений, теории ряда Фурье и теории потенциала - чтобы  ничего сказать относительно дальнейшего  изобилия проблем, должным образом  принадлежащих механике, астрономии и физике.

     Но  в дальнейшем развитии специальной  области математики человеческий разум, поощренный успехом его решений, узнает о своей независимости. Это  развивается из себя одного, часто  без заметного влияния снаружи  посредством логической комбинации, обобщение, специализация, отделяясь  и собирая идеи изящными способами, новыми и плодотворными проблемами и умом появляются тогда как настоящий корреспондент и плодотворные проблемы, и ум появляется тогда как настоящий корреспондент и источник новых проблем. Таким образом возник проблема простых чисел и другие нерешенные проблемы теории чисел, теория Галуа уравнений, теория алгебраических инвариантов, теория функций automorphic и abelian; действительно почти все более хорошие проблемы современной арифметики и теории функции возникли таким образом.

     Тем временем, в то время как творческая сила чистой причины работает, внешний  мир снова играет роль, силы на нас  новые вопросы от фактического опыта, открывает новые подразделения  математики, и в то время как  мы стремимся завоевать эти новые  области знания для сферы чистой мысли, мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким  образом одновременно продвигаем наиболее успешно старые теории, благодаря этому когда-либо возвращающемуся взаимодействию между мыслью и опытом.

Остается обсуждать  кратко, какие общие требования могут  быть предложены и установлены для  решения математической проблемы. Я  хочу, прежде всего говорят это: то, что должно быть возможно установить правильность решения посредством конечного числа шагов, основанных на конечном числе гипотез, которые подразумеваются в заявлении проблемы и которые должны всегда точно формулироваться. Это требование о логическом вычитании посредством конечного числа процессов - просто требование суровости в рассуждении. Действительно, это требование суровости, которые становятся пословиц в математике, соответствует универсальной философской потребности нашего понимания; и, с другой стороны, только удовлетворяя это требование делают проблемы достигают своего полного эффекта.

     Помимо  этого ошибка полагать, что суровость  в доказательстве - враг простоты. Напротив, мы считаем доказанным многочисленными  примерами, которые строгий метод - в то же самое время более  простое и достойное в конечном счете и легче понять. Самое усилие для суровости помогает нам столкнуться с более простыми методами доказательства. Это также часто следует впереди к методам, которые более способны к развитию чем старые методы меньшего количества суровости. Таким образом теория алгебраических кривых испытала значительное упрощение и достигла большего единства посредством более строгих теоретических функцией методов и введения необыкновенных кривых.

К новым понятиям переписываются, обязательно, новые  знаки. Они, которые мы выбираем таким  способом, которым они напоминают нам о явлениях внешнего мира. Аналогично геометрические числа - знаки или  символы космической интуиции и  используются как таковые всеми  математиками. Кто не всегда использует наряду с двойным неравенством a> b> c картина или рисунок трех пунктов после друг друга на прямой линии как геометрическая идея "betweenness"? Кто не использует рисунки сегментов и прямоугольников, закрытых в друг друге, когда это обязано доказывать с прекрасной суровостью трудную теорему на непрерывности функций или существовании пунктов уплотнения? Кто может обойтись без числа треугольника, круга с его центром, или с крестом трех перпендикулярных топоров? Арифметические символы написаны диаграммы, и геометрические фигуры - графические формулы, и никакой математик не может обойтись без них или избежать их.

Некоторые замечания  по трудностям, которые математические проблемы могут предложить и средства преодоления и разрешения с ними, могут стоить обсуждать. Если мы не справляемся и не в состоянии  решить математическую проблему, причина  часто состоит в нашем отказе признать более общую точку зрения, с которой проблема при исследовании появляется только как единственная связь в цепи связанных проблем. После обнаружения этой точки  зрения проблема становится более доступной  для наших исследований и нас  possessi тогда метод, который применим также к связанным проблемам. Этот путь к открытию общих методов является, конечно, самым плодотворным и самым бесспорным; то, кто ищет методы, не имея определенную проблему, в виду ищет по большей части напрасно.

Имея дело с  математическими проблемами, играми специализации, по моему мнению, все  еще более важной частью чем обобщение. Возможно, в большинстве случаев, где мы ищем напрасно ответ на вопрос, причина отказа заключается в том проблемы, более простые и легче, чем тот в нисколько не был или или не полностью решен. Все зависит, тогда, на обнаружении этих более легких проблем, и на решении их посредством устройств, настолько прекрасных насколько возможно и понятий, способных к обобщению. Это правило - один из самых важных рычагов для того, чтобы преодолеть математические трудности, и я думаю, что это используется везде, где это возможно, хотя иногда подсознательно.

Иногда это  происходит, что мы ищем решение  в соответствии с недостаточными гипотезами или в неправильном смысле и по этой причине не преодолеваем трудность. Проблема тогда возникает: показать невозможность решения  при определенных условиях. Такие  доказательства невозможности были произведены древними породами, например когда они показали, что отношение гипотенузы стороне равнобедренного прямоугольного треугольника иррационально. В более поздней математике вопрос невозможности определенных решений играет большую роль, и мы понимаем таким образом, что старые и трудные проблемы, такие как доказательство аксиомы параллелей, возведение в квадрат круга, или решения уравнений пятой степени радикалами нашли полностью удовлетворительные и строгие решения, хотя в различном смысле чем это первоначально предназначенный. Вероятно, этот важный факт наряду с другими философскими причинами дает начало осуждению (который каждый математик разделяет, но который пока еще никто поддержанный доказательством или опровергнутый), что каждая определенная математическая проблема должна обязательно быть улажена, или в форме прямого ответа на вопрос, изложенный, или доказательством невозможности его решения и необходимого отказа всех попыток.

Эта аксиома имеет  разрешимость каждой проблемы специфическая  особенность одной только математической мысли, или это - возможно общий закон, врожденный от природы ума, что все  вопросы, которые это задает, должны быть соответствующими? Поскольку в  других науках там существуют также  старые проблемы, которые были решены в манере, самой удовлетворительной и самой полезной для науки  доказательством их невозможности. Например, проблема вечного движения. Усилия построить вечного двигателя  не были бесполезны, поскольку исследования привели открытие закона сохранения энергии, которая, в свою очередь  объяснил невозможность вечного  движения в смысле, первоначально  предназначенном.

Это осуждение  разрешимости каждой математической проблемы - сильный стимул и стимул исследователю. Мы слышим в пределах нас бесконечное  требование: есть проблема. Ищите его  решение. Вы можете найти это для в математике нет никакого бесполезного поиска, бросает вызов решению. Число проблем в математике неистощимо и как только одна проблема - решенные другие, прибывшие дальше в ее место. Разрешите мне в следующем останавливаться на особых и определенных проблемах, оттянутых из различного отдела математики, обсуждение которой и возможное решение могут привести к продвижению и продвижению науки.