Если  все возможные значения случайной  величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенство

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

      Плотностью  распределения может служить  любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

1. р(х) ³ 0;

Можно задавать случайную величину, задавая функцию  р(х), удовлетворяющую этим условиям.

      В качестве примера рассмотрим случайную  величину x, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

По свойству 2) функции р(х)

Отсюда  . График функции р(х) представлен на рисунке 2.

      Во  многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

      Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

       ,

называется  интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины x. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.

      Функция распределения F(x) случайной величины x имеет следующие свойства.

1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.
2. ;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения  функции F(x).

3. Приращение F(x) на промежутке (х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина x принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁ < x £ x₂)

Доказательство.

      F(x₂) = P(x £ x₂) = P(x £ x₁) + P(x₁ < x £ x₂) = F(x₁) + P(x₁ < x £ x₂)

Отсюда 

      P(x₁ < x £ x₂) = F(x₂) – F(x₁)

      Заметим, что для непрерывной случайной величины x справедливы равенства

      P(x₁ < x £ x₂) = P(x₁ < x < x₂) = P(x₁ £ x < x₂) = P(x₁ £ x £ x₂)

      Для равномерного распределения функция  F(x) имеет вид:

Рис. 3

График  функции F(x) представлен на рисунке 3.

      Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      Случайная величина, значения которой заполняют  некоторый промежуток, называется непрерывной.

      В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

      Вообще  непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

      При описании непрерывной случайной  величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемых источников: 

1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности .[Текст]:учеб.пособие/  Б.В. Гнеденко. – Москва: Изд-во Едиториал — М, 2005. — 448 с.
2. Прохоров Ю. В. Математический энциклопедический словарь      [Текст]: учеб.пособие/Ю.В. Прохоров. – Москва: Изд-во Инфра – М, 2006. – 847с.
4. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем [Текст]:учеб.пособие/В.И. Тихонов, В.Н. Харисов. – Москва: Изд-во Инфра – М, 2005. –608с.
5. Чернова Н. И., Теория вероятностей [Текст]:учеб.пособие/Н.И. Чернова. – Новосибирск: Изд-во Новосибирский государственный университет – Н, 2007. –160с.

6. Для   подготовки   данной    работы   были использованы    материалы    с

        сайта: http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/Vtheory/c22.html

    7. Кремер Н.Ш., Теория   вероятности    и      математическая    статистика

         [Текст]:  учеб.пособие/Н.Ш. Кремер. – Москва: Изд-во ЮНИТА-ДАНА

        – М, 2004. – 573с.