Непрерывность функции

Непрерывность функции.

 
 
В пунтке понятия о непрерывности функции вы познакомились с понятием непрерывности функции в точке. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции f). При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало; график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». (Так, во всяком случае, обстоит дело для непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе.)  
 
Как было показано в пункте правила вычисления производных, функция, дифференцируемая в точке x₀, непрерывна в этой точке. Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции и непрерывны в каждой из этих точек.  
 
Например, из дифференцируемости функции f (х) = x² на всей прямой, а функции f(x) = 1/x на промежутках (—∞;0) и (0;+∞) вытекает непрерывность этих функций на соответствующих промежутках.  
 
Отметим следующее свойство непрерывных функций:  
 
Если на интервале (а; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.  
 
Это утверждение имеет наглядную интерпретацию. Допустим, что найдутся такие точки х₁ и x₂ интервала (а; b), что f{x₁) <0, a f{x₂)>0.

 
 
Тогда непрерывная кривая (график функции  f), соединяющая точки A(x₁; f(x₁)) и В (х₂; f(х₂ )), разделенные прямой у = 0, пересекает эту прямую в некоторой точке x₃ данного интервала (см. рис.), т. е. f (х₃)=0. (Представим себе, что точки А и В находятся на разных берегах реки, изображаемой интервалом (а; b). Ясно, что туристу, для того чтобы попасть из А в В, надо где-то перейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращается на интервале (а; b) в нуль.