Множини. Операції над множинами

      Множини.  Операції над множинами  

                                                                          ЗМІСТ

 Способи завдання безлічі

 Включення і рівність множин

 Діаграми Ейлера-Венна

 Операції над множинами

 а) Об'єднання множин

 б) Перетин множин

 в) Різниця множин

 Доповнення множини  

          Поняття безлічі належить до числа основних, невизначених понять математики. Воно не зводиться до інших, більш простим поняттям. Тому його не можна визначити, а можна лише пояснити, вказуючи синоніми слова «безліч» і приводячи приклади множин: безліч - набір, сукупність, збори будь-яких об'єктів (елементів), що мають спільний для всіх їх характеристичними властивістю.

 Приклади множин:

1) безліч студентів у цій аудиторії;

2) безліч людей, що живуть на нашій планеті в даний момент часу;

3) безліч точок даної геометричної фігури;

4) безліч парних чисел;

5) безліч коренів рівняння х 2-5х +6 = 0;

6) безліч дійсних коренів рівняння х 2 +9 = 0;

 Основоположник  теорії множин німецький математик Георг Кантор (1845-1918) писав: «Безліч є багато що, мислиме нами як єдине». І хоча цей вислів вченого не є в повному сенсі логічним визначенням поняття множини, але воно вірно пояснює, що коли говорять про безліч, то мають на увазі деякий збори об'єктів, причому саме це зібрання розглядається як єдине ціле, як один (новий) об'єкт.

 Об'єкти, що складають дане безліч, називають його елементами.

 Безліч зазвичай позначають великими латинськими літерами, а елементи множини - малими латинськими літерами. Якщо елемент, а належить множині А, то пишуть: а А, а якщо а не належить А, то пишуть: а А.

 Наприклад, нехай N-безліч натуральних чисел. Тоді 5  N, але N,  N. Якщо А - множина коренів рівняння х 2-5х +6 = 0, то 3  А, а 4  А.

 У математиці часто досліджуються так звані числові безлічі, тобто  множини, елементами яких є числа. Для самих основних числових множин утвердилися такі позначення:

N-безліч всіх натуральних чисел;

Z-множина всіх цілих чисел;

Q-множина всіх раціональних чисел;

R-множина всіх дійсних чисел.                                                                                                                          Прийнято також позначення Z +, Q +, R + відповідно для множин всіх невід'ємних цілих, раціональних і дійсних чисел, і Z Ї, Q Ї, R Ї-для множин всіх негативних цілих, раціональних і дійсних чисел.

Способи завдання безлічі

 Безліч А вважається заданим, якщо стосовно будь-якого об'єкта а можна встановити, належить цей об'єкт безлічі А чи не належить; іншими словами, якщо можна визначити, чи є а елементом множини А чи не є. Існують два основних способи завдання множини:

1) перелік елементів множини;

2) вказівку характеристичного властивості елементів множини, тобто такої властивості, яке мають усі елементи даної множини і тільки вони.

         Першим способом особливо часто задаються скінченні множини. Наприклад, безліч студентів навчальної групи задається їхнім списком. Безліч, що складається з елементів a, b, c, ..., d, позначають за допомогою фігурних дужок: А = {a; b; c; ...; d}. Безліч коренів рівняння х 2-5х +6 = 0 складається з двох чисел 2 і 3: А = {2; 3}. Безліч У цілих рішень нерівності -2 <х <3 складається з чисел -1, 0, 1, 2, тому В = {-1, 0, 1, 2}.

 Другий спосіб завдання множини є більш універсальним. Безліч елементів х, що володіють даними характеристичним властивістю Р (х), також записують за допомогою фігурних дужок: Х = {х | Р (х)}, і читають: безліч Х складається з елементів х, таких, що виконується властивість Р (х) . Наприклад, А = {х | х 2-5х +6 = 0}. Розв'язавши рівняння х 2-5х +6 = 0, ми можемо записати безліч А першим способом: А = {2; 3}.

 Інший приклад: Х = {х | -1 ≤ х <4, х Z}, тобто Х є безліч цілих чисел х, таких, що -1 ≤ х <4, значить, по-іншому: Х = {-1, 0, 1, 2, 3}.

 Розглянемо і такий приклад: F = {f | │ fґ (x) │ ≤ 1, 1 <x <2}, тобто F-безліч функцій f, похідна яких в інтервалі (1, 2) не перевершує за абсолютною величиною числа 1.

 Може трапитися, що характеристичним властивістю, що визначає множину А, не володіє жоден об'єкт. Тоді кажуть, що безліч А - пусте (не містить жодного елементу) і пишуть: А = Ш.

 Наприклад, А = {х | ХІ +9 = 0, х R}-безліч дійсних чисел х, таких, що ХІ +9 = 0 - порожня множина, тому що таких дійсних чисел немає.

Включення і рівність множин

      Нехай Х та У - дві множини. Якщо кожен елемент х множини Х є елементом множини У, то говорять, що безліч Х міститься у безлічі У і пишуть: Х У або У Х. Кажуть також, що Х включено в У або У включає Х, або що Х є підмножиною множини У. Знаки включення  або  відносяться  тільки до множинам і їх не слід змішувати зі знаками приналежності Î і . Якщо, наприклад, А - множина всіх студентів вузу, а В - множина студентів-першокурсників цього вузу, то В є підмножина А, тобто У А. Порожня множина вважають підмножиною будь-якої безлічі Х, тобто Ш Х, яким би не було безліч Х. Ясно також, що кожне безліч є підмножиною самого себе: Х Х.

 Якщо для двох множин Х і У одночасно мають місце два включення Х У і У  Х, тобто Х є підмножина безлічі У і У є підмножина множини Х, то множини Х і У складаються з одних і тих же елементів. Такі множини Х і У називають рівними і пишуть: Х = У. Наприклад, якщо А = {2; 3}, а В = {х | хі-5х +6 = 0}, то А = В.

       Якщо Х У, але Х ≠ У, тобто існує хоча б один елемент безлічі У, не належить Х, то говорять, що Х є власне підмножина безлічі У, і пишуть: Х У. Наприклад: N  Z, Z  Q, Q  R. Далі нам потрібно безліч, яке містить в якості свого підмножини будь-яке інше безліч. Таке «всеосяжне» безліч будемо називати універсальним і позначати буквою U.

Діаграми Ейлера-Венна

     Для наочного зображення багатьох використовують діаграми Ейлера-Венна. У цьому випадку безлічі позначають областями на площині і всередині цих областей умовно розташовують елементи множини. Часто всі множини на діаграмі розміщують усередині прямокутника, який представляє собою універсальний безліч U. Якщо елемент належить більш ніж одному безлічі, то області, що відповідають таким множинам, повинні перекриватися, щоб загальний елемент міг одночасно перебувати у відповідних областях.  Вибір форми областей, що зображують множини на діаграмах, може бути довільним (кола, нутрощі еліпсів, багатокутники і т.п.). Покажемо, наприклад, за допомогою діаграми Ейлера-Венна, що безліч А є підмножиною множини В:

      За допомогою такої діаграми ставати наочним, наприклад, таке твердження:

 якщо А  В, а В С, то А С.

       Суворе доказ цього твердження, не спирається на діаграму, можна провести так: нехай х  А; так як А В, то x  В, а оскільки В С, то з х В слід, що х С; значить, з того, що х А, слід х С, а тому А С.

Операції над множинами

    За допомогою декількох множин можна будувати нові множини або, як кажуть, робити операції над множинами. Ми розглянемо такі операції над множинами: об'єднання, перетин, різниця множин, доповнення множини. Всі розглянуті операції над множинами ми будемо ілюструвати на діаграмах Ейлера-Венна.

       Об'єднання множин

 Об'єднанням А  У множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин А чи В.

 Символічна запис цього визначення: А В = {х | х  А чи х У}.

     Тут союз «або» розуміється в сенсі «неразделітельного або», тобто не виключається, що х може належати і А і В. Відзначимо, що в такому випадку елемент х, що входить в обидва множини А і В, входить до їх об'єднання тільки один раз (оскільки для множини не має сенсу говорити про те, що елемент входить в нього кілька разів).

 Пояснимо визначення об'єднання множин за допомогою діаграми Ейлера-Венна:

        На діаграмі об'єднання множин А і В виділено штрихуванням.

 Якщо безліч А визначається характеристичним властивістю Р (х), а безліч В - характеристичним властивістю Q (х), то А В складається з усіх елементів, які мають, принаймні, одним з цих властивостей.

 Приклади об'єднань двох множин:

1) Нехай А = {2; 5; 7}, В = {3, 5, 6}. Тоді А  В = {2, 3, 5, 6, 7}.

2) Нехай А = [-1 / 4, 2], В = [-2 / 3; 7 / 4]. Тоді А  В = [-2 / 3; 2].

3) Нехай А = {х | х = 8k, k  Z}, B = {x | x = 8n-4, n  Z}. Тоді A  B = {x | 4m, m  Z}.

      Операція об'єднання множин може проводитися не тільки над двома множинами. Визначення об'єднання множин можна поширити на випадок будь-якої кількості множин і навіть - на систему множин. Система множин визначається так: якщо кожному елементу α безлічі М відповідає безліч А α, то сукупність всіх таких множин ми будемо називати системою множин.

 Об'єднанням системи множин {А α} називається безліч  , Що складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин А α. При цьому загальні елементи декількох множин не розрізняються.

       Таким чином, елемент х тоді і тільки тоді, коли знайдеться такий індекс α 0  М, що х A α0.

 У випадку, коли М звичайно і складається з чисел 1, 2, ..., n, застосовується запис  Якщо M = N, то маємо об'єднання послідовності множин  .

 Розглянемо ще один приклад: нехай М = (1, 2) і для кожного α є М визначимо множину А α = [0; α]; тоді  = [0, 2).

       З визначення операції об'єднання безпосередньо випливає, що вона коммутативна, тобто А 1  A 2 = A 2  А 1, і асоціативна, тобто (А 1  A 2)  А 3 = А 1  (A 2  А 3).

Перетин множин

      Перетином А ∩ В множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів, що належать одночасно кожному з множин А і В.

Символічна запис цього визначення: А ∩ В = {х | х  А і х У}.

 Пояснимо визначення перетину множин за допомогою діаграми Ейлера-Венна:

А ∩ В 

 На діаграмі перетин множин А і В виділено штрихуванням.

       Якщо безліч А задається характеристичним властивістю Р (х), a безліч По-властивістю Q (х), то в А ∩ В входять елементи, одночасно володіють і властивістю Р (х), і властивістю Q (х).

 Приклади перетинань двох множин:

1) Нехай А = {2; 5; 7; 8}, В = {3, 5, 6, 7}. Тоді А ∩ В = {5; 7}.

2) Нехай А = [-1 / 4; 7 / 4], В = [-2 / 3; 3 / 2]. Тоді А ∩ В = [-1 / 4; 3 / 2].

3) Нехай А = {х | х = 2k, k є Z}, B = {x | x = 3n, n є Z}. Тоді А ∩ В = {x | x = 6m, m  Z}.

4) Нехай А-безліч всіх прямокутників, В-множина всіх ромбів. Тоді А ∩ В-безліч фігур, які одночасно є і прямокутниками, і ромбами, тобто  множина всіх квадратів.

 Операцію перетинання можна визначити і для довільної системи множин {А α}, де α М. Перетином системи множин {А α}, називається безліч  , Що складається з усіх елементів, що належать одночасно кожному з множин А α, α М, тобто  = {X | x  А α для кожного α М}.

      У випадку, коли М звичайно і складається з чисел 1, 2, ..., n, застосовується запис  . Якщо M = N, то маємо перетин послідовності множин  .

 У розглянутому вище прикладі системи множин А α = [0; α], α М = (1, 2) отримаємо:  = [0; 1].

      Операція перетину множин, як і операція об'єднання, очевидно, коммутативна і асоціативна, тобто А 1 ∩ A 2 = A 2 ∩ А 1 і (А 1 ∩ A 2) ∩ А 3 = А 1 ∩ (A 2 ∩ А 3).

Різниця множин

 Різницею А \ У множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать безлічі В, тобто

 А \ В = {х  | х  А і х У},

 що можна пояснити на діаграмі Ейлера-Венна наступним чином:

     На діаграмі різниця А \ В виділена штрихуванням.

 Приклади різниць множин:

1. Нехай А = {1, 2, 5, 7}, В = {1, 3, 5, 6}. Тоді А \ В = {2; 7}, а В \ А = {3, 6}.

2. Нехай А = [-1 / 4, 2], В = [-2 / 3; 7 / 4]. Тоді А \ В = (7 / 4, 2], а В \ А = [-2 / 3; -1 / 4).

3. Нехай А - множина всіх парних цілих чисел, В - множина всіх цілих чисел, що діляться на 3. тоді А \ В - множина всіх парних цілих чисел, які не діляться на 3, а В \ А-множина всіх непарних цілих чисел, кратних трьом.

Доповнення множини

      Нехай безліч А і В такі, що А В. Тоді доповненням множини А до множини В називається різниця В \ А. У цьому випадку застосовується позначення С B А = В \ А. Якщо в якості безлічі У береться універсальне безліч U, то застосовується позначення СА = С U А = U \ А і таке безліч просто називають доповненням множини А. Таким чином, символічна запис визначення доповнення безлічі буде наступною:  СА = {x | x  A}.

 На діаграмах Ейлера-Венна можна так пояснити визначення С В А і СА: