Метод линеаризации

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ….………………………………………………………………...	3
1 СУТЬ ЛИНЕАРИЗАЦИИ…………………………………………………...	4
2 МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО  БАЛАНСА…..……………………………	5
3 ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………..…………………………………….	7
4 МЕТОД АППРОКСИМИРУЮЩЕГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ.………	8
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………..……………	9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ВВЕДЕНИЕ

 

Простейшим методом изучения нелинейных систем является линеаризация. Суть ее состоит в том, что нелинейная система заменяется эквивалентной  линейной. Очевидно, линеаризованная  модель не может полностью заменить нелинейную систему, но в некоторых  отношениях поведение линеаризованной  модели может быть почти идентичным поведению нелинейной системы. Таким  образом, имеется возможность применить  некоторые хорошо разработанные  методы анализа линейных систем для  изучения линеаризованных моделей.

 

 

1 СУТЬ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

 

Уже в древности встречались  задачи, условия которых звучали так: «Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой ». Дело в том, что ученым (в частности вычислителям) надо было в случае довольно «громоздкой» зависимости между переменными заменить в окрестности некоторой точки эту зависимость более простой. А самой простой является линейная зависимость. Поэтому вместо сформулированной выше задачи выдвинулись требования: «Заменить данную функцию линейной функцией в окрестности точки ». Эта идея занимала Тейлора. В случае, если эта замена давала вычислителям большие погрешности, ставилась задача замены данной функции в окрестности точки  квадратичной функцией, многочленом третьей степени, четвертой и т.д.- до тех пор, пока не получалась нужная точность вычислений. Эта идея имеет простой геометрический смысл: при замене данной функции линейной в окрестности точки рассматривается касательная , при замене квадратичной - соприкасающаяся парабола, при замене многочленом третьей степени - соприкасающаяся кубическая парабола и т.д.

Замена данной функции  линейной получила название линеаризации. Поскольку не было явно сформулировано понятие предела (это уже IX век), то на основе интуиции бесконечно малые «более высоких порядков» просто отбрасывались.

Простейший пример линеаризации функции

Замените данную функцию  линейной вблизи нуля:

Решение:

Если  , то так же стремятся к нулю, поэтому ими можно пренебречь, то есть отбросить. В результате получаем .

 

2 МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

 

Метод гармонической линеаризации (по другой терминологии – гармонического баланса) относится к приближенным аналитическим методам исследования нелинейных систем. Этот метод имеет давнюю историю. Он восходит к работам Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова (1934), Л.С.Гольдфарба (1957), Р.Коченбургера (1950), Е.П.Попова (1960). Метод широко используется в инженерной практике, применяется в теоретических исследованиях и продолжает развиваться.

Приближенный метод исследования нелинейных колебательных систем, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Суть метода состоит в замене в колебательных системах нелинейных сил специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного анализа нелинейных систем.

Следует особо подчеркнуть, что линеаризация допустима, если функция, выражающая нелинейную зависимость, дифференцируема по меньшей мере один раз и (или) касательная к характеристической кривой достаточно хорошо аппроксимирует кривую вблизи рабочей точки.

Линейные функции строятся с помощью специального приема, называемого гармонической линеаризацией. Пусть задана нелинейная функция (сила)

где ԑ - малый параметр. Гармонической линеаризацией называется замена линейной функцией где параметры вычисляются по формулам:

Если  то нелинейная сила является периодической функцией времени, и ее разложение в ряд Фурье содержит, бесконечное число гармоник с частотами т. е. оно имеет вид:

Слагаемое называется основной и гармоникой разложения (1). Амплитуда и фаза линейной функции совпадают с аналогичными характеристиками основной гармоники нелинейной силы. Применительно к дифференциальному уравнению

типичному для теории квазилинейных колебаний, метод заключается в замене  линейной функцией . Тогда вместо уравнения (2) рассматривается уравнение:

Где Принято называть  эквивалентной линейной силой,  - эквивалентным коэффициентом затухания, - эквивалентным коэффициентом упругости. Доказано, что если нелинейное уравнение   (2) имеет решение вида

  то разность между решениями уравнений (2) и (3) имеет порядок . В методе гармонического баланса частота колебаний зависит от амплитуды а (посредством величин ).

 

3 МЕТОД АППРОКСИМИРУЮЩЕГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ

 

Метод аппроксимирующего  программирования (МАП) основан на линеаризации исходной задачи НП и  замене ее последовательностью промежуточных задач ЛП. Его называют также градиентным методом с малой длиной шага в отличие от обычных градиентных методов

Итак, пусть задача НП задана в виде:

минимизировать                                  

при условиях:

                                 

                          

После линеаризации в окрестности  точки  задача формулируется следующим образом:

минимизировать        при условии, что имеют место ограничения в виде равенств           

и неравенств  ,где                        . 

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Метод гармонического баланса применяется для отыскания периодических и квазипериодических колебаний, периодических и квазипериодических режимов в теории автоматического регулирования, стационарных режимов и для исследования их устойчивости. Особенно большое распространение он получил в теории автоматического регулирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Методы линеаризации, URL: «http://www.theweman.info/topics/t8.html» (дата обращения 5.12.2011)
2. Зайченко Ю.П. Исследования операций. Киев: Высш. Шк., 1975.
3. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование. М.: Высш. Шк., 1980.
4. Вентцель Е.С. Исследования операций. М., 1972.