Матрицы

1. Даны векторы  и . Найти скалярное произведение векторов и . Разложить вектор по базису .

Решение.

Находим координаты векторов и :

;

.

Находим скалярное произведение указанных  векторов, используя формулу через  координаты:

.

Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: .

Перепишем векторное уравнение  в матричном виде и решим его  методом Гаусса:

.

Следовательно, , , а – искомое разложение.

2. Даны матрицы  и . Найти , , ; .

Решение.

Для вычисления определителя используем правило треугольников:

.

.

.

Обратная матрица  определяется по формуле

, где  – алгебраические дополнения элемента матрицы , находящегося на пересечении строки и столбца.

Находим определитель системы:

.

Вычисляем алгебраические дополнения матрицы :

, , ,

, , ,

, , .

В результате получим:

.

 

3. Решить систему уравнений  , используя: а) правило Крамера; б) метод Гаусса; в) метод обратной матрицы.

Решение.

а). Сначала составляем главный определитель системы и вычисляем его:

.

Следовательно, система  имеет единственное решение.

Вычисляем вспомогательные  определители исходной системы:

;

;

.

По формулам Крамера получаем решение системы:

; ; .

б). Находим ранги основной и расширенной матриц. Для этого сводим расширенную матрицу к ступенчатому виду при помощи эквивалентных преобразований Гаусса:

.

Из последней  расширенной матрицы делаем вывод  о том, что ранги основной и  расширенной матриц равны 3 (количество ненулевых строк). Поскольку количество переменных равно рангу матрицы, то система линейных уравнений совместна (по теореме Кронекера-Капелли).

Из последней  расширенной матрицы запишем  систему уравнений и решим  её (обратный ход):

; ; ; .

в). Для решения системы матричным способом (методом обратной матрицы) нужно решить уравнение: .

Находим определитель основной матрицы  , используя правило треугольников:

.

Следовательно, матрица  имеет обратную , которую находим по формуле:

, де  .. – алгебраические дополнения матрицы А.

Находим алгебраические дополнения:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Тогда, получим обратную матрицу:

.

Подставляем найденные  значения в матричное уравнение:

.

4. Даны точки  и . Составить уравнение прямой, проходящей через эти точки. Найти углы, которые образует прямая с осями координат, определить расстояние от начала координат до прямой.

Решение.

Запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки  по соответствующей формуле:

;

;

.

Проводим преобразования и записываем уравнение прямой в общем виде:

;

;

.

Запишем направляющие коэффициенты прямой: , . Используя соответствующие формулы, находим искомые углы:

1). ;

2). .

Запишем уравнение прямой в нормальном виде:

, где  – нормирующий множитель.

Свободный член в нормальном уравнении прямой, взятый по абсолютной величине, дает искомое расстояние единицы.

5. Уравнение  кривой имеет вид  . Определить, что это за кривая, изобразить график кривой.

Решение.

Имеем каноническое уравнение  гиперболы с фокусами на оси ординат, действительной полуосью 2 и мнимой полуосью 5, асимптотами .

Изобразим график гиперболы  в декартовой системе координат.

 

6. Даны векторы и . Найти угол между этими векторами и модуль их векторного произведение. При каком значении , векторы , и будут лежать в одной плоскости.

Решение.

Для определения угла между векторами используем соответствующую  формулу через скалярное произведение:

.

Следовательно, .

Находим векторное произведение векторов, используя соответствующую формулу:

.

Находим модуль векторного произведения:

.

Три вектора лежат  в одной плоскости, когда их смешанное произведение равно нулю. Тогда, получим:

;

  .

 

 

7. Даны точки  и . Написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . какой угол эта плоскость образует с плоскостью ?

Решение.

Запишем симметрические уравнения  указанной прямой:

;

; .

Вектор  будет нормальным вектором искомой плоскости. Тогда, получим:

;

;

;

.

Угол между плоскостями определяем по соответствующей формуле через  нормальные вектора этих плоскостей:

;

.