Лекция  №3

Тема: Матрицы определители 

Вопросы: 1. Вид матриц;

                  2. Действия над  матрицами;

                  3. Понятие определителя  и его свойства;

                  4. Обратная матрица. 
 

1. Вид матриц 

      Определение матрицы. Матрицей размерностью ( - строк, - столбцов) называют прямоугольную таблицу чисел

.

      Обозначение матрицы. Матрицу обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C, D, E, …X, Y, Z,… и кратко записывается так:

 или  , , .

      Нуль-матрица. Нуль-матрица (нулевая матрица) О состоит из нулей.

      Матрица-строка. Матрица-строка имеет размерность , а матрице-столбцу соответствует размерность .

      Квадратная  матрица. При матрицу называют квадратной порядка :

.

      Диагональная  матица. Диагональной матрицей называют квадратную матрицу вида

.

      Единичная матрица. Единичной матрицей называют такую диагональную матрицу, для которой   .

      Транспонированная матрица. Если в матрице поменять местами строки и столбцы (транспонировать матрицу), то получим матрицу (или ), называемую транспонированной. 

2. Действия над матрицами 

      Равенство матриц. Матрицы равны : , , , ,  если .

      Умножение матрицы на число. При умножении матрицы : , , на число все элементы матрицы умножаются на это число: .

      Сложение  двух матриц. При сложении двух матриц одной размерности складываются соответствующие элементы этих матриц:

,  , , т.е.        , , .

      Свойства  матриц. На основании определения указанных операций нетрудно установить их свойства:

1. ; (переместительный закон сложения)

      2. ; (Сочитательный закон)

      3. ;

      4. ;

      5. ;

      6. , , , .

      Умножение двух матриц. Рассмотрим две матрицы размерностью и размерностью такие, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

      В таких случаях произведение матриц , определено (их можно перемножить. В противном случае - нет) и каждый элемент матрицы может быть записан как:

,   ,   .

      Таким образом, элемент  матрицы равен сумме парных произведений элементов й строки матрицы и го столбца матрицы .

      В тех случаях, когда произведение матриц определено, оно обладает следующими свойствами:

1. (Если матрицы и квадратные одной и той же размерности и - единичная матрица: , то справедливо равенство . Однако, если речь идет о законе, то переместительный закон для общего случая не справедлив);
2. , (Распределительный закон);
3. (Сочетательный закон);
4. Для транспонированных матриц .

 
 

3. Понятие определителя и его  свойства

      Каждой  квадратной матрице  ставится в соответствие число , называемое определителем. Понятие определитель связано с решением систем линейных уравнений.

      Определитель матрицы второго порядка обозначается и вычисляется так: .

      Определение определителя второго  порядка. Определитель второго порядка равен разности произведений  элементов главной и побочной диагоналей.

      Определитель  квадратной матрицы третьего порядка  определим так: 

  .                  (1) 

      Равенство (1) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки. Для более компактной записи такого разложения вводят понятие алгебраического дополнения элемента определителя.

      Алгебраическое  дополнение элемента определяется равенством

.                                                                                           (2)

Знак  алгебраических дополнений, например для определителя третьего порядка  в соответствии с первой частью формулы (2) можно символически определить так  . 

Элемент называется минором элемента определителя и получается вычеркиванием ой строки и го столбца этого определителя.  Например,

,       .

В результате дополнения будут иметь вид

, .

      На  основании понятия алгебраического  дополнения выражение (1) принимает  вид

.

      Таким же образом определитель можно разложить  по элементам любой строки или  любого стлбца.

      Например, или .

      Совершенно  аналогично определяются определители го порядка.

.

      Рассмотрим  свойства определителей, применение которых  часто упрощает процесс вычисления определителей.

      Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его транспонировать, т.е. строки и столбцы поменять местами;

      Свойство 2. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель изменит знак на противоположный;

      Свойство 3. Определитель равен нулю, если элементы каких либо двух его строк (столбцов) взаимно пропорциональны (либо равны);

      Свойство  4. Определитель, все элементы какой-либо строки (столбца) которого равны нулю, также равен нулю;

      Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;

      Свойство 6. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраическое дополнение равна этому определителю;

      Свойство 7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна нулю;

      Свойство  8. Если все элементы й строки представлены в виде суммы , то определитель также равен сумме определителей: 

.

      Аналогичное утверждение имеет место и  для столбцов.

      Свойство 9. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженное на одно и то же число; 

      Замечание 1. Пусть и квадратные матрицы одного порядка. Нетрудно убедится, что .

      Замечание 2. Для упрощения вычислений определителя рекомендуется с помощью свойств, приведенных выше, преобразовать определитель так, чтобы в нем какая-либо строка (столбец) содержала максимальное число нулей, и затем разложить определитель по элементам этой строки. 

4. Обратная матрица 

      Если  квадратная матрица - го порядка, то можно задаться поиском такой матрицы , что , где - единичная диагональная матрица: т.е. матрица все элементы которой равны нулю кроме элементов главной диагонали равных единице. Матрица - получила название обратной матрице . Известно, что обратная матрица существует если определитель исходной матрицы не равен нулю: .

      На  основании свойств определителей, правил умножения матриц и понятия  обратной матрицы нетрудно установить, что если

       ,        .                    (3)