Матрицы и определители

Министерство образования  и науки РФ

МБОУ Гимназия №8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по математике на тему:

 

Матрицы и определители

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

 

Портникова Елизавета

Класс 10Б

 

 

 

Красноярск, 2010

 

Содержание

 

1. Введение........................................................................................3
2. Матрица.......................................................................................3
3. Основные операции над матрицами и их свойства.................4

• Сложение матриц..................................................................4
• Умножение матрицы на число.............................................5
• Разность матриц...................................................................5
• Умножение матриц...............................................................5

4. Определители матриц................................................................7

5. Обратная матрица....................................................................8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.

При решении различных задач  математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрица

Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A =

или сокращенно в виде A = (a_ij) (i = ; j = ). Числа a_ij, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_ij = b_ij.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом.

Нулевой  матрицей  называют   матрицу,  все  элементы   которой   равны   нулю.

Если число строк матрицы  равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n.

 

Рассмотрим некоторые частные  виды квадратных матриц.

1) Квадратные матрицы, у которых  отличны от нуля лишь элементы  главной диагонали, называются  диагональными матрицами и записываются  так: 

     

2) Если все элементы a_ii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

 

3) Квадратная матрица называется  треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной  диагонали, равны нулю.

 

                                                     

                                             верхняя                                      нижняя      

                                  треугольная матрица            треугольная матрица

Матрица, полученная из данной заменой  ее строк столбцами с теми же номерами,   называется транспонированной к данной.

Матрицу, транспонированную к  А, обозначают  А^Т.

ПРИМЕР.

                 

        2 3                3 2

Основные операции над матрицами и их свойства

Определение основных операций над матрицами.

                                  Сложение матриц

 

Суммой двух матриц  A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  и В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij ||  (і =1,2, ..., т;  j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij   которой определяются по формуле

 , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)

 

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

ПРИМЕР

 

Из определения суммы матриц, а точнее из формул , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: А + В = В  + А,

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых  матриц при сложении двух или большего числа матриц.

 

Умножение матрицы  на число

 

Произведением матрицы  A = || a _ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)   на вещественное число l, называется матрица С = || c _ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., n), элементы  которой определяются по формуле:

 ,   где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) (1.3)

Для обозначения произведения матрицы  на число используется запись С = l A или           С = Аl. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

 

ПРИМЕР.

 

Непосредственно из формулы  ,   где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством относительно  числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );

2) распределительным свойством  относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;

3) распределительным свойством  относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A

 

Разность матриц

 

Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу  С  = A + (–1) В.

 

Умножение матриц

Произведением матрицы А размера  m ´ n на матрицу В размера n ´ k  называется матрица С размера   m ´ k,  элемент которой а_{i j} ,  расположенный в i –ой строке и j – ом столбце, равен сумме   произведений   элементов   i – ой  строки  матрицы А   на соответствующие   элементы   j – столбца   матрицы В,   т.е. 

 

c _{i j} = a _{i 1} b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} +……+ a _{i n} b _{n j}

Из сформулированного выше определения  вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

 

Обозначим:    С = А ·  В.

Если    то

Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы не согласованы.

ПРИМЕРЫ.   Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.

Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

2. 

Решение:   Матрицы А и В согласованы

Матрицы В и А не согласованы,  поэтому В ´ А  не  имеет смысла.

Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

 

СВОЙСТВА  УМНОЖЕНИЯ  МАТРИЦ

1. Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С
2. Распределительное свойство:  (А + В) ´ С =  А ´ С +  В ´С

Действие "деление" для матриц не вводится.

Определители  матриц

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁:

 

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

 

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

 

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

 

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

 

Свойства определителей 

1. Если одна из строк определителя  состоит из нулей, то определитель  равен нулю.

2. Если в определителе переставить  две строки, определитель поменяет  знак.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

4. Если все элементы некоторой  строки определителя умножить  на некоторое число k, то сам  определитель умножится на k.

5. Определитель, содержащий две  пропорциональные строки, равен  нулю.

6. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_ij = b_j + c_j (j = ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

7. Определитель не меняется, если  к элементам одной из его  строк прибавляются соответствующие  элементы другой строки, умноженные  на одно и то же число. 

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Обратная матрица 

Рассмотрим квадратную матрицу 

A = .

Обозначим Δ = det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и  вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица  А имела обратную, необходимо и  достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1. Обратная матрица вычисляется по формуле

А^-1 = 1/Δ

где А_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij.

Вычисление обратной матрицы по формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП).

 

Список используемой литературы

 

 

1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969
4. В.С. Щипачев,  Высшая математика

Материалы с сайта http://www.allmath.ru