Математика в экономике

1 Понятие производной 

При решении  различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 
1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x); 
2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а D x ¦0, находим , который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу. 
Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. 
Таким образом, ,  или

Заметим, что  если при некотором значении x, например при x=a, отношение при D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

 

 

2.  Экономическое приложение производной.

2.1 Экономическая интерпретация производной

В экономической  теории активно используется понятие  «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный  оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

Предельные  или пограничные величины характеризуют  не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо  заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим  ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда Dx- прирост продукции, а Dy - приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.

Другой  пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки: .

При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом  , Þ MR= P.

Это равенство  верно относительно условий совершенной  конкуренции, когда экономические  агенты каждый по отдельности не могут  оказать влияния на цену.

 

 

2.2 Применение производной в экономической теории.

 

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в  том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми  следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию  теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x₀) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный  для производителя уровень выпуска  товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Q_o является оптимальным для производителя, если MC(Q_o)=MR(Q_o),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда  П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль  максимальна, то есть такое значение выпуска Q_o, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Q_o) = C’(Q_o), откуда следует, что MR(Q_o) = MC(Q_o).

Другое  важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние  издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический  закон гласит: “оптимальный объем  производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие  сформулированной выше теоремы.  Средние  издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

 

 

2.3 Предельный анализ в экономике. Эластичность функций

 

Применение  производной в экономике позволяет  получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуют не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса во времени или относительно другого исследуемого фактора.

Эластичность  функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y’ = . Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

 

.

Его обозначают

 

E_x (y) = x / y = .

 

Эластичность  относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1 %. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей, тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Производственные  издержки – это денежное выражение затрат производственных факторов, используемых в производстве и реализации. Они бывают постоянные – не зависимые от объема и структуры производства. Переменные – такие, как заработная плата, издержки на сырье, топливо и т. д., то есть, которые зависят от объема производства. Средние или удельные – на единицу продукции. Предельные или маржинальные – это отношение прироста переменных издержек к вызванному ими приросту продукции. Можно ли произвольно увеличивать количество переменных факторов, например нанимать дополнительных рабочих, на единицу постоянного фактора? Нет, т. к. начинает действовать закон убывающей доходности или возрастающих затрат. Он проявляется в том, что если фирма наращивает объем использования только некоторых или только одного из факторов производства, то прирост выпуска, приносимый дополнительными объемами этих факторов, в конце концов начнет снижаться. Такое понятие как эластичность очень распространено в экономике, а именно: ценовая эластичность спроса и предложения, эластичность спроса по доходу (перекрестная эластичность), ценовая эластичность предложения.

 

 

2.4 Использование производной при решении задач по экономической теории

Задача 1: Функция спроса имеет вид Q_D=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение: Прибыль есть выручка минус издержки:

П=TR – TC;

где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём  цену единицы продукции:

20p=100 – Q p=5 – Q/20

Тогда

П=(5 –  Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q² + 60Q – 1000

Найдём  производную: П'(Q)= –2Q+60.

Приравняем  производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюса на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача 2: Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х³+98х²+200х. Удельные затраты составят К/х=-х²+98х+200

Решение: Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х²+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая  точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и  в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это  экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно  можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать  технологию, так как дальше будет  действовать закон убывающей  доходности. И без реконструкции  нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 3:  Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Решение: Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с  увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают  максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

 

 

 

Заключение 

 

В результате проведенного исследования можно сделать  следующие выводы:

1.                      Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

2.                      При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

3.                      Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

4.                      Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

5.                      Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

6.                      Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

 

Словарь экономических  терминов 

 

Производственные возможности  фирмы – совокупность факторов производства, которыми располагает фирма и имеющийся уровень технологии их использования.

Факторы производства – то, что участвует в процессе производства и способствует созданию конечного продукта (товара или услуги): труд, земля, капитал, предпринимательская способность.

Спрос – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность приобрести потребитель по каждой конкретной цене.

Предложение – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность предложить производитель по каждой конкретной цене.

Монополия – специфический вид конкуренции, при котором на рынке присутствует единственный продавец, производящий специфический, не имеющий близких заменителей продукт и может оказывать значительное влияние на рыночную цену. Единственной границей установления цены является платежеспособный спрос и цена на мировом рынке.

Совершенная конкуренция – вид конкуренции, при котором на рынке действует множество продавцов и покупателей, доля каждого из которых на рынке незначительна. Производится однородная продукция и отсутствует возможность влияния на рыночную цену (она устанавливается путём взаимодействия спроса и предложения).