Математика в Древнем Египте

Основные  сведения по теме:

  “Математика Древнего  Египта” 

Наши познания о древней математике основаны главным  образом на двух папирусах математического  характера и на нескольких небольших  отрывках. Один из больших папирусов  называется математическим папирусом Ринда и находится в Лондоне. Он приблизительно 5.5 м длины и 0.35 м ширины. Другой большой папирус почти такой же длины и 8 см ширины. Находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000 году до н э.

Папирус Ринда  представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя равна , что соответствует грубому приближению =3.1605…(в задаче 50 п Ринда), а площадь произвольного четырехугольника находилась по формуле ), объемы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамиды. Имеются также задачи на пропорциональное делении, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии. Египтяне вычисляли объем куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра. Эти объемы находили как произведение площади основания на высоту.

В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство  такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием . Египетские строители умели математически характеризовать угол наклона боковой грани к квадратному основанию пирамиды. В другой задаче содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, то есть полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

Оба папируса переведены на европейские языки, изучены и прокомментированы.

Носителем научных  знаний были так называемые писари – чиновники государственной  службы. Ко времени написания папирусов  уже сложилась определенная система  счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10^к установлены индивидуальные иероглифы (см. раздаточный материал). При записи чисел иероглифы единиц, десяток, сотен и т д писали столько раз, сколько в данном числе единиц в соответствующих разрядах. Разряды записывали в порядке, обратном нашему ( справа налево). Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Система счета древних египтян насчитывает семь знаков. Несколько слов о том, как египтяне записывали дроби. Система их была с современной точки зрения чрезвычайно оригинальна и столь же неудобна. Египтяне имели специальную форму записи только для так называемых основных дробей, т. е. полученных делением единицы на целое число, и еще двух простых дробей, имевших с древних времен особые иероглифы, а именно ²/₃ и ³/₄. Впрочем в позднейших папирусах особое обозначение для ³/₄ исчезло. Остальные дроби египтяне разлагали на сумму нескольких основных дробей. Например, ³/₈ записывалось как ¹/₄ + ¹/₈, а ²/₇ в виде ¹/₄ + ¹/₂₈. Для результата деления 2 на 29 египетская таблица давала разложение ²/₂₉ = ¹/₂₄ + ¹/₅₈ + ¹/₁₇₄ + ¹/₂₃₂.Умели производить четыре действия арифметики над всеми числами (целыми, дробными или смешанными), которые встречались им на практике. Для действий с дробями они пользовались вспомогательными математическими таблицами; это таблицы обратных чисел у вавилонян и таблицы основных дробей — у египтян. Для обозначения обыкновенных дробей египтяне использовали слово "эр"       , одно из значений которого переводится как "часть". Поэтому запись любой дроби правильнее читать не как "1/n", а как "n-ная часть" .  

Например                      .Дроби с числителем больше единицы египтяне раскладывали на привычные для них доли и записывали их столько раз, сколько единиц содержится в числителе (исключение составляют 2/3 и 3/4). Так, например, запись 4/7 выглядела следующим образом:

Для передачи некоторых дробей египтяне разработали особые обозначения                                                                                                .                                         При записи чисел в математических примерах дроби всегда следовали за целыми числами, а дроби меньшего значения - за более крупными. 

При подсчете  египтяне преимущественно использовали способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений (*).  

Деление проводилось  как действие, обратное умножению. При делении также используется процедура удвоения и последовательного. При умножении и делении чисел отдельно выделялось умножение на 5 и 10, это значит учитывались свойства десятичной системы. Часто встречается операция, называемая “хау” (куча), соответствующая решению линейного уравнения вида ах+bx+…+cx= . При сложении дробей имеющих разные знаменатели, египтяне использовали умножение их на вспомогательные числа, но способа подбора таких чисел они не дают.

Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до н э в Египте начали складываться элементы математики как науки. Техника вычислений еще примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые позволяли бы вообще судить о развитии математики в Египте, еще недостаточно.