Математический анализ

Задание 1

Убедиться, что поле является потенциальным и найти работу этого поля вдоль пути

Решение

 

Проверим, что это поле является потенциальным

, значит, данное поле является  потенциальным

2)

Вычислим потенциал  этого поля. Получаем

Поскольку выбор начальной точки  произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной.

Так как поле потенциально, то работа поля не зависит от пути перемещения, а только от начальной и конечной точек, то есть

 

 

 

 

 

Задание 2

При помощи криволинейного интеграла 1-го рода вычислить координаты центра тяжести ломаной

Решение

Сделаем чертеж

Направление указано  на рисунке

Координаты центра тяжести  вычислим по формуле

Вычислим каждый интеграл.

Найдем уравнение прямой

Уравнение прямой

Тогда,

 

 

Задание 3

Найти циркуляцию поля вдоль границы треугольника ОВА непосредственно и по формуле Грина

Решение

Сделаем чертеж треугольника

Уравнение прямой

Вычислим циркуляцию непосредственно

Вычислим каждый интеграл отдельно

По формуле Грина  получаем

 

 

Задание 4

При помощи поверхностного интеграла 1-го рода определить координаты центра тяжести треугольника, отсекаемого  от плоскости  координатными плоскостями. Сделать чертеж

Решение

 

Сделаем чертеж

Найдем точки пересечения о  осями координат

Центр тяжести найдем из формулы

Найдем каждый из интегралов.

Так как 

Найдем уравнение прямой

Тогда, получаем

Тогда,

 

 

 

 

Задание 5

Вычислить поток поля в направлении оси Z через поверхность, заданную в цилиндрических координатах уравнением

Решение

Так как надо вычислить поток поля в направлении оси Z, тогда

Перейдем к цилиндрической системе координат, якобиан отображения  равен 

 

 

 

Задание 6

Вычислить дивергенцию и ротор  векторного поля , если

Решение

Найдем дивергенцию этого поля

Найдем ротор данного поля