Математические модели и методы их расчета

1.  Моделирование   экономических   систем.

Основные  понятия  и  определения. 

1.1.  Возникновение и  развитие системных  представлений 

      Научно-техническая  революция привела к возникновению  таких понятий, как большие и сложные  экономические системы, обладающие специфическими для них проблемами. Необходимость решения таких проблем привела к появлению особых подходов и методов, которые постепенно накапливались и обобщались, образуя, в конце концов, особую науку - системный анализ.

      В начале 80-х годов системность  стала не только теоретической категорией, но и осознанным аспектом практической деятельности. Широко распространилось понятие того, что наши успехи связаны  с тем, насколько системно мы подходим к решению возникающих проблем, а наши неудачи вызваны отсутствием  системности в наших действиях. Сигналом о недостаточной системности  в нашем подходе к решению  какой-либо задачи является появление  проблемы, разрешение же возникшей  проблемы происходит, как правило, при  переходе на новый, более высокий, уровень  системности нашей деятельности. Поэтому системность не только состояние, но и процесс.

      В различных сферах человеческой деятельности возникли различные подходы и  соответствующие методы решения  специфических проблем, которые  получили различные названия: в военных  и экономических вопросах - «исследование операций», в политическом и административном управлении - «системный подход», в философии «диалектический материализм», в прикладных научных исследованиях - «кибернетика». Позже стало ясно, что все эти теоретические и прикладные дисциплины образуют как бы единый поток, «системное движение», которое постепенно оформилось в науку, получившую название «системный анализ». В настоящее время системный анализ является самостоятельной дисциплиной, имеющей свой объект деятельности, свой достаточно мощный арсенал средств и свою прикладную область. Являясь по существу прикладной диалектикой, системный анализ использует все средства современных научных исследований - математику, моделирование, вычислительную технику и натурные эксперименты. 

þ Самая интересная и сложная часть системного анализа - это «вытаскивание» проблемы из реальной практической задачи, отделение важного от несущественного, поиск правильной формулировки для каждой из возникающих проблем, т.е. то, что называется «постановкой задачи». 

      Многие  довольно часто недооценивают работу, связанную с формулировкой задачи. Однако многие специалисты полагают, что «хорошо поставить задачу - значит на половину ее решить». Хотя в  большинстве случаев заказчику  кажется, что он уже сформулировал  свою проблему, системный аналитик знает, что предлагаемая клиентом постановка задачи является моделью его реальной проблемной ситуации  и неизбежно  имеет целевой характер, оставаясь  приблизительной и упрощенной. Поэтому  необходимо проверить эту модель на адекватность, что приводит к  развитию и уточнению первоначальной модели. Очень часто первоначальная формулировка изложена в терминах не тех языков, которые необходимы для  построения модели. 
 

1.2.  Модели и моделирование.  Классификация моделей 

      Первоначально моделью называли некое вспомогательное  средство, объект, который в определенных ситуациях заменял другой объект. Например, манекен в определенном смысле заменяет человека, являясь  моделью человеческой фигуры. Древние философы считали, что отобразить природу можно только с помощью логики и правильных рассуждений, т.е. по современной терминологии с помощью языковых моделей. Через несколько столетий девизом английского Научного общества стал лозунг: «Ничего словами!», признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками. 

В настоящее время  для постижения истины существует 3 пути: 

À теоретическое исследование;

Á эксперимент;

 моделирование. 

þ Моделью называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества: 

- дешевизну;

- наглядность;

- легкость оперирования и т.п. 

þ В теории моделей моделированием называется результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую - тоже абстрактную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй. 

      Paзвитие  понятия модели вышло за пределы  математических моделей и стало  относиться к любым знаниям  и представлениям о мире. Поскольку  модели играют чрезвычайно важную  роль в организации любой деятельности  человека их можно разделить  на познавательные (когницитивные) и прагматические, что соответствует делению целей на теоретические и практические.

þ Познавательная модель ориентирована на приближении модели к реальности, которую эта модель отображает. Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели.

þ Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата, т.е. являются рабочим представлением целей. Поэтомy при обнаружении расхождения между моделью и реальностью надо направить усилия на изменение реальности так, чтобы приблизить реальность к модели. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер, играют роль образца, под который подгоняется действительность. Примерами прагматических моделей служат планы, кодексы законов, рабочие чертежи и т.д.

      Другим  принципом классификации целей  моделирования может служить  деление моделей на статические и динамические. 

þ Для одних целей нам может понадобиться модель конкретного состояния объекта в определенный момент времени, своего рода «моментальная фотография» объекта. Такие модели называются статическими. Примером являются структурные модели систем.

þ В тех же случаях, когда возникает необходимостъ в отображении процесса изменения состояний, требуются динамические модели  систем. 

      В распоряжении человека имеется два  типа материалов для построения моделей - средства самого сознания и средства окружающею материального мира. Соответственно этому модели делятся на абстрактные (идеальные) и материальные. 

þ Очевидно, что к абстрактным моделям относятся языковые конструкции и математические модели. Математические модели обладают наибольшей точностью, но чтобы дойти до их использования в данной области, необходимо получить достаточное количество знаний. По мнению Канта, любая отрасль знания может тем более именоваться наукой, чем в большей степени в ней используется математика. 

1.3.  Виды подобия моделей 

      Чтобы некоторая материальная конструкция  могла быть моделью, т.е. замещала в  каком-то отношении оригинал, между  оригиналом и моделью должно быть установлено отношение подобия. Существуют разные способы установления такого подобия, что придает моделям  особенности, специфичные для каждого  способа. 

þ Прежде всего, это подобие, устанавливаемое в процессе создания модели. Назовем такое подобие прямым. Примером такого подобия являются фотографии, масштабированные модели самолетов, кораблей, макеты зданий, выкройки, куклы и т.д. 

      Следует помнить, что как бы хороша ни была модель, она все-таки лишь заменитель оригинала, только в определенном отношении. Даже тогда, когда модель прямого  подобия выполнена из того же материала, что и оригинал, т.е. подобна ему  субстратно, возникают проблемы переноса результатов моделирования на оригинал. Например, при испытании уменьшенной  модели самолета в аэродинамической трубе задача пересчета данных модельного эксперимента становится нетривиальной  и возникает разветвленная, содержательная теория подобия, позволяющая привести в соответствие масштабы и условия  эксперимента, скорость потока, вязкость и плотность воздуха. Трудно достигается  взаимозаменяемость модели и оригинала  в фотокопиях произведений искусства, голографических изображениях предметов  искусства. 

þ Второй тип подобия между моделью и оригиналом называется косвенным. Косвенное подобие между оригиналом и моделью объективно существует в природе и обнаруживается в виде достаточной близости или совпадения их абстрактных математических моделей и вследствие этого широко используется в практике реального моделирования. Наиболее характерным примером может служить электромеханическая аналогия между маятником и электрическим контуром. 

      Оказалось, что многие закономерности электрических  и механических процессов описываются  одинаковыми уравнениями, различие состоит в разной физической интерпретации  переменных, входящих в это уравнение. Роль моделей, обладающих косвенным  подобием, очень велика и роль аналогий (моделей косвенного подобия) в науке  и практике трудно переоценить. Аналоговые вычислительные машины позволяют найти  решение почти всякого дифференциального  уравнения, представляя собой, таким  образом, модель, аналог процесса, описываемого этим уравнением. Использование электронных  аналогов в практике определяется тем, что электрические сигналы легко  измерить и зафиксировать, что дает известные преимущества модели. 

þ Третий, особый класс моделей составляют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения. Такое подобие называется условным. С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто, поскольку они являются способом материального воплощения абстрактных моделей. Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), удостоверение личности (модель владельца), всевозможные сигналы (модели сообщения). 

      Например, сигналом наступления кочевников  у древних славян служили костры на курганах. Бумажные денежные знаки  могут играть роль модели стоимости  только до тех пор, пока в среде  их обращения существуют правовые нормы, поддерживающие их функционирование. Керенки в настоящее время  имеют только историческую ценность, но это не деньги, в отличие от царских золотых монет, которые  представляют материальную ценность из-за наличия благородного металла. Особенно наглядна условность знаковых моделей: цветок в окне явочной квартиры Штирлица означал провал явки, ни сорт, ни цвет не имели никакого отношения к  знаковой функции цветка. 

1.4.  Адекватность  моделей 

      þ Модель, с помощью которой успешно достигается поставленная цель, будем называть адекватной этой цепи. Адекватность означает, что требования полноты, точности и правильности (истинности) модели выполнены не вообще, а лишь в той мере, которая достаточна достижения поставленной цели.