Математическая статистика

 

Задание 3.2

Проверьте гипотезу, что истинное значение случайной  величины равно  (Малая выборка n=10; )

  МПа.                   МПа.                      МПа.                 

Выдвигаем нулевую  гипотезу . Относительно альтернативной гипотезу возможны два случая: а) ; б) (так как ). Рассмотрим эти случаи. 

А) .

     двусторонняя критическая область 

Проверка  нулевой гипотезы: 

1. По выборке  определяем наблюдаемое значение критерия :

 
 
 

2. По таблице критических точек распределения Стьюдента определяем критическое значение критерия , для двусторонней критической области в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы

 
 
 

 

Б) .

     правосторонняя критическая область

Порядок проверки:

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, выборочное среднее и математическое ожидание различаются незначимо и, следовательно , истинное значение СВ равно:

 .

Задание 3.3

Проверить гипотезу о равенстве двух математических ожиданий для больших выборок (, где n- объем выборки индивидуального задания =925 МПа)

А)

     двусторонняя критическая область

Порядок проверки:

2. ф

 

Б)

     правосторонняя критическая область

2. ф

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что математические ожидания различаются незначимо и, следовательно, . 

Задание 3.4

Проверить гипотезу о равенстве двух математических ожиданий малых выборок (принять , , )

А)

     двусторонняя критическая область

 
 
 

 

Б)

     правосторонняя критическая область

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что математические ожидания незначительно различаются и, следовательно, по результатам проверки .

Задание 3.5

Проверить гипотезу о равенстве двух значений для малых выборок (принять , , ). 
 

  правосторонняя критическая  область 
 

2.     (для большей)

(для  меньшей) 
 

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что дисперсии различаются незначительно и, следовательно, .

Задание 3.6

Проверить гипотезу, что генеральная дисперсия СВ равна , при .

А)

    двухсторонняя критическая область

Проверка: 

 
 

Б)

    правосторонняя критическая область

Проверка:

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что генеральная дисперсия СВ равна . 
 
 
 
 

Задание 4.

Проверка  гипотезы о законах распределения по критерию Пирсона.

Группированный  статистический ряд

Выдвигаем : СВ X имеет нормальный закон распределения с параметрами

Выдвигаем : СВ X не имеет нормальный закон распределения с параметрами  
 

Для 1-го интервала:

,

;

Для 2-го интервала:

,

;

Для 3-го интервала:

,

;

Для 4-го интервала:

,

;

Для 5-го интервала:

,

;

Для 6-го интервала:

,

;

Для 7-го интервала:

,

;

Для 8-го интервала:

,

;

Для 9-го интервала:

,

;

 

Вспомогательная таблица для расчета критерия Пирсона.

 

Порядок проверки нулевой гипотезы:

 
 

Построение  нормальной кривой по опытным данным.

Гистограмма –  это фигура из столбцов, основание  которых равно ширине интервала  , а высота частоте . Если соединить середины интервалов отрезками прямых, получим полигон электрических частот координатах .

Определяем значения . Ширина интервала %, а объем выборки . Тогда получим: .

Полученные значения приведены в таблице для расчета критерия Пирсона.

Определяем «»-интервал:

;

Нормальная кривая симметрична относительно прямой:

;

Максимум нормальной кривой находится в точке:

,

;

 
 
 

 

 

 
 
 

Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Колмогорова.

Выдвигаем : СВ X имеет нормальный закон распределения с параметрами

Выдвигаем : СВ X не имеет нормальный закон распределения с параметрами

Группированный  статистический ряд, статистическое распределение  частот, относительных частот, накопленных  частот и частостей.

Для определения  теоретической функции распределения  используем функцию Лапласа. 

,

,

, 

,

,

,

,

,

,

Значения  эмпирической и теоретической функций распределения.

 
 

Графики эмпирической(2) и теоретической(1) функций распределения СВ X-содержания компонента.

 

 

Порядок проверки нулевой гипотезы: