Логарифмическая функция

 

 

 

 

 

 

Содержание:

 

Введение ……………………………………………………………………......4

1. Основные характеристики ………………………………………………
2. Натуральный логарифм……………………………………………………8
1. Разложение в ряд вычисление натурального логарифма………….
3. Десятичный логарифм………………………………………………………
4. Предельные соотношения………………………………………………….
5. Другие свойства……………………………………………………………

        Список использованной литературы…………………………………..…….9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = logax.

Свойства функции:

1. Область определения (0;)
2. Область значений R
3. Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной
4. Нули функции: y = 0 при x = 1
5. Промежетки знакопостоянства: если 0 < a < 1, то y > 0 при x (0; 1), y < 0 при x (1; ) если a > 1, то y > 0 при x (1; ), y < 0 при x (0; 1).
6. Промежутки монотонности : при 0 < a < 1 функция убывает при x (0; ) при a > 1 функция возрастает при x (0; )
7. Экстренумов нет.
8. График функции проходит через точку: (1; 0)
9. Асимптота x = 0

Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные характеристики

Если рассматривать  логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию . Она определена при . Область значений: . Эта кривая часто называется логарифмикой^[9]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, большими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения следует, что логарифмическая зависимость  есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов. Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при и строго убывающей при . График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат  является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

при

при .

Производная логарифмической  функции равна:

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения:

 

Свойства  логарифмических функции

 

Свойство 1. Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел.

Действительно, пусть b есть произвольное положительное число. Покажем, что выражение  log_ab определено. Как мы знаем, log_ab  есть не что иное, как корень уравнения

а^z = b                (2)

Если а и b — положительные числа, причем а =/= 1, то такое уравнение по свойствам 2 и 5 показательной функции (см. § 179) всегда имеет и притом только один корень. Этим корнем и является log_ab. Следовательно, log_ab в данном случае определен.

Покажем теперь, что если b < 0, то выражение log_ab не определено.

Действительно,  если бы это выражение имело смысл, то оно давало бы корень  уравнения (2); в таком случае должно было бы  выполняться   равенство

а ^logab  = b.

На самом  же деле это равенство не выполняется, поскольку левая его часть  представляет собой положительное, а правая — отрицательное  число  или   нуль.

Итак, выражение log_ab (а > 0, а =/=1) определено для всех положительных значений b, но не определено ни для какого отрицательного значения b, ни для b = 0. А это и означает, что областью определения функции y =  log_ax  является множество всех  положительных чисел.

1-е свойство  логарифмической функции доказано. Геометрическая интерпретация этого свойства заключается и том, что график функции y =  log_ax  целиком расположен в правой полуплоскости, которая соответствует только положительным значениям х (см. рис. 250 и 251).

Свойство 2. Областью изменения логарифмической функции служит множество всех чисел.

Это означает, что  выражение log_ax при различных значениях х может принимать любые числовые значения.

Пусть b — произвольное действительное число. Покажем, что существует число х,  которое удовлетворяет условию

log_ax = b.                  (3)

Тем самым и  будет доказано свойство 2.

Соотношение (3) означает то же самое, что и соотношение

а^b = x.

Число а — положительное. А степень любого положительного числа с произвольным показателем всегда определена. Поэтому, выбрав в качестве искомого значения х число а^b , мы и удовлетворим   условию (3).

Свойство 3. При а > 1 логарифмическая функция y =  log_ax  является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 — монотонно убывающей.

Пусть а > 1 и х₂ > х₁. Докажем, что  

log_ax₂  > log_ax₁ .

Для доказательства предположим противное:  log_ax₂ < log_ax₁  или  log_ax₂  = log_ax₁. При а > 1 показательная функция у = а^x  монотонно возрастает.   Поэтому из условия log_ax₂< log_ax₁  вытекает, что а ^{loga x2}  < а ^{loga x1}, Но а ^{loga x2} = x₂ ,  а ^{loga x1} = x₁. Следовательно, x₂ < x₁. А это противоречит условию, согласно которому x₂ > x₁, К противоречию приводит и другое предположение:  log_ax₂  = log_ax₁.   В   этом   случае   должно   было   бы   быть а ^{loga x2}  < а ^{loga x1}  или  x₂ = x₁.   Остается   признать,   что

log_ax₂  > log_ax₁.

Тем самым мы доказали, что при а > 1 функция у = log_ax является  монотонно возрастающей.

Случай, когда а < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

3-e свойство  логарифмической функции допускает  простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 график функции у = log_ax  с ростом х все выше и выше поднимается (см. рис. 250), а при а < 1 он с ростом х все ниже и ниже опускается (см. рис.   251).

Следствие. Если логарифмы двух чисел по одному и тому же положительному основанию, отличному от 1, равны, то равны и сами эти числа.

Другими  словами,   из  условия

log_ax = log_ay (a > 0, а =/= 1)

вытекает, что

х = у.

Действительно, если бы одно из чисел х и у было больше другого, то в силу монотонности логарифмической функции одно из чисел log_ax и log_ay было бы больше другого. Но это не так. Следовательно,  х = у.

Свойство 4. При х =1 логарифмическая функция у = log_ax принимает значение, равное нулю.

Графически  это означает, что независимо от а кривая у = log_ax  пересекается с осью х в точке с абсциссой х = 1 (см. рис.   250  и  251).

Для доказательства 4-го свойства достаточно заметить, что  при   любом   положительном а

а⁰ = 1.

Поэтому   log_a 1 = 0.

Свойство 5. Пусть а > 1. Тогда при х > 1 функция у = log_ax принимает положительные, а при 0 < х < 1 — отрицательные значения.

Если же 0 < а <  1, то, наоборот, при х > 1 функция у = log_ax принимает отрицательные, а при 0 < х  < 1 — положительные значения.

Это свойство логарифмической  функции также допускает простую  графическую интерпретацию. Пусть, например, а >1. Тогда та часть кривой у = log_ax, которая соответствует значениям х > 1, располагается выше оси х, а та часть этой кривой, которая соответствует значениям 0 < х  < 1, находится ниже оси х (см. рис. 250). Аналогично может быть интерпретирован и случай,   когда   a < 1   (рис.   251).

5-е свойство  логарифмической функции является  простым следствием 3-го и 4-го  свойств. Для определенности рассмотрим случай, когда а > 1. Тогда по 3-му свойству функция у = log_ax будет монотонно возрастающей. Поэтому если х > 1,то log_ax >  log_a 1. Но по 4-му свойству log_a 1= 0. Следовательно, при х >1  log_ax > 0. При х < 1 log_ax <  log_a1,  то   есть  log_ax < 0.

Аналогично  может быть рассмотрен и случай, когда а < 1. Учащимся предлагается разобрать его самостоятельно.

К рассмотренным  пяти свойствам логарифмической  функции мы без доказательства добавим еще одно свойство, справедливость которого наглядно отражается на рисунках 250 и 251.

Свойство 6. Если а >1, то при х —> 0 значения функции у = log_ax неограниченно убывают (у —> — ∞). Если 0 < а < 1, то при х —> 0 значения функции у = log_ax неограниченно возрастают (у —>  ∞).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы:

 

1. К.О. Ананченко  "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский  "Методика преподавания в средней  школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь  "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая  лаборатория", М., "Просвещение", 1997г. 

5.Ю.М.Колягин  "Методика преподавания математики  в средней школе", М., "Просвещение", 1999г. 

6.А.А.Столяр "Логические  проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.