Логарифмическая функция

Автор: Пользователь скрыл имя, 31 Января 2013 в 16:07, контрольная работа

Краткое описание

Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = logax.
Свойства функции:
Область определения (0;)
Область значений R
Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной
Нули функции: y = 0 при x = 1

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………......4
Основные характеристики ………………………………………………
Натуральный логарифм……………………………………………………8
Разложение в ряд вычисление натурального логарифма………….
Десятичный логарифм………………………………………………………
Предельные соотношения………………………………………………….
Другие свойства……………………………………………………………
Список использованной литературы…………………………………..…….9

Файлы: 1 файл

евклидова.doc

— 112.00 Кб (Скачать)

 

 

 

 

 

 

Содержание:

 

Введение ……………………………………………………………………......4

  1. Основные характеристики ………………………………………………
  2. Натуральный логарифм……………………………………………………8
    1. Разложение в ряд вычисление натурального логарифма………….
  3. Десятичный логарифм………………………………………………………
  4. Предельные соотношения………………………………………………….
  5. Другие свойства…………………………………………………………

        Список использованной литературы…………………………………..…….9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = logax.

Свойства функции:

  1. Область определения (0;)
  2. Область значений R
  3. Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной
  4. Нули функции: y = 0 при x = 1
  5. Промежетки знакопостоянства: если 0 < a < 1, то y > 0 при x (0; 1), y < 0 при x (1; ) если a > 1, то y > 0 при x (1; ), y < 0 при x (0; 1).
  6. Промежутки монотонности : при 0 < a < 1 функция убывает при x (0; ) при a > 1 функция возрастает при x (0; )
  7. Экстренумов нет.
  8. График функции проходит через точку: (1; 0)
  9. Асимптота x = 0

Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные характеристики

Если рассматривать  логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию . Она определена при . Область значений: . Эта кривая часто называется логарифмикой[9]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, большими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.


 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения следует, что логарифмическая зависимость  есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов. Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при и строго убывающей при . График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат  является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

при

при .

Производная логарифмической  функции равна:

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения:

 

Свойства  логарифмических функции

 

Свойство 1. Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел.

Действительно, пусть b есть произвольное положительное число. Покажем, что выражение  logab определено. Как мы знаем, logab  есть не что иное, как корень уравнения

аz = b                (2)

Если а и b — положительные числа, причем а =/= 1, то такое уравнение по свойствам 2 и 5 показательной функции (см. § 179) всегда имеет и притом только один корень. Этим корнем и является logab. Следовательно, logab в данном случае определен.

Покажем теперь, что если b < 0, то выражение logab не определено.

Действительно,  если бы это выражение имело смысл, то оно давало бы корень  уравнения (2); в таком случае должно было бы  выполняться   равенство

а logab  = b.

На самом  же деле это равенство не выполняется, поскольку левая его часть  представляет собой положительное, а правая — отрицательное  число  или   нуль.

Итак, выражение logab (а > 0, а =/=1) определено для всех положительных значений b, но не определено ни для какого отрицательного значения b, ни для b = 0. А это и означает, что областью определения функции y =  logax  является множество всех  положительных чисел.

1-е свойство  логарифмической функции доказано. Геометрическая интерпретация этого свойства заключается и том, что график функции y =  logax  целиком расположен в правой полуплоскости, которая соответствует только положительным значениям х (см. рис. 250 и 251).

Свойство 2. Областью изменения логарифмической функции служит множество всех чисел.

Это означает, что  выражение logax при различных значениях х может принимать любые числовые значения.

Пусть b — произвольное действительное число. Покажем, что существует число х,  которое удовлетворяет условию

logax = b.                  (3)

Тем самым и  будет доказано свойство 2.

Соотношение (3) означает то же самое, что и соотношение

аb = x.

Число а — положительное. А степень любого положительного числа с произвольным показателем всегда определена. Поэтому, выбрав в качестве искомого значения х число аb , мы и удовлетворим   условию (3).

Свойство 3. При а > 1 логарифмическая функция y =  logax  является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 — монотонно убывающей.

Пусть а > 1 и х> х1. Докажем, что  

logax2  > logax1 .

Для доказательства предположим противное:  logax2 < logax1  или  logax2  = logax1. При а > 1 показательная функция у = аx  монотонно возрастает.   Поэтому из условия logax2< logax1  вытекает, что а loga x2  < а loga x1, Но а loga x= x,  а loga x= x1. Следовательно, x< x1. А это противоречит условию, согласно которому x> x1, К противоречию приводит и другое предположение:  logax2  = logax1.   В   этом   случае   должно   было   бы   быть а loga x2  < а loga x1  или  x2 = x1.   Остается   признать,   что

logax2  > logax1.

Тем самым мы доказали, что при а > 1 функция у = logax является  монотонно возрастающей.

Случай, когда а < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

3-e свойство  логарифмической функции допускает  простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 график функции у = logax  с ростом х все выше и выше поднимается (см. рис. 250), а при а < 1 он с ростом х все ниже и ниже опускается (см. рис.   251).

Следствие. Если логарифмы двух чисел по одному и тому же положительному основанию, отличному от 1, равны, то равны и сами эти числа.

Другими  словами,   из  условия

logax = logay (a > 0, а =/= 1)

вытекает, что

х = у.

Действительно, если бы одно из чисел х и у было больше другого, то в силу монотонности логарифмической функции одно из чисел logax и logay было бы больше другого. Но это не так. Следовательно,  х = у.

Свойство 4. При х =1 логарифмическая функция у = logax принимает значение, равное нулю.

Графически  это означает, что независимо от а кривая у = logax  пересекается с осью х в точке с абсциссой х = 1 (см. рис.   250  и  251).

Для доказательства 4-го свойства достаточно заметить, что  при   любом   положительном а

а0 = 1.

Поэтому   loga 1 = 0.

Свойство 5. Пусть а > 1. Тогда при х > 1 функция у = logax принимает положительные, а при 0 < х < 1 — отрицательные значения.

Если же 0 < а <  1, то, наоборот, при х > 1 функция у = logax принимает отрицательные, а при 0 < х  < 1 — положительные значения.

Это свойство логарифмической  функции также допускает простую  графическую интерпретацию. Пусть, например, а >1. Тогда та часть кривой у = logax, которая соответствует значениям х > 1, располагается выше оси х, а та часть этой кривой, которая соответствует значениям 0 < х  < 1, находится ниже оси х (см. рис. 250). Аналогично может быть интерпретирован и случай,   когда   a < 1   (рис.   251).

5-е свойство  логарифмической функции является  простым следствием 3-го и 4-го  свойств. Для определенности рассмотрим случай, когда а > 1. Тогда по 3-му свойству функция у = logax будет монотонно возрастающей. Поэтому если х > 1,то logax >  loga 1. Но по 4-му свойству loga 1= 0. Следовательно, при х >1  logax > 0. При х < 1 logax <  loga1,  то   есть  logax < 0.

Аналогично  может быть рассмотрен и случай, когда а < 1. Учащимся предлагается разобрать его самостоятельно.

К рассмотренным  пяти свойствам логарифмической  функции мы без доказательства добавим еще одно свойство, справедливость которого наглядно отражается на рисунках 250 и 251.

Свойство 6. Если а >1, то при х —> 0 значения функции у = logax неограниченно убывают (у —> — ∞). Если 0 < а < 1, то при х —> 0 значения функции у = logax неограниченно возрастают (у —>  ∞).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы:

 

1. К.О. Ананченко  "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский  "Методика преподавания в средней  школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь  "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая  лаборатория", М., "Просвещение", 1997г. 

5.Ю.М.Колягин  "Методика преподавания математики  в средней школе", М., "Просвещение", 1999г. 

6.А.А.Столяр "Логические  проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.

 


Информация о работе Логарифмическая функция