Лекции по "Высшей математике"

Знания за пределами математики и доказательной логики состоят из предположений. Предположения, составляющие математические знания, закрепляются доказательными рассуждениями и подкрепляются правдоподобными рассуждениями. Математическое доказательство является доказательным рассуждением, косвенные улики юриста, индуктивные доводы физика, статистические доводы экономиста относятся к правдоподобным рассуждениям. Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо, окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно, условно.

Введение 4
Лекция 1. Основы математической логики 4
Высказывания и логические связки 5
Контрольные вопросы к теме: 7
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 8
Лекция 2. Элементы теории множеств. 8
Основные понятия. 8
Основные операции над множествами 9
Отображения. 11
Отношения эквивалентности и упорядоченности 13
Контрольные вопросы к теме 14
Лекция 3. Числовые множества. 14
Основные понятия 15
Соединения. Бином Ньютона. 16
Комплексные числа 17
Операции над комплексными числами 18
Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. 21
Контрольные вопросы к теме 23
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 24
Лекция 4. Векторы 24
Основные понятия 24
Линейные операции над векторами 25
Проекция вектора на ось 26
Линейная зависимость векторов 27
Базис. Координаты вектора в базисе 29
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении 29
Направляющие косинусы 31
Скалярное произведение 32
Векторное произведение 33
Смешанное произведение 36
Контрольные вопросы к теме 37
Лекция 5. Прямая 38
Основные понятия 38
Взаимное расположение прямых 39
Контрольные вопросы к теме 40
Лекция 6. Плоскость 41
Основные понятия 41
Нормальное уравнение плоскости 42
Взаимное расположение плоскостей 43
Контрольные вопросы к теме 44
Лекция 7. Кривые второго порядка 45
Эллипс 46
Гипербола 49
Парабола 51
Исследование на плоскости уравнения второй степени 52
Контрольные вопросы к теме 53
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 54
Лекция 8. Понятие евклидова пространства. 54
– мерные векторы 54
Коллинеарные векторы 55
Размерность и базис векторного пространства 56
Контрольные вопросы к теме 58
Лекция 9. Матрицы 60
Основные понятия 60
Операции над матрицами 61
Определитель матрицы 62
Ранг матрицы 65
Обратная матрица 67
Контрольные вопросы к теме 69
Лекция 10. *Понятие линейного оператора* 70
Переход к новому базису 70
Линейное преобразование переменных 71
Собственные значения и собственные вектора матриц 71
Контрольные вопросы к теме 73
Лекция 11. Многочлены 74
Основные понятия 74
Теорема о делении с остатком. 74
Теорема Безу. 75
Контрольные вопросы к теме 77
Лекция 12. *Квадратичные формы* 78
Понятие квадратичной формы. 78
Канонический базис квадратичной формы 79
Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы 81
Канонический базис Якоби квадратичной формы . 82
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы 83
Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка. 85
Контрольные вопросы к теме 86
Лекция 13. Системы линейных уравнений 87
Основные понятия 87
Критерий совместности системы линейных уравнений 88
Правило Крамера решения систем линейных уравнений 88
Метод Гаусса 89
Однородные системы уравнений. 90
Разрешенные системы линейных уравнений 90
Контрольные вопросы к теме 92
Лекция 14. *Основы линейного программирования* 93
Линейное программирование 93
Задача линейного программирования 94
Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме. 95
Множества допустимых решений 97
Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками. 98
Теория двойственности. 105
Теоремы двойственности 108
Контрольные вопросы к теме 110
Экзаменационные вопросы 111
Литература 113