Лекции по "Векторной алгебре"

Ещё одна формула для  вычисления скалярного произведения, которой  мы уже раньше пользовались:

(|||||||| 

Определение:

Будем говорить, что два  вектора  и ортогональны, и записывать ^ тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

^«=0

Определение ортонормированного базиса.

Базис , составленный из системы  векторов 

; называется ортонормированным, если вектора попарно ортогональны и длины их равны 1.

;.

Важное  свойство ортонормированного базиса:

В ортонормированном  базисе координаты любого вектора 

=( ,будут находиться по формулам Фурье, а именно:

x₁+x₂+…+x_n ,

₁=( ;  x₂=(;  …; x_n=( 
 
 

Это интересно!

Рассмотрим  систему векторов:  ;, где

=(1,0,…,0)^T; =(0,1,0,…,0)^T; … ;=(0,0,…,0,1).

Проверим, что эти вектора  образуют ортонормированный  базис.

1)detA==1≠0® система линейно независима®базис в Rⁿ по определению.

2)легко проверить, что это ортонормированный базис, т.к.

(

Такой базис будем называть естественным в пространстве Rⁿ

Заметим, что вектор пространства Rⁿ в естественном базисе  имеет разложение:

=a₁ +a₂ +…+a_n

Таким образом, координаты вектора в естественном базисе совпадают  с заданием вектора  в евклидовом пространстве Rⁿ

Например, естественный базис  в пространстве R² - это орты координатных осей ;, при этом разложение вектора в этом базисе записывают: =x +y.

Аналогично, естественный базис в пространстве R³ - это орты координатных осей ;, при этом разложение вектора в этом базисе записывают: =x +y+z 

Пример (аналогичный пример есть в итоговом тесте)

1. Проверить, что данный базис является ортонормированным:

=(2;2;-1)^Т;  =(-1;3;4)^Т;  =(11;-7;8)^Т

Найти координаты вектора  =(1;-2;0)^Т в этом базисе. 
 
 
 

Проверим, что вектора попарно ортогональны.

(=(2*(-1)+2*3+(-1)*4)=0;

( (2*11+2*(-7)+(-1)*8)=0

(=(-1)*11+3*(-7)+4*8)=0

2. Проверим, что этот базис нормированный, т.е. длины векторов равны 1.

|||| ==1; 

||||==1;

 ||||==1 

3. х₁ + х₂ +х₃ - формула разложения данного вектора в ортонормированном базисе.

Координаты  вектора найдём по формулам Фурье:

₁=(=(2*1+2*(-2)+0)=-;

x₂=(=(-1*1+3*(-2)+0)=-;

x₃=(=(11*1+(-7)*(-2))=

Ответ: + - +