Автор: Пользователь скрыл имя, 20 Февраля 2012 в 12:58, реферат
Объектом исследования являются квадратичные функции.
Предмет исследования – квадратичные функции в олимпиадных задачах .
Цель работы: рассмотреть различные олимпиадные задачи с применением квадратичных функций.
Введение…………………………………………………………………….2
1.Определение и свойства квадратичной функции………………………3
а) Определение, теоремы и свойства квадратичной функции……….....3
б) Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена……11
2. Олимпиадные задачи с использованием квадратичной функции……15
Заключение…………………………………………………………………19
Список литературы………………………………………………………...20
то есть графики всех трехчленов проходят через точку (2; 4006).
Задача 6. Изображены графики трех квадратных трехчленов. Могут ли это быть трехчлены ах2 + bх + с, сх2 + ах + b, + сх + а?
Рис. 1.
Решение. Предположим, что могут. Заметим, что значения данных трехчленов в точке х = 1 совпадают (они равны а + b + с). Но из рисунка видно, что каждые две параболы пересекаются в двух точках, причем все шесть точек пересечения различны. Пришли к противоречию.
Ответ: не могут.
Задача 7
Дан график функции у = х + ах + а (рис. 2). Найдите а.
Рис. 2.
Решение.
График касается оси Ох, поэтому , ,
т.е. а = 2и а =. Отсюда а = 0 или а = 4. Но из графика видно, что а 0.
Ответ: а = 4.
Задача 8
Верно ли, что если квадратные уравнения + ах + b = 0 и + сх + d = 0 не имеют корней, то и уравнение не имеет корней?
Решение.
Способ 1.
По условию а2 < 4b, . Покажем, что тогда
Имеем:
Способ 2.
Пусть (х) = х2 + ах + Ь. f2 (х) = х2 + сх + d.
По условию > 0 и f2 > 0 при всех х, так как D, < 0 и D2 < 0. Но тогда и
значит, уравнение f(х) = 0 не имеет корней.
Ответ: верно.
Задача 9 Произведение производных двух квадратных трехчленов при всех значениях переменной больше суммы этих трехчленов. Докажите, что хотя бы один из трехчленов будет принимать и отрицательные значения.
Доказательство.
Если х0 - абсцисса вершины параболы у = f(x), то f'(x) -линейная функция, обращающаяся в нуль при х = х0. Значит, в точке х = х0, где x0 - абсцисса вершины параболы у = , сумма данных трехчленов отрицательна (по условию). Отсюда следует, что в точке х = х0 значение по крайней мере одного из трехчленов отрицательно
Задача 10
Параболы вида у + bх + с проходят через одну точку. Докажите, что вершины всех таких парабол лежат на одной параболе.
Доказательство.
Способ 1. Пусть параболы проходят через точку О(; ). Тогда + b + с, откуда
Вершина каждой из данных парабол имеет координаты :
Значит, yb = , следовательно, вершины парабол лежат на параболе у = хг - 2хах + (уа+ )
Замечание. Вычисления упростятся, если перенести начало координат в точку (х0; у0). Вид данных парабол при таком параллельном переносе не изменится.
Способ 2. Построим параболу П0
вида у = х2 + Ах
+ В с вершиной
в точке О. Пусть V - вершина одной
из данных парабол П. Тогда при симметрии
относительно точки М - середины
отрезка OV - парабола
П переходит в параболу П0 (рис.
3) (парабола однозначно определяется вершиной
и коэффициентом при х2
Заключение
Рассматривая и анализируя различные источники информации, мы пришли к выводу, что задачи с применением квадратичных функций, очень часто встречаются, как на ЕГЭ, так и на вступительных экзаменах в ВУЗы, на олимпиадах по математике.
В силу вышеизложенного материала, можно сделать вывод, что квадратичные функции занимают далеко не последнее место не только в курсе математики, но и в олимпиадах по этому предмету. Поэтому данная тема в настоящее время очень актуальна, и учащиеся должны в полной мере освоить материал по данной теме.
В данной курсовой работе мы рассмотрели задачи на:
Поставленные в начале работы цели и задачи выполнены. Были рассмотрены:
Список литературы
Так же использовались электронные ресурсы:
Информация о работе Квадратичные формы в олимпиадных задачах