Автор: Пользователь скрыл имя, 07 Января 2015 в 11:33, реферат
В данном случае мы поговорим о геометрических фигурах, которые ,на первый взгляд, не представляют собой ничего особенного, и никто не придаст им особого значения, это: эллипс, гипербола, парабола, окружность. По истории, их первым открыл Платон, но в те времена он особо не понимал их значение
1.Введение
2.Кривые второго порядка
3.Эллипс
4.Гипербола
5.Парабола
6.Литература
Московский государственный университет
экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
Кафедра «Прикладная информатика в экономике»
РЕФЕРАТ
по дисциплине: «Математика»
на тему: «Кривые второго порядка»
Выполнил:
Бобылев Александр Сергеевич
Проверил:
Дулина Ксения Михайловна
г. Москва 2014 г
Содержание
1.Введение
2.Кривые второго порядка
3.Эллипс
4.Гипербола
5.Парабола
6.Литература
Самое простое, это знать, что уже было изучено и придумано до нас. Мы знаем как катится колесо, как летит самолёт ,как звучит музыка, этот список можно продолжать сколько угодно... Но самое главное, что почти никто не задумывается, откуда это всё взялось! Есть мнение, что философия является наукой всех наук, возможно так и есть, ведь многие идеи шли из самой древности, и древние философы даже не понимали, что их идеи найдут применение в будущем, и станут революцией в науке! В данном случае мы поговорим о геометрических фигурах, которые ,на первый взгляд, не представляют собой ничего особенного, и никто не придаст им особого значения, это: эллипс, гипербола, парабола, окружность. По истории, их первым открыл Платон, но в те времена он особо не понимал их значение. Максимум, что можно было предположить, что стрела или камень летит по параболе, окружность может предавать в материальном воплощении, удобный способ перемещения... Но, что представляет эллипс или гипербола, никто не знал! А в нынешнем, современном мире, без этого не обойтись. Современная наука стремится выйти за пределы нашей планеты, но как? Тут и находят своё применение эти ,вроде бы, незамысловатые фигуры! Чтобы полететь в космос, необходимо преодолеть притяжение Земли, но если полностью её не преодолеть, то пущенный объект будет двигаться вокруг Земли по эллипсу, не падая и не отдаляясь дальше, преодолев притяжение будет двигаться по параболе, это законы физики, которые не придумали, их открыли, ведь звёзды и планеты существовали много миллиардов лет. Нынешние спутники совершают гравитационные манёвры за счёт притяжения других планет по гиперболе, неужели древние математики, астрономы и физики не знали о значениях их открытий, конечно нет, так же как мы сейчас не знаем, как мы сможем долететь до другой галактики! Наука движется вперёд, но никто не знает, что будет дальше, этот процесс идёт сам
по себе. Сейчас мы рассмотрим то, что уже известно, и каждый сможет понять, значимость этих незамысловатых фигур, которые именуются кривыми второго порядка!
Кривые второго порядка это конические сечения, так как они могут быть получены в результате пересечения конической поверхности с плоскостью, при условии, что плоскость не проходит через вершину конуса. Если угол плоскости с осью конуса больше угла образующего конуса с его осью, то получим эллипс. Если угол плоскости с осью конуса меньше угла образующего конуса с его осью, то получим гиперболу. Если указанные углы равны, получим параболу. Конические сечения и называются кривыми второго порядка! Мы рассмотрели параметрические данные, но на практике нам приходится иметь дело с координатными уравнениями для этих кривых. Поэтому требуется выполнять преобразование из неявного представления в параметрическое и обратно!
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.
Если эллипс описывается каноническим уравнением
где "a" > 0 , b > 0, a > b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.
По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы.
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
С осью OY гипербола не пересекается.
Отрезки a и b называются полуосями гиперболы.
Рис.1
Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
Рис.2
Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты — те прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.
Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
y2 = 2 px
где p > 0 — параметр параболы.
Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе ось абсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат — её вершиной.
Рис.3
Уравнения y2 = −2 px, x2 = 2 py, и x2 = −2 py, p > 0, в той же самой канонической системе координат также описывают параболы:
1. Высшая математика А.Н. Малахов, Н.И. Максюков, В.А. Никишкин 2003 г
2. Высшая математика Овсеец М.И, Светлая Е. М. 2006 г