Кривые и поверхности второго порядка

 
 
 
 
 

Курсовая  работа по линейной алгебре и аналитической  геометрии на тему:

«Кривые и поверхности  второго порядка» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                         Оглавление

1. Цель курсовой работы…………………………………………...3
2. Задача 10.7....…………...……………………..……………3

      Исходные  данные………………………………………………..3

      Метод решения…………………………………………………..3

3. Задача 11.7...…………………………………..……………4

      Исходные  данные………………………………………………..4

      Метод решения…………………………………………………..4

4. Задача 12.7………………………………………..……...…7

      Исходные  данные……………………………………………......7

      Метод решения………………………………………...………...7

5. Выводы………………………………………………………………9

6. Список используемой литературы………………………………..10

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Цель  курсовой работы

      Целью курсовой работы является закрепление  и углубление студентом полученных теоретических знаний и теоретических навыков по изучению и анализу способов приведения квадратичных форм к каноническому виду и построение кривой второго порядка.

      Задача  10.7

      Привести  квадратичную форму к каноническому  виду методом Лагранжа

      Исходные  данные

x₁² + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ - 3x₂² - 6x₂x₃ - 2x₃²

      Метод решения

A = x₁² + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ - 3x₃² - 6x₂x₃ - 2x₃² =

Метод Лагранжа - метод выделения полных квадратов.

= (x₁ + x₂ + x₃)² - 3x₂² - 6x₂x₃ - 2x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - (2x₂ + 3x₃/2)² - x₃² - 3x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - (2x₂ + x₃)² - x₃²

Преобразование:   x₁^| = x₁ + x₂ + x₃,   x₂^| = 2x₂ + x_3,   x₃^| = x₃,

Получим канонический вид для квадратичной формы:

A = x₁^{| 2} - x₂^{| 2} - x₃^{| 2}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задача  11.7

      Привести  квадратичную форму к каноническому  виду ортогональным преобразованием

      Исходные  данные

 4x₁² + 4x₂² + x₃² + 2x₁x₂ - 4x₁x₃ + 4x₂x₃

         

      Метод решения

Матрица квадратичной формы имеет вид

A = .

Найдем собственные  числа этой матрицы, для этого  решим характеристическое уравнение  вида: .

= 0

В результате получим  собственные числа: ₁ = -1,  ₂ = 5,

₃ = 5.

 Соответствующие  собственные векторы найдем из  условия:

(A - E)X = 0 .

 1) ₁ = -1                                                            

                             

                    

 
 

                                        Rg A = 2

        Будем считать x₁, x₂ – базисными переменными , x₃ – свободной переменной. Пусть x₃ = const = c.

                 x₂ = c        x₁ = ,

       Получим собственный вектор матрицы, соответствующий  собственному числу = -1:                                                            

                                               f₁ = ( c,  c,  c)

|f₁|=

e₁=(3/ ; ; 10/ ) – ортонормированный собственный вектор. 

2) = 5

                          

                                                   Rg A = 1

Будем считать x₁ – базисной переменной, х₂, x₃ – свободные переменные. Пусть x₂=c₁, x₃=c₂, x₁= c₁ - 2 c₂,

x₂=0, x₃=1, x₁= -2;

Получим собственный вектор матрицы, соответствующий  собственному числу  = 5:

f₂ =(-2,0,1),  

|f₂|= ,

e₂=(-2/ ; 0; 1/ ) – ортонормированный собственный вектор.

x₂=1, x₃=0, x₁= 1;

f₃ =(1,1,0),  

|f₃|= ,

е₃=(1/ ; 1/ ; 0)– ортонормированный собственный вектор.

И,  следовательно, ортогональная матрица -

       U = , 

столбцы данной матрицы являются координатами ортонормированного базиса, в котором  матрица А имеет диагональный вид, и, следовательно, квадратичная форма  – искомый канонический вид.    

Теперь  транспонируем ортогональную матрицу:

      U^T=

В  базисе (e₁, e₂, e₃)  заданная квадратичная форма имеет вид

  A(x,x) = -x₁^{| 2} + 5x₂^{| 2} + 5x₃^{| 2} , а соответствующее преобразование координат

                   x₁ = 3/ x₁^| - 2/ x₂^| + 1/ x₃^|

                   x₂ = 5/ x₁^|  + 1/ x₃^|

                   x₃ = 10/ x₁^| + 1/ x₂^|

                        

      Задача  12.7

Исследовать кривую второго порядка и построить ее

      Исходные  данные

-x²- y²-4xy - 4x - 2y + 2 = 0

      Метод решения

Матрица квадратичной части многочлена  второй степени равна 

,   характеристическое уравнение   = 0.

Решим уравнение и найдем собственные числа матрицы:

(1+l)² – 4 = 0

(1+l)²  = 4

1+l  =  2

l₁=1,   l₂= -3   -   собственные числа матрицы квадратичной формы.

Найдем  собственные векторы матрицы, для  этого решим систему уравнений

(A-lE)Х = 0.

1) l₁=1

                   

Отсюда  x₁ = -x₂.

Rg A=1; x₁=1, x₂= -1

₁ = (1,-1)  - собственный вектор, соответствующий собственному числу     l=1, ему соответствует ортонормированный вектор   ₁ = (1/ ; -1/ ).

2) l₂= -3

                      

Отсюда  x₁ = x₂.

Rg A=1; x₂=1, x₁=1

₂ = (1,1) –собственный вектор матрицы, если  l=-1, ему соответствует ортонормированный вектор   ₂ = (1/ ; 1/ )

Выполняя  преобразование :

x = 1/ x^|  + 1/ y^|

y = -1/ x^| + 1/ y^|,

Применяя  подстановку в исходное уравнение  и выполняя алгебраические преобразования, получаем:

(x^| – 1/ )² – 3(y^| + 1/ ) ² + 3 = 0.

Замена  переменных :  y^|| = y^| + 1/ и x^||=x^| + 1/ , соответствующих сдвигу по каждой из координатных осей, позволяет получить:

x^{|| 2} - 3y^{|| 2} + 3 = 0

y^{|| 2} – 1/3 x^{|| 2} = 1

Это уравнение  определяет каноническое уравнение  гиперболы, с полуосями a= , b=1, ветви пересекают OY.

Результирующее  преобразование координат имеет  вид

x = 1/ (x^|| + y^||)                    y = 1/ (-x^|| + y^||) - 1,

Каноническая  система координат (О^|,е₁,е₂), где O^|(0,-1),

е₁=1/ i - 1/ j , е₂=1/ i + 1/ j

      

                                          Выводы

      Теоретические знания и навыки исследования и анализа способов приведения квадратичных форм к каноническому виду могут применяться при построении кривых второго порядка.

      Список  используемой литературы

1. Сборник задач  по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического  анализа.  Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1981.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 – х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов. – 5 – е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1999.
3. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А., Решебник. Высшая математика. –М.: Физматлит, 2000.

          4.      Беклемешев Д.В. Куpс аналитической геометpии и линейной алгебpы., М.: Hаука, 1984.

          5.       Бугpов Я.С., Hикольский С.М. Элементы линейной алгебpы и аналитической геометpии. М.: Hаука, 1980.