Криволинейный интеграл первого рода

Федеральное агентство  по образованию 

ГОУ ВПО «Тверской  государственный  университет»

  Факультет прикладной  математики и кибернетики 

Кафедра вычислительной математики

Направление «Прикладная информатика»  
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине: «Математический анализ»

тема: «Криволинейный интеграл первого рода»

                       
 

Выполнила:

Бычкова София  Витальевна

 Группа  №22

Руководитель:

Капитонова  Нина Александровна

Оценка 
 
 
 

Тверь 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.1 Определение криволинейного интеграла 1-го рода. Теорема существования криволинейного интеграла 1-го рода……………………………

1.2 Свойства криволинейного интеграла 1-го рода………………………

1.3 Вычисление  криволинейного интеграла 1-го  рода……………………….

1.4 Механические приложения криволинейного интеграла…………………….

2.Практическая часть

Заключение………………………………………………………...

Список использованных источников …………………………………………………………….. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.1.Определение криволинейного интеграла первого рода

Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 1), на которой определена и непрерывна скалярная функция f (x, y, z). Рис.1.

Выполним следующие  действия:

1) разобьем дугу  АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS₁, ΔS₂, ..., ΔS_I, ..., ΔS_N Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг (при λn → 0, n→ ∞ ).

2) выберем произвольным образом точки

3)составим интегральную  сумму вида 

 здесь под ΔS_i понимаем длины частичных дуг.

Определение. Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги ΔS_i(i=1,...,n) и от способа выбора точек N_I(x_I,y_I,z_I) ΔS_I(i=1,...,n) называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от  f (x, y, z) по дуге АВ и обозначается

Из определения  криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е. (2).

Теорема существования. Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.(3)

  Случай замкнутой  кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую принято называть контуром и обозначать кружочком на знаке интеграла: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

1. 2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

1. Линейность:

2. Аддитивность: если  в одной точке, то

3. Монотонность: если  на l, то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль l функции f:

Очевидно, что: .

5. Изменение направления  обхода кривой интегрирования  не влияет на знак интеграла: .

6. Криволинейный  интеграл первого рода не зависит  от параметризации кривой.(4)

7. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то (3)

8. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то

9. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то  

1.3. Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями  , где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = a, а точке В соответствует t = b. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

     Для  любой точки М (х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле

:

  Длина всей кривой АВ равна:

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

   Таким образом,  для вычисления криволинейного  интеграла первого рода (по длине  дуги АВ) надо, используя параметрическое  уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t. 
 
 
 
 
 
 

1.4.Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

Криволинейный интеграл I рода относится к «массовым» интегралам, так как имеет механическую трактовку «масса линии», аналогичную трактовке двойного интеграла как «массы плоской фигуры» и тройного интеграла как «массы трёхмерного тела». Поэтому этот криволинейный интеграл имеет механические приложения, аналогичные механическим приложениям двойного и тройного интеграла: вычисление массы, статических моментов, моментов инерции и координат центра масс линии l.

Из геометрических приложений криволинейного интеграла I рода наиболее важным является вычисление длины дуги (AB). Формула для вычисления длины дуги линии с помощью криволинейного интеграла I рода имеет очень простой вид: (5).

  Длина кривой:

Если p=p(x,y,z)-линейная плоскость в текущей точке(x,y,z)кривой С, то масса кривой С равна

Координаты  центра масс(x₀,y₀,z₀)этой кривой выражаются формулами x₀=  xp(x,y,z)ds, y₀=  yp(x,y,z)ds, z₀=  zp(x,y,z)ds.(1)

Моменты инерции кривой l относительно координатных осей: ,

  ,

.

Работа  силы вдоль кривой l вычисляется по формуле : .

2.Практическая  часть

1.Вычислить ∫_с(x+y)ds,где С-контур треугольника с вершинами О(0,0),А(1,0) и В(0,1).

Решение: ∫_с(x+y)ds=∫_оа(x+y)ds+∫_ав(x+y)ds+∫_со(x+y)ds=∫₀¹xdх+∫₀¹√2dх+∫₀¹ydу=1+√2. (1)

2. Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

Решение:

3. Вычислить интеграл , где C − дуга окружности

Решение:

Запишем дифференциал дуги кривой: Тогда, применяя формулу

в плоскости Oxy, получаем

4. Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением

Решение:

Используем формулу 

       

 Получаем,

       

 Следовательно,   

       
 
 

      

        
 
 
 
 

Список  литературы

1.Сборник задач и упражнений по математическому анализу/Б.П.Демидович. ООО «Издательство Астрель»,2002,с.414-416

2. URL: http://vm.psati.ru/online-math-sem-2/page-3-01.html

3. URL :http://www.math24.ru/line-integrals-of-first-kind.html

4.Википедия url: http://ru.wikipedia.org/wiki

5. http://ивтб.рф/matan/3/5.htm