2. Построим  вариационный ряд:

 

Выборочные  характеристики:

 

1. Выборочное  среднее - оценка математического ожидания M[X].
2. Выборочная дисперсия  - оценка дисперсии D[X].

 

    Вычислив, получаем: = 52,136,

                           =84,691.

                           Среднее квадратическое отклонение σ = 9,203.  
 

3. Построение  гистограммы и  выборочной функции  распределения.

 

Построение  гистограммы. 

Найдём максимальный и минимальный элементы выборки:  
 

Xmin = 33 

Xmax = 79,3 
 

Для построения гистограммы разобьем отрезок на К= 7. Длину каждого интервала можно рассчитать по формуле 

d = 6.61429 
 

Для расчёта  длины интервала достаточно прибавить d к концу предыдущего. В итоге интервалы будут иметь следующий вид: 

1. [33; 39.61429)
2. [39.61429; 46.22857)
3. [46.22857; 52.84286)
4. [52.84286; 59.45714)
5. [59.45714; 66.07143)
6. [66.07143; 72.68571)
7. [72.68571; 79.3]

 
 

Вычислим N-вектор, компоненты которого равны количеству попаданий элементов выборки в каждый из интервалов: 

N = (6  6  16  9  11  1   1). 

Проверка: _. 

Вычислим -вектор частот попадания в каждый интервал по формуле

 =n_i /n, где i=1,2,…,K. 

= (0.12  0.12  0.32  0.18  0.22  0.02  0.02). 
 

Вычислим вектор высот столбцов в гистограмме  по формуле h=/d=: 

h = (0.018  0.018  0.048  0.027  0.033  0.003  0.003). 

Сумма площадей равна 1).

Доказательство: = 1.

 

 
 

Построение  выборочной функции  распределения. 

Выборочная функция  распределения имеет ступенчатый  вид и представляет собой отрезки  прямых на каждом из интервалов. длинны отрезков зависят от расстояния между  элементами вариационного ряда. Скачок  рассчитывается в зависимости от количества элементов выборки: l=1/n. В нашем случае получается 0,002.  Сумма скачков равна единице. 

4. Формулировка  гипотезы о теоретическом  законе распределения  и нахождение оценок параметров выбранного закона распределения.

 
 

Исходя из вида гистограммы, следует предположить нормальный (гауссовский) закон распределения  случайной величины с параметрами :

. 

Тогда математическое ожидание и дисперсия будут иметь вид: 

М(Х)= μ

D(Х)= σ² 

То есть μ = 52,136 и σ²=84,691. 

X~N(μ; σ² ). 

5. Проверка  гипотезы о соответствии выбранного закона распределения  с помощью критерия Пирсона.

 

Так как распределение  – гауссовское, значения для формулы  хи-квадрата можно вычислить по таблицам значений функции Лапласа. Функция распределения нормальной величины выражается через функцию Лапласа следующим образом:

. 

Получаем вектор вероятностей: 

p = (0,07  0,17  0,27  0,26  0,15  0,05  0,01) 

∑p_i  = 0,98. 

Сравним с вектором частот, являющимся оценкой вектора  вероятностей: 

= (0.12  0.12  0.32  0.18  0.22  0.02  0.02) 

∑_i  = 1. 

Построим статистику :   
 
 

G = 7,49. 

Число интервалов разбиения K=7, число оценённых параметров 2, поэтому величина G имеет распределение χ²(К-2+1) = χ²(6). Заданные уровни значимости 0,05 и 0,1. По таблицам распределения χ² (таблица квантилей) находим G критическое: 
 

Для уровня значимости 0,05 =12.59. Так как G<G_крит, то гипотезу Н₀: X~N(m; σ² ) можно принять для уровня значимости 0.05 

Для уровня значимости 0.1 =10.64. Так как G<G_крит, то гипотезу Н₀: X~N(m; σ² ) можно принять для уровня значимости 0.1. 

 

 
 

Список  используемой литературы 

      1.Конспект лекций преподавателя Панкова Алексея Ростиславовича

      2. Болдин М. В. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. Лабораторные работы. М.: МАИ, 1992.

      3. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1992.

      4. Кибзун А.И., Наумов А.В. Лекции по теории вероятностей. М.: МАИ, 2000. 

 

Содержание:

Теоретическая часть 2

1. Основные непрерывные распределения: равномерное, экспоненциальное, нормальное. 2

2. Распределение ХИ-квадрат. 5

3. Выборка , вариационный ряд,выборочная (эмпирическая) функция распределения и гистограмма. 5

4.Точечные оценки и метод максимального правдоподобия 6

5. Проверка статистической гипотезы о законе распределения по критерию хи-квадрат Пирсона. 8

Практическая часть. 9

1. Исходные данные  9

2. Вариационный ряд (выборочные характеристики) 10

3. Построение гистограммы и выборочной функции распределения. 10

4. Формулировка гипотезы о теоретическом законе распределения и нахождение оценок параметров выбранного закона распределения. 12

5. Проверка гипотезы о соответствии выбранного закона распределения с помощью критерия Пирсона. 13

Список литературы 16