Контрольная работа по "Высшей математике"

Содержание

 

Задание 1 3

Задание 2 5

Задание 3 6

Задание 4 7

Задание 5 9

Задание 6 10

Задание 7 11

Задание 8 12

Задание 9 13

 

 

 

Задание 1

 

Проверить совместность системы уравнений  и, в случае совместности, решить ее:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью  обратной матрицы (матричным методом);

в) методом  Гаусса.

.

 

Решение

 

1. Вычислим:

- система совместна;

 

 

 

Найдем x, y, z по формулам Крамера:

.

Итак, получаем ответ (3;-2;1).

2. Составляем матричное уравнение , где , , .

Найдем все алгебраические дополнения матрицы A:

 

 

 

 

 

Составляем матрицу  и транспонируем ее: .

Запишем обратную матрицу:

.

Следовательно,

.

Итак, получаем ответ (3;-2;1).

3. Решим систему методом Гаусса:

.

Тогда

Ответ: (3;-2;1).

 

Задание 2

 

По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:

а) модуль вектора ; б) скалярное произведение векторов и ; в) проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении : , и , , , , , , .

 

Решение

 

Найдем  векторы ,

,

1. .
2. .
3. Проекция вектора на вектор равна:

.

Тогда .

4. Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении , находятся по формулам:

,

,

.

Значит, M(;;).

 

Задание 3

 

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе: (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0), (33;-4;23;3).

 

Решение

 

Векторы (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0) образуют базис, так как .

Обозначим координаты вектора  в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:.

, получим систему уравнений:

.

Вычислим:

- система совместна;

 

 

Найдем x, y, z, q по формулам Крамера:

;

.

Итак, получаем ответ . 

Задание 4

 

Даны вершины , и треугольника.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.

 

Решение

 

 

Рисунок 1

 

1. ;
2. ; .

По теореме косинусов: .

Тогда угол A равен 29,5.

3. Уравнение стороны АВ запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А(), В():

.

Тогда .

Уравнение прямой АВ примет вид: .

Так как СН перпендикулярна АВ, то .

 

 

Тогда .

4. Так как CM – медиана, то точка M – середина AB. Значит, , или .

Уравнение прямой CM примет вид: .

5. Уравнение стороны АС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А(), С():

.

Тогда .

Уравнение прямой АС примет вид: .

Так как BK перпендикулярна АC, то .

 

 

Тогда .

Прямые  BK и CH пересекаются в точке O, найдем ее координаты. Для этого решим систему:

.

Тогда O(0;5) – точка пересечения высот исходного треугольника.

6. Прямые AB и CH пересекаются в точке H, найдем ее координаты. Для этого решим систему:

.

Тогда H(). Значит, .

7. Уравнение стороны BС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки B(), С():

.

Тогда .

Уравнение прямой BС примет вид: .

Cистемa линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС, примет вид:

.

 

Задание 5

 

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка  перпендикулярно к этому отрезку, если , .

б) Найти координаты точки пересечения  прямой с плоскостью .

 

Решение

 

а) ;

;

 – уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно вектору (отрезку ).

б) ;

 

t=-2

Отсюда  координаты точки пересечения прямой и плоскости (-3;-4;0).

 

Задание 6

 

Найти пределы:

а) ;

б)

;

в) ;

г) .

 

Задание 7

 

а) Найти  производные указанных функций:

;

б) Найти  производную неявно заданной функции:

;

;

;

;

в) Найти  производные функций, используя  логарифмическую производную:

 

 

 

;

.

 

Задание 8

 

Исследовать функцию и построить ее график: .

 

Решение

 

1. Область определения функции .
2. Функция ни четная, ни нечетная; непериодическая.
3. График функции пересекает ось Oy в точке , точки пересечения с Oх – ; .
4. Производная функции равна . Точки, подозрительные на экстремум: ; x=0, х=2.

При , тогда функция возрастает;

при – функция убывает;

при , тогда функция возрастает.

Следовательно, в точке  функция достигает своего максимума ; в точке функция достигает своего минимума .

5. . Вторая производная существует всюду и всюду конечна: она обращается в нуль при .

При – функция выпуклая, при – функция вогнутая. При переходе через точку вторая производная меняет знак, значит, в соответствующей точке имеется перегиб.

6. Функция не имеет асимптот.
7. Инструментами программы MathCad построим график заданной функции:

 

 

Задание 9

 

Мотком  проволоки длиною 20 м требуется огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. При каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей?

 

Решение

 

Площадь клумбы (кругового сектора) равна , где .

Длина дуги, ограничивающей сектор, равна .

Тогда . Отсюда .

Получаем  функцию .

Вычислим  производную первого порядка: .

Найдем  R из уравнения : .

При , тогда функция возрастает;

при – функция убывает. Следовательно, в точке функция достигает своего максимума .

Таким образом, радиус круга должен быть равен 5 м, чтобы площадь клумбы была наибольшей.

Ответ: 5 м.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 1977, 872 с. с илл.
2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. – М.: Издательство «Наука» (Главная редакция физико-математической литературы), 1966. – 576 с. с илл.
3. Гусак, А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: ТетраСистемс, 1998.
4. Гусак, А.А. Справочное пособие по высшей математике /А.А.Гусак, Г.М.Гусак, Е.А.Бричикова – 4-е изд. Стереотип. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
5. Кузнецов, А.В., Кузнецова, Д.С., Шилкина. Е.И. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Общий курс. Учебное пособие. Мн., Выш. шк., 1994 г. 284 с.
6. Руководство к решению задач по высшей математике: Учеб.пособие . В 2ч. Ч.1,2 /Г.И.Гурский, В.П.Домашов, В.К.Кравцов, А.П.Сильванович; Под общ.ред. Г.И.Гурского – Мн.: Высш.шк., 1990.