Контрольная работа по "Высшей математике"

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Задание №5

 

А=

 

В=

 

Найти сумму матриц и их произведение.

А+Б=

		1·3 + 1·5	1·(-2) + 1·(-1)	1·0 + 1·(-7)		=
		1·5 + 1·2	1·(-4) + 1·4	1·0 + 1·1

 

 

=		8	-3	-7
		7	0	1

 

 

C = A·B

3   -2   5   -4

·

5   -1   -7   2   4   1

=

 

=		11	-11	-23
		17	-21	-39

 

 
Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом: 
C_1,1 = A_1,1 · B_1,1 + A_1,2 · B_2,1 =  
= 3 · 5 + (-2) · 2 = 15 + (-4) = 11 
 
C_1,2 = A_1,1 · B_1,2 + A_1,2 · B_2,2 =  
= 3 · (-1) + (-2) · 4 = (-3) + (-8) = -11 
 
C_1,3 = A_1,1 · B_1,3 + A_1,2 · B_2,3 =  
= 3 · (-7) + (-2) · 1 = (-21) + (-2) = -23 
 
 
C_2,1 = A_2,1 · B_1,1 + A_2,2 · B_2,1 =  
= 5 · 5 + (-4) · 2 = 25 + (-8) = 17 
 
C_2,2 = A_2,1 · B_1,2 + A_2,2 · B_2,2 =  
= 5 · (-1) + (-4) · 4 = (-5) + (-16) = -21 
 
C_2,3 = A_2,1 · B_1,3 + A_2,2 · B_2,3 =  
= 5 · (-7) + (-4) · 1 = (-35) + (-4) = -39

 

Задание №15

Найти производные функции

А) y=2*

 = 16x²(-2+x³)/y².

 

 

 

В) y=x²*sin³x 

 

.

 

С) y=ln(x²+5x+)

 

D) y=arcsin

.

 

Задание №5

Вычислить пределы функций

 

А) = = 0

b) = -.

С) = -2.

D) =.

 

Задание №25

Исследовать функцию и  построить ее график

Y=

 

 

Задание №35

Найти неопределенные интегралы

 

a)

 

 

b)

 

 

c) = .

 

 

 

 

 

 

Задание №45

Вычислить определенные интегралы

 

А) dx

 

 

Б)

 

 

Задание №55

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Y=2-x²  и y=x²

Сначала составим уравнение  касательной к параболе у = 2х² – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х₀ = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки  касания: у₀ = 2 · 2² – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение  касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х² – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г_у =  2х² – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение  2х² – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x_b = -b/2a;

x_b = 2/4 = 1/2;

y_b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Имеем: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S_ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S_ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

Далее:

S_OABC = ʃ₀²(2x² – 2х + 1)dx = (2x³/3 – 2х²/2 + х)|₀² = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

 

 

 

 

 

 

Задание №65

Найти частные производные  первого порядка

А) z=y*

 

 

Б) z=sin(x-)

 

 

 

 

Задание №75

Найти экстремум функции  двух переменных

Z(x,y)=5x²-4xy+y²+2x+6

 

Задание №85

Найти решение дифференциального  уравнения с разделяющими переменными

xy*y^’=1-x²