Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольная работа № 1

Вариант 7

Задание 1-10. Даны три комплексных числа и

1) выполните действия над ними в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние между точками и на комплексной плоскости.

7.           

Решение:

1. Найдем значение в алгебраической форме

 

 

 

 

 

Найдем значение в тригонометрической форме

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем значение в показательной форме

  

 

 

 

2. Найдем  расстояние между точками  на комплексной плоскости

 

 

 

Задания 11 – 20. Решите уравнение на множестве комплексных чисел.

17.

 

 

 

    

    

 

Ответ  

 

Задания 21 – 30. Решите систему уравнений тремя способами:

1) методом Крамера;

2) методом обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

27

Решим систему  уравнений методом Крамера

Для решения  системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

 

Так как  данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.

 

 

 

 

Тогда решение  системы находим по формулам:

 

   

 

Решим систему  уравнений методом обратной матрицы

 

  определяем определитель

 

  X Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В. Т.к. матрица невырожденная (Δ=-6), то X = A^-1B.

Вычислим  обратную матрицу 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда   

Получим

 

 

 

 

Решим систему  уравнений методом Гаусса

 

 поменяем местами  третью и первую строчку

 умножим первую строчку  на (-2) и прибавим 2 строку, умножим  первую строчку на (-3) и прибавим  третью строку 

 

меняем местами вторую строку и третью

находим X₃

подставляем x₃ во вторую строчку и получаем

 подставляем x₃ и x₂ во первую строчку и получаем

 

 

Ответ: X₁=3 X₂=1 X₃=-3

 

Задания 31 – 40. Даны три вектора и Докажите, что векторы образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.

 

37.        

Векторы a, b, c образуют базис в пространстве R³ в том случае, если равенство aa + bb + gc = 0 выполняется лишь тогда, когда a = b = g = 0.

Рассмотрим это условие:

a(1;-1;-2) + b(2;1;-1) + g(3;-4;1) = (0;0;0) или

 умножаем первую  строку на 3 и слаживаем ее со  второй строкой, умножаем первую  строку на (-2) и слаживаем ее  с третей строкой

умножаем вторую строку на 8/11 и складываем ее с третей строкой

 следовательно

Значит, векторы a, b, c образуют базис.

Найдем  смешанное произведение векторов

 

Cмешанное произведение векторов не равно 0, то образуют базис, и так как <0,  то  тройка векторов является левой.

 

Задания 41 – 50. Даны координаты вершин треугольной пирамиды Найдите:

1) угол между ребрами и

2) площадь грани

3) длину высоты, опущенной из вершины на грань

4) уравнение прямой, проходящей через ребро

5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань

6) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотностью (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

47.          

 

1. Известно, что косинус угла  меду двумя векторами  и определяется по формуле

Координаты  векторов (-1; -3;2) , (-1; -3; 1)

 

2. Находим площадь грани

    где   (-2; 1; 1)

 

 тогда площадь

 

3. Длинна высоты, опущенной из вершины  на грань

 

4. уравнение плоскости, которой принадлежит грань 

 

 

 

Получим

(x-3)*((-3)*1-2*1)-(y-2)*((-1)*1-2*(-2))+(z-1)*((-1)*1-(-2)*(-3))=-5x+15-3y+6-7z+7=-5x-3y-7z=0

5. уравнение прямой проходящей через ребро

 

 

 

6. Вычислить объем пирамиды 

 

 

Масса материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотностью

 

Задания 51 – 60. Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением:

1) на плоскости;

2) в пространстве.

 

57.

1)  

 

  вершина параболы (-3;1)    а пересекает OY в точки 28

 

 

 

 

 

2) в пространстве 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

Задания 61 – 70. Найдите пределы последовательностей.

 

67.  а)     в)

б)

a) 

б) 

в)

 

 

 

 

Задания 71 – 80. Найдите производную заданных функций.

77.  а)      в)

б)

 

1. *

        в) 

 

Задания 81 – 90. Найдите предел функции:

1) не пользуясь правилом Лопиталя;

2) используя правило Лопиталя.

87.

Используя Лопиталя

 

Не использую  правило Лопиталя

 

Задания 91 – 100. Дана функция

1) вычислите все частные производные первого порядка;

2) найдите производную в точке по направлению вектора

3) найдите

97.         

Решение.

1) вычислим  частные производные

 

 

 

 

2) найдем производную в точке M₀

 

 

 

 

3) найдем

 

 

 

 

Задания 101 – 110. Дана функция Вычислите значение ее частной производной четвертого порядка в точке

107.      

 

 

 

 

 

Задания 111 – 120. Найдите неопределенные интегралы.

117.  а)   в) б)  г)

А)

Б)

 

 г) )+C