Контрольная работа по "Высшей математике"

Задача 1

 

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

 

 

 

а) за формулами Крамера:

 

 

Запишемо систему у вигляді:

 

B^T = (-2,1,-9)

Головний визначник:

∆ = 4 • (1 • 1-(-2 • 0))-1 • (-1 • 1-(-2 • (-2)))+3 • (-1 • 0-1 • (-2)) = 15 = 15

Замінимо 1-ий стовпець матриці  А на вектор результату В..

 

Знайдемо визначник  отриманої матриці.

∆₁ = -2 • (1 • 1-(-2 • 0))-1 • (-1 • 1-(-2 • (-2)))+(-9 • (-1 • 0-1 • (-2))) = -15

 

Замінимо 2-ий стовпець матриці  А на вектор результату В..

 

Знайдемо визначник  отриманої матриці.

∆₂ = 4 • (1 • 1-(-9 • 0))-1 • (-2 • 1-(-9 • (-2)))+3 • (-2 • 0-1 • (-2)) = 30

 

Замінимо 3-ий стовпець матриці  А на вектор результату В..

 

Знайдемо визначник отриманої матриці.

∆₃ = 4 • (1 • (-9)-(-2 • 1))-1 • (-1 • (-9)-(-2 • (-2)))+3 • (-1 • 1-1 • (-2)) = -30

 

Випишемо окремо знайдені змінні Х

 

 

 

Перевірка.

4•-1+-1•2+-2•-2 = -2

1•-1+1•2+0•-2 = 1

3•-1+-2•2+1•-2 = -9

 

 

б) методом повного  виключення:

 

 

Запишемо систему у вигляді:

 

Для зручності обчислень  поміняємо місцями рядки:

 

Помножимо 1-й рядок  на (3). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-й:

 

Помножимо 2-й рядок на (4). Помножимо 3-й рядок на (-3). Додамо 3-й рядок до 2-й:

 

Додамо 2-й рядок до 1-й:

 

З 1-го рядка висловлюємо x₃

 

З 2-го рядка висловлюємо x₂

 

З 3-го рядка висловлюємо x₁

 

 

 

 

Завдання 2

 

Розв’язати системи  методом повного виключення. Зробити  перевірку.

 

а) 

 

 

Запишемо систему у вигляді:

 

Для зручності обчислень  поміняємо місцями рядки:

 

Помножимо 1-й рядок  на (2). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-й:

 

Помножимо 2-й рядок  на (2). Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-й:

 

Додамо 2-й рядок до 1-й:

 

Необхідно змінні x₃,x₄  прийняти як вільних змінних і через них висловити інші змінні.

прирівняємо змінні x₃,x₄  до 0

З 2-го рядка висловлюємо x₂

 

З 3-го рядка висловлюємо x₁

 

 

 

 

б)

 

Запишемо систему у вигляді:

 

Для зручності обчислень  поміняємо місцями рядки:

 

Помножимо 1-й рядок  на (3). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-й:

 

Помножимо 2-й рядок  на (4). Помножимо 3-й рядок на (-3). Додамо 3-й рядок до 2-й:

 

Додамо 2-й рядок до 1-й:

 

Необхідно змінну x₃  прийняти як вільної змінної і через неї висловити інші змінні.

прирівняємо змінну x₃  до 0

З 2-го рядка висловлюємо x₂

 

З 3-го рядка висловлюємо x₁

 

Задача 3

 

Дано три точки А, В, С. Знайти:

 

1) напрямні косинуси  вектора  ;

 

 

 

2) кут між векторами  і

 

А(2; -1; 2) ;  В(3; 0; 1);    С(-1; 2; 1); 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

Дано вершини трикутника АВС. Знайти рівняння сторони ВС, медіани  СМ, висоти AN, прямої   AD, що паралельна стороні ВС. Зробити рисунок у декартовій системі координат.

 

А(2; -1) В(6; 3) С(0; 5)

 

 

 

а) рівняння сторони ВС:

 

 

 

б) рівняння висоти AМ:

 

 

 

в) рівняння медіани СN:

 

 

 

 

 

Задача 5

 

Обчислити границі функції:

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6

 

Обчислити похідну функції:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури

 

1.   Бахвалов С.В., Бабушкин М.И., Иваницкая В.П.  Аналитическая   геометрия. – М.: Просвещение, 1970.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.:   Наука, 1985.

3.  Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Сборник задач по  математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа: В 2-х частях. - М.: Наука, 1981.

4. Будкіна Т.В., Вища  математика, ч.1., К., «Унів. економ. та  права»КРОК»»-2005.

5. Будкіна Т.В., Вища  математика, ч.2., К., «Унів. економ. та  права»КРОК»»-2006.

6. Іваненко Т.В., Вища математика, ч.3., К., «Унів. економ. та права»КРОК»»-2009.

7.  Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч. посібник. У 2-х  ч -К.: КНЕУ, 2001.

8.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х частях. - М.: Высшая школа, 1999.

9.  Дюженкова Л.І., Дюженкова О.Ю., Михалін Г.О. Вища математика:  Приклади і задачі/Посібник. – Київ: ВЦ «Академія», 2002.

10.  Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики. -М.: Наука,  1977.-352 с.

11.  Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1964.