Контрольная работа по "Высшей математике"

1) Вычислить  предел:

Решение:

Домножим числитель и  знаменатель на , в результате в числителе получим формулу разность квадратов.

Ответ:

2) Найти производную:

Решение:

Ответ:

3) Найти полный дифференциал:

Решение:

Найдем частные производные:

 

Ответ:

4) Исследовать  функцию при помощи производной:

Решение:

Область определения функции:

Исследуем функцию с помощью  производных на возрастание, убывание, экстремумы, выпуклость, вогнутость и  точки перегиба.

:

- критическая точка

Определим знаки производной:

Т.о. - точка максимума,

Функция возрастает при  , убывает при

Т.к. на всей области определения то график функции выпуклый, точек перегиба нет.

 

 

 

5) Вычислить интегралы:

;

Решение:

Применим метод  интегрирования по частям:

 

Преобразуем подынтегральную  функцию используя тригонометрические формулы:

 

6) Найти площадь фигуры:

,

Найдем  :

Ответ:

7) Решить дифференциальное  уравнение:

, при

Решение:

Уравнение с  разделяющимися переменными

 

Т.к. при

То

Т.о.

Ответ:

 

8) Движение двух тел заданы уравнениями

Найти ускорения тел в  тот момент времени, когда их скорости равны.

Решение:

Найдем момент времени, когда  скорости будут равны.

Т.к. скорость это первая производная то получаем уравнение:

Скорости будут равны  в момент времени 

 

Найдем ускорения тел  в момент времени

Ускорение это вторая производная

Ответ: .