Контрольная работа по "Теории вероятности"

D(X) = M(X ²) – M ²(X) = 2,7 – 0,5² = 2,7 – 0,25 = 2,45

Среднее квадратическое отклонение находим  по определению: s(X) = 1,57.

 

Задача 6: По данному закону распределения дискретной случайной величины Х найти числовые характеристики: а) математическое ожидание М(Х); б) дисперсию D(X).

хi	p/3	p/2	3p/4	5p/4
pi	0,1	0,7	0,05	0,15

Решение:

а) Математическое ожидание дискретной случайной величины Х определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

=  0,1 +  ×0,7 +  ×0,05 + ×0,15 = 

= p 0,1 +  ×0,7 +  ×0,05 + ×0,15  » 0,61p.   Или   M(X) = 0,61×3,14 = 1,91.

б) Дисперсию удобно вычислять  по формуле D(X) = M(X ²) – M ²(X), где

=  0,1 +  ×0,7 +  ×0,05 + ×0,15 

= p² = 0,45 p². 

Таким образом дисперсия дискретной случайной величины Х равна

D(X) = M(X ²) – M ²(X) = 0,45p² – (0,61p)² = 0,45p² – 0,37p² = 0,08p².

Среднее квадратическое отклонение находим  по определению: s(X) = 0,28p.

ТЕМА 3:

Cлучайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а  и средним квадратическим отклонением s. Найти: а) вероятность попадания случайной величины в интервал (х₁; х₂);

б) величину интервала d, в который с заданной вероятностью Р попадает значение случайной величины Х: .

Решение (1): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (3; 9) равна = Ф(2) – Ф(–1).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(2) = 0,47725 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,47725 + 0,34134 = 0,81859.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,29, следовательно d = 1,29×s = 1,29×2 = 2,58.

Решение (2): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность  того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0; 7) равна = Ф(1,33) – Ф(–1).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1,33) = 0,40824 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,40824 + 0,34134 = 0,74958.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,65, следовательно d = 1,65×s = 1,65×3 = 4,95.

 

Решение (3): 

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность  того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–2; 2) равна = Ф(1) – Ф(–3).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1) = 0,34134 и Ф(–3) = – Ф(3) = –0,49865, тогда = 0,34134 + 0,49865= 0,84.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,96, следовательно d = 1,96×s = 1,96×1 = 1,96.

Решение (4): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность  того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–3; 0) равна = Ф(1) – Ф(0,25).

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1) = 0,34134 и 
Ф(0,25) = 0,09871, тогда = 0,34134 – 0,09871= 0,24263.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,04, следовательно d = 1,04×s = 1,04×4 = 4,16.

Решение (5): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–3; 1) равна = Ф(0,5) – Ф(–3).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(0,5) = 0,19146 и Ф(–3) = – Ф(3) = –0,49865, тогда = 0,19146 + 0,49865= 0,69011.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 2,81, следовательно d = 2,81×s = 2,81×2 = 5,62.

Решение (6): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность  того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (6; 17) равна = Ф(1,2) – Ф(–1).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1,2) = 0,38493 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,38493 + 0,34134 = 0,72627.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 0,84, следовательно d = 0,84×s = 0,84×5 = 4,2

Решение (7): 

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность  того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (10; 12) равна = Ф(–2) – Ф(–6).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(–2) = –0,47725 и Ф(–6) = – Ф(6) = –0,5, тогда = –0,47725 + 0,5= 0,02275.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,29, следовательно d = 1,29×s = 1,29×0,5 = 0,645.

Решение (8): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность  того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (11; 15) равна

= Ф(1,67) – Ф(0,33).

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим:

Ф(1,67) = 0,45254 и Ф(0,33) = 0,1293, тогда = 0,45254 – 0,1293= 0,32324.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,04, следовательно d = 1,04×s = 1,04×3 = 3,12.

Решение (9): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (7; 10) равна = Ф(2) – Ф(–1).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(2) = 0,47725 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,47725 + 0,34134 = 0,81859.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 2,58, следовательно d = 2,58×s = 2,58×1 = 2,58.

Решение (10): 

а) Вероятность того, что  значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность  того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–6; –3) равна

= Ф(0,67) – Ф(–1,33).

Учитывая что функция  Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(0,67) = 0,24857 и

Ф(–1,33) = – Ф(1,33) = –0,40824, тогда = 0,24857 + 0,40824 = 0,65681.

б) Вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,96, следовательно d = 1,96×s = 1,96×1,5 = 2,94.

 

Тема 4     Задача 3:

Задано статистическое распределение выборки. Найти:

а) эмпирическую функцию распределения F*(x);

б) точечные оценки параметров распределения: выборочное среднее, исправленную дисперсию, исправленное среднеквадратическое отклонение.

хi	13	14	16	20
ni	4	2	1	3

Решение:

а) Эмпирической функцией распределения F*(x) называется относительная частота того, что признак примет значение, меньшее заданного. Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частоту   F*(x) = = w_i^накопл

Для эмпирической функции  распределения рассчитаем относительные  частоты по формуле w_i= n_i /n , где n – объем выборки.  Вычисления занесем в таблицу:

xi	ni	wi= ni /n	F*
13	4	0,4	0,4
14	2	0,2	0,6
16	1	0,1	0,7
20	3	0,3	1,0
S	n = 10	1,0