Контрольная работа по "Математики"

Вопрос №1.

Равномерное распределение случайной  величины: параметры, характерные особенности, функции распределения и плотности  вероятности, их графическое представление.

Ответ.

Закону равномерного распределения подчиняется только непрерывная случайная величина. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если на этом отрезке плотность распределения (f) случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

Плотность равномерного                                  Функция распределения F(x)

распределения f (x) имеет вид:                          на отрезке [a,b] имеет вид.

 

 

 

Графическое изображение f(x) и F(x)

Числовые характеристики - математическое ожидание М(х), дисперсия D(х) и среднее квадратичное ожидание σ(х) случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения:

        _{а+б                         (а-б)}²                                     _а-б

М(х) = -------             D(х) = ---------          σ(х) = -------- =  D(х)

                ^{2                             12                    2   3} 

Вероятность попадания значений равномерно распределенной случайной величины на отрезке (a,b) в интервал (a,β):

                                

С равномерно распределенными случайными величинами часто встречаются в измерительной практике при округлении от счетов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления является случайной величиной (Х), которая с постоянной плотностью вероятности принимает любое значение между соседними целыми делениями.

 

ЛИТЕРАТУРА:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: высшая школа, - 9-е изд.- 478с.
2. Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Статистика, 1979. – 279 с.
3. Непрерывное равномерное распределение [Электронный ресурс]: Материал из Википедии — свободной энциклопедии: Версия 10399909, / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. — Электрон. дан. — Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2008. — Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/?oldid=10399909

 

 

 

 

 

Вопрос №2.

Проверка гипотезы о  равенстве дисперсий двух нормально  распределенных генеральных совокупностей.

Ответ.

При заданном уровне значимости α проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: Н₀: D(x) = D(у),  при конкурирующей гипотезе Н₁: D(x) ≠ D(у).

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную  величину отношения большей исправленной дисперсии к меньшей 

F = S²(x) / S²(y)

Величина F имеет распределение Фишера-Снедекора, которое зависит только от чисел степеней свободы k₁ = n - 1 и k₂ = m - 1 .

Алгоритм критерия Фишера-Снедекора состоит в следующем:

1. По данным двух выборок вычисляются выборочные дисперсии: D(x) и D(y).

2. Фактическое значение Fф критерия Фишера-Снедекора вычисляется как отношение большей дисперсии к меньшей.      Fф = S²(x) / S²(y), где S²(x) и S²(y) – это исправленные выборочные дисперсий, которые находятся по формуле:

            Dвыб (х) * n                                 Dвыб (y) * m

S²(x)= -----------------                    S²(y)= -----------------

                  n - 1                                                 m - 1

 

3. По таблице критических  значений Фишера-Снедекора определяют F-критическое для уровня значимости α и степеней свободы, k₁ = n - 1 и 

 k₂ = m - 1, где n — это объем выборки, обладающей большей дисперсией, а m — объем выборки, обладающей меньшей дисперсией. Зададимся уровнем значимости α и вычислим числа степеней свободы: k₁ = n - 1 и k₂ = m – 1. Откуда  Fкрит = F(α; k₁; k₂).

4. Сравниваем фактическое  и критическое значение критерия:

Если Fфакт. > Fкрит., то гипотеза H₀ подтверждена, отсюда следует, что

D(х) = D(у).

Графически области применения гипотез H₀ при нормальном распределении, представлены на рисунке 

 На рисунке также указана критическая область уровня α = 0,05, состоящая из двух бесконечных полуинтервалов (-∞, -1,96] и [∞, 1,96), вероятность попадания в каждый из которых случайной величины равна: α/2=0,025.

На практике задача сравнения  дисперсий возникает, если требуется  сравнить точность приборов, инструментов или методов измерений. Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Если окажется, что  нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности  случайным отбором объектов выборки. Например, если различие несмещенных оценок дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза будет отвергнута, т.е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если различие  результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалась значимым, то точность приборов различна.

 

ЛИТЕРАТУРА:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: высшая школа, - 9-е изд.- 478с.
2. Материалы лекций.