Контрольная работа по "Математике"

1. На день  рождения полагается дарить букет  из нечетного числа цветов. Роза  стоит 80 руб. за штуку. Из  какого наибольшего числа роз  можно купить букет на 500 руб. 

Решение:

500:80=6,25

Значит можно  купить не больше 6 цветов.

Так как букет  может состоять только из нечетного числа цветов, то значит букет можно купить из 5 роз.

Ответ: наибольшее число цветов, из которых можно  купить букет, равно 5. 

2. Решите систему  уравнений

 

Решение:

Решим второе уравнение  системы

x+3(5x-2)=10

x+15x-6=10

16x=10+6

16x=16

x=16:16

x=1.

Ответ: (1; 3) 

3. Решите уравнение

3^х+2+3^х=30 

Решение:

3^x(3²+1)=30

10·3^x=30

3^x=30:10

3^x=3¹

x=1

Ответ: х=1.

 

4. Решите уравнение

 

Решение:

log₂(2sinx)=0   (1)

log₂(2sinx)= log₂1

2sinx=1

x=(-1)ⁿ ·arcsin(½)+πn, n Z.

x=(-1)ⁿ · +πn, n Z.

ОДЗ:

 

Значит решением могут быть только точки, принадлежащие II четверти тригонометрического круга.

 
 
 
 
 

Полученное решение  уравнения (1) x=(-1)ⁿ · +πn, n Z.

можно разбить  на два:

n=0: x==(-1)⁰ · +π·0= .

Учитывая периодичность синуса T=2πn

x₁= +2 πn, n Z.

n=1: x==(-1)¹ · +π·1= π − = .

Учитывая периодичность синуса T=2πn

x₂= +2πn, n Z.

Из рисунка  видно, что х₁ ОДЗ, значит не является корнем исходного уравнения

х₂ ОДЗ, значит x₂= +2πn, n Z является корнем исходного уравнения 

Ответ: x₂= +2πn, n Z. 

 

5. Решите неравенство

Решение:

Исходное неравенство  можно записать в виде

.

Значит, исходное неравенство равносильно системе неравенств

Решим первое неравенство системы

Решим уравнение  x²-8x+12=0

D=b²-4ac=8²-4·12=16>0 значит 2 действительных корня.

Тогда неравенство  примет вид

Итак, решение  первого неравенства системы  х (-∞;1]U[2;4)U[6;+ ∞)                                   (1) 

Решим четвертое  неравенство системы

 

Итак, решение  четвертого неравенства системы  х (-∞;3)U(4;+ ∞)                                   (2)

Учитывая неравенства  х>0 b x 1, объединим решения (1) и (2) неравенств системы, получим решение исходного неравенства

х (0:1)U[2;3)U[6;+ ∞).

Ответ: х (0:1)U[2;3)U[6;+ ∞). 

 

6. Процент неуспевающих  студентов в группе находится  в пределах от 2,5% до 2,9%. Определить  минимально возможное число студентов в такой группе.

Решение:

Учитывая условие  задачи, получаем, что в группе будет 1 неуспевающий студент.

Пусть х количество студентов в группе, получаем

% - процент неуспевающих в  группе. Тогда из условия задачи

.

Или

Значит, минимально возможное количество студентов  в группе может быть 35. 

 

7. Найти а, при которых произведение ху какого-либо решения системы

принимает наименьшее значение.

Решение:

Найдем ОДЗ (область  допустимых значений для параметра  а).

Рассмотрим второе уравнение системы.

Так как левая  часть уравнения неотрицательна, потому что содержит квадраты со знаком «+», то значит и правая часть должна быть неотрицательна. Отсюда получаем неравенство

 
 

Итак а (-∞;-1]U[1;+ ∞)                                  

Выделим в левой  части второго уравнения системы  полный квадрат, получим

Выразим из последнего уравнения xy, получим:

                                                          (1)

Так как из первого  уравнения x+y=2a-1, то подставив в (1), получим

.

Пусть f=xy.

Тогда задача сводится к нахождению наименьшего значения функции одной переменной

 при а (-∞;-1]U[1;+ ∞).

.

: а-2=0

а=2.

                                            2 ^{– точка минимума}

.

Ответ: при а=2 произведение ху решения системы принимает наименьшее значение. 

 

8. В треугольнике АВС на продолжении медианы ВМ выбрана точка К так, что МК:ВМ=1:2. Известно, что АВ=5, СК=4, ВС=3. Найти АК.

Дано: ΔАВС, ВМ - медиана, МК:ВМ=1:2, АВ=5, СК=4, ВС=3.

Найти: АК - ?

 

Решение:

1. Пусть MK=x, АМ=y, AK=z/.

2. Доп.построение т.К₁ : МК₁=МК=ВК₁.

3. AK₁CK – параллелограмм (т.к. МК₁=МК по построению, АМ=МС, т.к. ВМ - медиана)

4. СК₁=АК=z (т.к. AK₁CK – параллелограмм)

5. СК= АК₁ =4 (т.к. AK₁CK – параллелограмм) 

6. Рассмотрим  Δ КАК₁

  (т.к. АМ –медиана)

 

7. Рассмотрим  ΔМАВ

(т.к. АК₁ –медиана)

8. Рассмотрим  ΔВСМ

(т.к. СК₁ –медиана)

9. Из 6-8 получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными

 

Вычтем из первого  уравнения системы второе

Подставим во второе уравнение системы третье:

Решим второе уравнение  системы

Тогда

Так как АК=z. Значит АК= .

Ответ: AK= .