Контрольная работа по "Математике"

Вариант 8.

 

1. В урне 15 белых и 8 черных шаров. Вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

  Решение. Шары  выбирают наудачу,  т.е.  случайно, следовательно, все события   равновероятны.  Воспользуемся классическим определением вероятности

                       ,

     -общее число исходов,   - число исходов благоприятствующих событию ,

      где     событие   ={среди 3-х шаров  ровно  2 белых шара}

     Найдем  и n.   Из   15+8=23  шаров выбирают  3 шара,  число различных способов выбора равно числу сочетаний  из 23 по 3, т.е.

                  

Подсчитаем  - число исходов благоприятствующих событию , 2  белых шара   можно выбрать только из 15 белых шаров,  число различных способов выбора равно числу сочетаний  из 15 по 2 , т.е.

                        

При этом один  чёрный шар    можно выбрать из 8-ми чёрных шаров, число различных способов выбора равно числу сочетаний  из 8 по 1, т.е.

                         ,

Следовательно,

По классическому определению  вероятности

                 

 Ответ      0,16

 

2. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

 Решение.  В колоде   36  карт,  вынимают 4 карты,  все элементарные исходы равновероятны,  решим по формуле классической вероятности. Число элементарных исходов равно числу сочетаний из 36 по 4

           

 Рассмотрим событие   ={среди 4-х карт будет хотя бы один туз}. Противоположное событие ={среди 4-х карт не будет ни одного туза}. Карту не туза можно выбрать из 36-4=32 карт, число различных способов выбора равно числу сочетаний из 32 по 4  

               

По классическому определению  вероятности  найдём

, 

И    

   Ответ  0,39

 

 

3. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В равны соответственно 0,3 и 0,7. Найти вероятность появления только одного из них в трех испытаниях подряд.

Решение. Вероятность того, что в трех испытаниях подряд произойдёт событие A,   равна

Вероятность того, что в трех испытаниях подряд произойдёт событие В,   равна

     Так как события А и В независимы, то вероятность появления только   одного из них в трех испытаниях подряд, равна

_{Ответ    0,37}

 

4. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 3 девочки, если вероятность рождения девочки равна 0,49.

Решение.    Вероятность события   ={рождение девочки} по условию равна   ,  испытания проводятся =5 раз ( в семье 5детей). Вероятность того, что событие А произойдёт 3 раза, т.е. среди них будет 3 девочки,  найдём по формуле Бернулли

                                                     ,

где ,  -вероятность рождения девочки,  . 

Будет 3 девочки,  следовательно,     

 

Ответ   0,31

 

5. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.

  Решение. Проводится 100 испытаний, вероятность того, что событие наступит не более 74  раз,  найдем по приближенной интегральной теореме Лапласа

                            ,

где    - функция Лапласа, ,   .

Подставим

По таблице значений функции  Лапласа найдём

               

Искомая вероятность равна 

                     

 

        Ответ   0,0668

 

6. Вероятность наступления события А в каждом опыте равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в 100 опытах произойдет 76 раз.

 

Решение. Проводится 100 испытаний, вероятность того, что событие наступит  76 раз по локальной теореме Лапласа приближенно, равна

         

Подставим ,     и     вычислим 

 

По таблице  значений функции  найдем  и

                 

 

Ответ   0,0036

 

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

 

Х	2	3	4
Р	0,1	0,2	0,7

 

Решение.

Найдем числовые  характеристики этого распределения.

Математическое ожидание:

    

Дисперсия:

  

                                                                            

Среднее квадратическое отклонение

                    

 

 

8. Случайная  величина  задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения  случайной величины; б) вероятность  того, что в результате испытания  величина примет значение, заключённое  в интервале  .

Решение. а) Найдем функцию плотности распределения случайной величины

в)Вероятность попадания случайной величины X  в интервал равна

              .

Подставим  и получим

 

 

9. Задана  плотность распределения непрерывной  случайной величины  :

Найти функцию распределения  .

Решение.

Интеграл должен равняться 1.  Заданная функция не может быть дифференциальной функцией,   и при   ,  а должно быть