Контрольная работа по "Математике"

Билет № 3

1. Векторы в пространстве и на плоскости. Нулевой вектор. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на числа). Линейная зависимость системы векторов. Свойства линейной зависимости.

Определение. Суммой двух векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии , что начало вектора совмещено с концом вектора .

Для операции сложения векторов справедливы четыре аксиомы:

1)   (переместительное свойство);

2)   (сочетательное свойство);

3) Существует нулевой вектор , такой, что ;

4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

Определение. Разностью  двух векторов называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Можно показать, что , где - вектор, противоположный вектору . В самом деле, .

Определение. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное в случае .

Отрезок на оси называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Определение. Три линейно независимых вектора и образуют базис трехмерного пространства, если любой вектор может быть представлен линейной комбинацией этих векторов. Любая тройка некомпланарных векторов образует базис трехмерного пространства. Вектор может быть разложен по базису , то есть:

Определение. Суммой двух векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии , что начало вектора совмещено с концом вектора .

Для операции сложения векторов справедливы четыре аксиомы:

1)   (переместительное свойство);

2)   (сочетательное свойство);

3) Существует нулевой вектор , такой, что ;

4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

Определение. Разностью  двух векторов называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Можно показать, что , где - вектор, противоположный вектору . В самом деле, .

Определение. Произведением  вектора на число называется вектор имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное в случае .

Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается   или  .

Нулевой вектор определяет такое перемещение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя, другими словами: нулевой вектор - тождественное преобразование пространства.

С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве. Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору. Считается, что нулевой вектор одновременно параллелен и перпендикулярен любому вектору пространства.

Все координаты нулевого вектора в любой аффинной системе координат равны нулю.

Для любого вектора 

Для любого числа c

Нулевой вектор равен сумме любых двух противоположных  векторов:

.

Линейная  зависимость векторов:

Определение. Векторы    называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация  , при не равных нулю одновременноa_i , т.е.  .

Если же только при a_i = 0 выполняется  , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов   есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Вектором в пространстве называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой — концом. При этом сонаправленные и равные по длине отрезки считаются одним и тем же вектором.

Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой — концом. При этом сонаправленные и равные по длине отрезки считаются одним и тем же вектором.

 

 

2. Экстремум (максимум и минимум) функции. Необходимое условие экстремуму. Стационарные точки.

 

Локальный экстремум. Теорема Ферма

Пусть функция f задана на некотором множ-ве X  R и x0  X.

Определение.

Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f, если сущ-ет такая окрестность U(x0) точки x0, что для всех x  X  ∩ U(x0) выполняется неравенство f(x)>=f(x0) (cоответственно f(x)<=f(x0) )

 

Если для всех  x  X  ∩ U(x0) выполняется неравенство f(x)<f(x0) ( соотв. f(x)>f(x0) ), то точка x0 называется точкой локального максимума (минимума)

Точки максимума и минимума функции называют её точками экстремума

 

Необходимое условие экстремума:

Если функция имеет  в точке локального экстремума производную, то эта производная =0

 

Определение 2.

Если функция определена в некоторой окрестности точки  x0 и в этой точке производная функции либо существует и равна нулю,  либо не сущ-ет, то точка x0 называется критической точкой этой функции.

 

Определение3.

Точка x0 называется точкой возрастания (убывания) функции f, если у x0 существует такая окрестность U(x0), что при x  X  ∩ U(x0), x<x0, выполняется неравенство f(x)<=f(x0) ( соотв. f(x)>=f(x0) ), а при x>x0 – неравенство f(x)>=f(x0) (соотв. f(x)<=f(x0) ).