Контрольная работа по "Математике"

Задача №1

Дана система трех линейных уравнений. Найти решение  ее методом Крамера.

 

Решение:

Запишем формулы Крамера: ; ; .

Здесь: - определитель системы;

- определитель полученный из  определителя системы заменой  первого столбца на столбец  свободных членов;

- определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец сводных членов;

- определитель, полученный из  определителя системы заменой  третьего столбца на столбец  свободных членов.

В нашем случае имеем:

= 3(9 – 1) – 2(6 – 2) + (2 – 6) = 24 – 8 – 4 = 12

= = 1(9 – 1) – 2(3 – 11) + (1 – 33)=40 + 16 – 32 = 24

= 3(3 – 11) – 5(6 – 2) + (22 – 2)= -24-20+20 =  -24

3(33 – 1) – 2(22 – 2) + 5(2 – 6) = 96 – 40 – 20 = 36

 

Произведем проверку:

6 – 4 + 3 = 5

4 – 6 + 3 = 1

4 – 2 + 9 = 11

Ответ: x = 2, y = -2, z = 3

Решение методом Гаусса.

        

                                              

             

 

            

 

 z=-108:(-36)=3

-5y=7+z

-5y=7+3

-5y= (-5)

y= - 5

 

3x=5-2y-z

3x=5-2 (-2)-3

3x= :3

х=2

Ответ: x = 2, y = -2, z = 3

Задача № 2

Даны координаты вершины  пирамиды

А₁ ( 1; -1; 2), А₂ ( 1; 3; 0), А₃ ( 3; 0; -2), А₄ ( 5; -2; 1).

Найти:

1. Длину ребра

= ==

2. Найти угол между ребрами и

Используем формулу cosγ = ;

,

= (1-1; 3+1; 0-2)=(0; 4; -2)

= (5-1; -2+1; 1-2)=(4; -1; -1)

сosγ=

γ=180 -arcos 0,1054 180 -83 =97 угол тупой так как cosγ<0

3. Найти площадь грани

=(0; 4; -2), =(3-1; 0+1; -2-2)=(2; 1; -4)

 

 

Ответ: 8,31 кв. ед.

4. Найти уравнение  плоскости  , будем искать кА уравнение плоскости проходящей через 3 точки

 

Уравнение плоскости; (-14x-2y-8z+26=0) -2

Ответ: 7x+y+4z-13=0

5. Найти объем пирамиды , используя свойство смешанного произведения трех векторов (модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах)

 

Ответ: V≈7,3 кубических единицы.

 

Задача 3. Найти пределы функций:

 

 а)  ; б) ; в) .

 

 

a)

 

б)

 

в)

 

 

 

Задача 4. Найти значение производных данных функций в точке x=0:

 

 

 при х=0

 

 

 

Задача 5. Провести исследование функций с указанием

а) области  определения и точек разрыва; б) экстремумов; с) асимптот.

По полученным данным построить графики функций.

 

 

а) область определения и точки  разрыва.

   Функция нечетная

   

точки разрыва 2-го рода

 

с) асимптоты

1)

Вертикальные асимптоты всегда имеют уравнение  , где - точка разрыва 2-го рода, т.к.

2) Наклонная асимптота имеет  вид 

Наклонных асимптот нет.

 

б) экстремумы

Точек экстремума нет.

 

 

Задача 6. Найти неопределенные интегралы:

 

а) ;  б) .

 

 

а)

 

введем новую переменную:

 

сделаем замену:

 

 

б)

 

используем метод интегрирования по частям:

 

обозначим: . Тогда ; ;

 

 

 

 

Задача 7. Вычислить площади областей, заключённых между линиями:

 

;

 

Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение:

 

;

 

 

Площадь фигуры найдем, использую формулу:

 

Ответ: площадь  равна  (квадратных единиц).