Контрольная работа по "Математике"

 

Одесса 2011

Задание № 1

 

Задача 1.В партии из  60 изделий  4  - бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 2 изделий окажутся бракованными:

        а)  ровно  1 изделий;

        б)  не более   1 изделий.

S=60

R=4

Q=2

H=1

Решение

 

1. А – Среди выбранных 2 изделий, 1 окажется   бракованным

Р(А)=

M=C₆₀²===1770

N=C¹₄*C¹₅₆=*=4*56=224

Р(А)== 7,901785714285714

б)  А – Среди выбранных 2 изделий, не более 1 окажутся бракованными.

Решим по формуле Бернули.

P_n (m)= C_n^m p^m q^n-m

P₁(2)=C₁²*(7,901785714285714)²*2^1-2=*62,4382174744898*2^-1=

2*62,4382174744898*=124,8764349489796*0,5=62,4382174744898

Ответ:

а) Вероятность того, что среди  выбранных наудачу для проверки 2 изделий,  1 окажутся бракованные р= 7,901785714285714

б) не более 1 изделия с  вероятностью р=62,4382174744898

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 2%  брака, второй - 1%,  третий - 3%. Определить

вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно  20, 10, 30   деталей.

Решение

А – событие, на сборку попадают небракованные детали.

Поскольку всего деталей  20+10+30=60

Н1 – детали с первого автомата;     р(Н1)=20/60=1/3

Н2 – детали со второго автомата;   р(Н2)=10/60=1/6

Н3 – детали с третьего автомата;   р(Н3)=30/60=1/2

р(А/Н1)=100%-2%=98%=0,98

р(А/Н2)=100%-1%=99%=0,99

р(А/Н3)=100%-3%=97%=0,97

Р(А/Н1)=р(Н1)*р(А/Н1)=1/3*0,98= 0,32

Р(А/Н2)=р(Н2)*р(А/Н2)=1/6*0,99=0,165

Р(А/Н3)=р(Н3)*р(А/Н3)=1/2*0,97=0,485

Р(А)=р(А/Н1)+р(А/Н2)+р(А/Н3)= 0,32+0,165+0,485=0,97

Ответ: Вероятность того, что на сборку попадут небракованные детали равно р(А)= 0,97

 

 

 

 

 

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 2 %  брака, второй - 1%,  третий - 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно  20, 10, 30   деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с  2-го   автомата.

Решение

 

А – событие, вероятность того, что деталь бракована.

По формуле полной вероятности  найдем вероятность того, что деталь окажется бракованной.

Р(А)=р(Н1)р(А/Н1)+р(Н2)р(А/Н2)+р(Н3)р(А/Н3)

Всего деталей 20+30+10=60;

р(А/Н1)=2%=0,02;

 р(А/Н2)=1%=0,01;

 р(А/Н3)=3%=0,03.

Н1-деталь с первого автомата;       р(Н1)=20/60=1/3

Н2 – деталь со второго автомата;   р(Н2)=10/60=1/6

Н3 – деталь с третьего автомата;   р(Н3)=30/60=1/2

Р(А)=1/3*0,02+1/6*0,01+1/2*0,03=0,015

Найдем вероятность того, что  деталь взята с второго автомата:

Р(А/Н3)=р(Н3)р(А/Н3)=1/6*0,01=

p(А/НЗ)===0,13(3)

Ответ: Вероятность того, что взятая деталь с второго автомата оказалась бракованной равна р(А/H3)=0,13(3)

 

Задача 3. Рабочий обслуживает  14 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 3 станков?  Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение

А – событие, вероятность ремонта

n=14,

 р=1/8;

q=1-1/8=7/8

m=3

P₁₄(3)=C³₁₄()³*(¹¹=*(³*(¹¹=364*(³*(¹¹=363**=

=1,63

Найдем наивероятнейшее число  станков по формуле:

np-q≤ ≤np+p

14*1/8-7/8≤ ≤14*1/8+1/8

1,75-7/8≤ ≤1,75+1/8 

-0,65≤ ≤0,34

=1

Ответ: Вероятность того, что придется ремонтировать 3 станок равна р(А)= 1,63.

Наивероятнейшее число станков  требующих ремонта  =1 .

 

 

 

Задание № 2

Случайные величины. Функция распределения  случайной величины.

                    Числовые характеристики случайных  величин.

 

Задача 1.  Производятся последовательные независимые испытания   3 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытания для каждого прибора равна  0,85 .  Найти:

      а)  ряд распределения   случайного числа испытанных  приборов;

      б)  функцию распределения  и построить ее график;

      в)  математическое  ожидание и дисперсию.

                                                   Решение

а) Таблиця 1. Ряд распределения

 

w	РР	ГР + РГ	ГГ
а	0	1	2
р	1/4	1/2	1/4

 

 

р (x = 0) = р(РР) = 1/2 * 1/2  = 1/4,

р (x = 1) = р(ГР + РГ) = Р(ГР) + Р(РГ) = 1/2 * 1/2 + 1/2*1/2= 1/2,

р (x =2) = р (ГГ) = 1/2 * 1/2  = 1/4 ,            

= 1/4 +1/2 + 1/4 = 1 .

 

 

Б)                         0 F(x) 1

                             F(x) 0  при х - ¥  

                             F(x) 1  при х + ¥  

 

р( х₁ £ x < х₂) = F (х₂) – F (х₁)

     Х₁=-1

Х₂=2

 

      1. х Î (- ∞; -1],  F (x) = р(x < x) = 0, потому-что событие (x < x) для такого x есть невероятное событие

      2. х Î (-1; 2],  F (x) = р(x < 0) р(x > 0) = 0 , тут неравенство  x < x удовлетворяет одно значение x = 0.

      3. х (2; )     F (x) = P (( = 0) + P (( = 1) + P (( = 2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1, для x из этого интервала  неравенства  (x < x удовлетворяют все значения случайной     величини. 

 

 

                     Рисунок 7. Функція розподілу. 

Задача 2.  Плотность распределения  вероятностей задана следующим образом:

                                    f(x) =

Вычислить:

        а)  коэффициент  А  ;

        б)  функцию  распределения ;

        в)  математическое  ожидание и дисперсию;

        г)   вероятность  того, что случайная величина  примет значение из

              интервала (-1;2).

                                                    Решение

 

k=5

                                    f(x) =

f(x)=

 

Пускай  х₂ > х₁  , для       F (х₂)  справедливо равенство     

     F (2) = р( -1 £ x < 2) + F (-1) , а по-тому что  р( -1 £ x < 2) 0, то отсюда выплывает ,что

     F (2) ³ F (-1).

 

                         р( х₁ £ x < х₂) = F (х₂) – F (х₁)

р( -1 £ x < 2) = F (2) – F (-1)=0

 

 

 

 

 

Задание 3

                                                 Предельные теоремы

Отдел технического контроля проверяет качество наудачу  отобранных   600  изделий. Вероятность того, что деталь удовлетворяет требованиям стандарта, равна 0,95. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий окажется:

    а)  6  некондиционных;

    б)  не более, чем 4 некондиционных;

    в)  от   4 до  9  некондиционных.

 

Решение

 

Применим  интегральную теорему Муавра-Лапласа

 

 

 

Таким образом,  P(A) = 1-Р(A ) = 1 - 1=0.

 

 

 

                           Математическая статистика

 

                                                    Задание №4

 

По данным выборки найти:

а) точечные оценки математического ожидания и  дисперсии;

б)  с  доверительной  вероятностью  р =1- найти доверительные       интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая , что выборка получена из нормальной совокупности.

 

№ варианта	α	Значение Xi
		X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
5	0,01	8,34	10,71	8,72	9,32	6,11	9,34	9,82	10,26	8,28	9,10

Таблица 1. Выборка данных.

 

1. В данной задаче n=10 .

Для нахождения точечной оценки математического  ожидания и дисперсии составим таблицу 2:

 

№
1		8,34		69,6
2		10,71		114,7
3		8,72		76,03
4		9,32		9,34
5		6,11		37,3
6		9,34		87,2
7		9,82		96,4
8		10,26		105,2
9		8,28		68,5
10		9,10		82,8
			90		747,07

                                      Таблица 2

 

Найдем точечную оценку математического  ожидания и дисперсии, по формуле:

  m* = ;  D*=                 

m* = =90/10=9.

10/9 ( 747, 07 - (9²) ) = 732,677.

 

27,06800694546978.

 

2.Доверительный  интервал для математического  ожидания, вычисляется по формуле:

,  где  - квантили распределения Стьюдента, определяется по таблице.

 

=

9-*3,25 < m < 9+*3,25

 

                                -5,87< m < 11,72

                                                           

Доверительный интервал для дисперсии  равен:

                            ,    где   ,    - квантили распределения , определяем  по таблице.

, 

 

Вычислим доверительный интервал для   :

 

 

 

     310,45 < σ² < 4235,12