Контрольная работа по "Математике"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вариант 1

1.Решить систему  линейных алгебраических уравнений  методом Гаусса:

_{Решение:}

Методом элементарных преобразований  из второго уравнения вычтем первое , умноженное на ¾

_{Из  третьего уравнения  вычтем первое умноженное на 2}

Получим систему

 

Из  третьего уравнения вычтем второе, умноженное на 4/3

 

Получим новую  систему

 

_{Из  третьего уравнения  выражаем х3 через  переменные х4 и х5}

 

Подставляем во второе уравнение х3 и выражаем х2 через х4 и х5

 

Подставляем в  первое уравнение х3 и х2 и выражаем через х4 и х5

 

_{В результате  получаем}

 

 

 

 

 

2.Для матриц A и B, чисел a и b, а также для векторов x и y вычислить:

1) транспонированные матрицы A и B; матрицы С=AB*, D=A*B,F=aA+bB; векторы z=Ax, и=By

и их скалярное  произведение (z;u)

2) Вычислить ранги матриц A и B.

3) Вычислить  определители матриц C и D

 

 

 

 

_{a=2   b=}

₃

_{Решение:}

1. транспонированные матрицы A и B

матрицы С=AB*

матрицы D=A*B

 

матрицы F=aA+bB

 

 

векторы z=Ax, и=By

 

и их скалярное произведение (z;u)

2) Вычислим ранги матриц A и B.

 

3) Вычислим определители  матриц C и D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для дискретного процесса

с начальным  условием вычислить , найти , если матрица

.

Решение. Дана линейная система вида – постоянная матрица. При заданном начальном значении решение системы записывается в виде

.

Так как вычисление степеней – очень трудоемкая работа, то воспользуемся понятием собственного вектора.

Найдем собственные  значения матрицы А.

.

Найдем собственный  вектор , соответствующий собственному значению . Решим систему уравнений

 

Найдем собственный  вектор , соответствующий собственному значению . Решим систему уравнений

Найдем собственный  вектор , соответствующий собственному значению . Решим систему уравнений

 

Векторы образуют базис в пространстве . Поэтому , подставив векторы в систему и приравняв коэффициенты при векторах , получим

Найдем числа  из начальных условий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Исходя из  определения предела числовой  последовательности, показать,

что lima_n=A

_A=1

Решение

Для любого положительного числа  неравенство Если – сколь угодно малое положительное число, то М – сколь угодно большое положительное число. Следовательно, для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное числоМ, что при выполняется неравенство , а это доказывает по определению .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти сумму числового ряда

_{Решение}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Исследовать  на сходимость числовой ряд

_{Решение}

_{Знакоположительный  числовой ряд, исследуем  по признаку Даламбера}

_{Ряд сходится}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Для функции y=f(x) при х≠0:

a)доопределить её при  x=0 по непрерывности;

b)вычислить её производную в точке х=0;

с)   вычислить производную в любой точке x≠0

_{Решение}

_{А) х=0}

_{Найдем  левосторонний и  правосторонний предел функции при х  стремящемся к 0}

Так как пределы  сходятся в одной точке то функция не имеет разрыва, то есть она непрерывна

с)вычислим её производную 

b)вычислим её  производную в точке х=0;