Контрольная работа по «Математика»

Контрольная работа

По дисциплине:

«Математика»

Москва

2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Формулировки задач 3

Решение задач      4

Список использованной литературы   9

2

Формулировки задач:

1.      Найти матрицу C = -4A + 2B, где

2.      В том случае, когда это возможно, найти произведение матриц А и В:

a)                                              

б)                                           

3.      Решить систему линейных алгебраических уравнений методом   Крамера:

4.      Исследовать СЛАУ на совместность и в случае, если система совместна, найти ее решение методом Гаусса:

5.      Найти графическим методом max L = x1 + 3x2  при ограничениях:

3

Решение задач:

1.

С = -4х+2х=+

+=+==.

2.

а) АхВ – произведения не существует, т.к. число строк матрицы А не совпадает с числом столбцов матрицы В.

    б) АхВ = х х==  .

3.

Если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет решение и только одно. Найдем определитель системы:

= 5х(15-12) – 2х(9-6) + 5х(-12-(-10)) = 5х3 – 2х3 + 5х(-2) = -1

, т.е. матрица является невырожденной.

Вычисляем определители:

= 1(15-12) – 2(-3+3) + 5(4-5) = 3-0-5 = -2

                                                                       4

= 5(-3+3) – 1(9-6) + 5(3-2) = 0-3+5=2

= 5(5-4) – 2(3-2) + 1(-12+10) = 5-2-2 = 1

По формулам Крамера находим решение системы уравнений:

Ответ: Х1= 2,  Х2=-2,  Х3= -1.

4.

  Система линейных алгебраических уравнений  является совместной тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы ранг|А|=ранг|Арасш.|.

   Для определения ранга приводим исходную матрицу к трапециевидной, с помощью использования элементарных преобразований, которые гарантируют эквивалентность исходной и полученной матриц.

ранг|А|=                              

Из конечной матрицы нельзя выделить невырожденную подматрицу порядка больше чем 3, следовательно ранг матрицы |A|=3.

                                                                                             5

Приводим исходную расширенную матрицу к равносильной системе ступенчатого вида с помощью использования элементарных преобразований, которые гарантируют эквивалентность исходной и полученной матриц.

Ранг|Арасш.|==3

Система имеет решение, т.к. ранг основной матрицы |A| равен рангу расширенной |Aрасш.| = 3.

Находим все базисные переменные системы уравнений начиная с последней по номеру.

Арасш.=

Откуда следует решение системы:

x1              =              -7.5 – 1x2 – 0.5x5

x2              =              Произвольное число

x3              =              -1.5 + 0.5x5

x4              =              -10 + 1x5

x5              =              Произвольное число

5.

  Необходимо найти область допустимых значений, т.е. точки Х1 иХ2, которые удовлетворяют системе ограничений. По условию задачи точки Х1 и Х2 больше 0, поэтому рассматриваются точки принадлежащие первой четверти.

                                                                   6

Рассмотрим последние два неравенства и построим прямые, ограничивающие области Х1 и Х2, согласно условиям задачи, на графике выделены пунктирными линиями.

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений, преобразуем его и по найденным точкам построим прямую.

Х1+4Х24 Заменим знак неравенства на равенство и получим Х1+4Х2=4.

Преобразуем уравнение следующим образом, разделив на 4.

+ = 1

Данное представление прямой является уравнением прямой в отрезках и позволяет нарисовать прямую. На оси Х1точка с координатой 4.На оси Х2точка с координатой 1. Соединяем точки и получаем необходимую прямую, на графике выделена пунктирной линией с двумя точками.

Рассмотрим второе неравенство системы ограничений, преобразуем его и по найденным точкам построим прямую.

Х1+X26 заменим знак неравенства на равенство и получим Х1+Х2=6. Преобразуем уравнение следующим образом, разделив на 6.

+=1

Данное представление прямой является уравнением прямой в отрезках и позволяет нарисовать прямую. На оси Х1точка с координатой 6.На оси Х2точка с координатой 6.Соединяем точки и получаем необходимую прямую, на графике выделена пунктирной линией с двумя точками.

Рассмотрим исходную функцию L=X1+3X2, допустим значение функции L равно 1(произвольное число), тогда

1=Х1+3Х2.

Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Данная прямая перпендикулярна вектору, координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору

ОN=(1,3).

С точки зрения геометрии, исходная функция L изображается как  множество прямых перпендикулярных вектору ОN = (1,3).

Значение функции будет возрастать при перемещении прямой в отношении вектора ОN. Перемещая прямую, перпендикулярно вектору ON, после прохождения области допустимых решений, касание произойдет в точке в координатами (2,3). В данной точке значение функции будет максимальным.

Наибольшее значение функция достигает при X1=3 и X2=2

Откуда

L max = 3 +3х2=9.

                                                                  7             

                                    Х2

                                          1             3           4           6          Х1

                                                                  8

Список использованной литературы

1.      Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. -3-е изд. М.: «ЮНИТИ-ДАНА», 2009. -479с.

2.      Кучерова К.И. Математика. Методические указания. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. -140с.

3.      Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. -7-е изд. М.: «АЙРИ-ПРЕСС», 2008. -576с.

9